Quelltext der Seite Mittlere quadratische Verschiebung

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[[Datei:Examples MSD pure viscous and elastic.png|mini|Mittlere quadratische Verschiebung eines Tracer-Teilchens in einer rein [[Viskosität|viskosen]] oder [[Viskoelastizität|viskoelastischen]] Flüssigkeit]]
[[Datei:Randomwalk msd.svg|mini|Darstellung einiger Trajektorie und des resultierenden MSD (in der üblichen log-log Darstellung) einer einfachen Zufallsbewegung. Die schwarzen Kreise haben den Radius <math>\sqrt{\langle r^2(\tau)\rangle}</math> für ausgewählte ''&tau;'']]
Die '''mittlere quadratische Verschiebung''' (oft als {{enS|'''mean squared displacement'''}}, MSD, bezeichnet und mit dem Symbol <math>\langle r^2(\tau)\rangle</math> bezeichnet, Definition siehe unten) ist in der [[statistische Physik|statistischen Physik]] ein Maß für die Strecke, die ein Teilchen im Mittel (z.B. über viele Versuche) in einer gewissen Zeit zurücklegt. Dieses Maß ist besonders bei der Beschreibung [[Brownsche Bewegung|Brownscher Dynamik]] und anderen Zufallsbewegungen wichtig, da dort typischerweise keine ausgezeichnete Richtung vorliegt, entlang der man eine zurückgelegte Strecke messen könnte.

== Anschauliche Beschreibung und Interpretation ==

Anschaulich ist die mittlere quadratische Verschiebung ein Maß für das Volumen, das ein Teilchen, das eine Zufallsbewegung ausführt, in einer gewissen Zeit durchstreift. Als Beispiel betrachtet man eine reine Brownsche Bewegung in zwei Dimensionen (vgl. Abbildung rechts). Lässt man mehrere Teilchen (in der Abbildung oben in verschiedenen Farben) am gleichen Ort starten, so bewegen sich zwar einzelne Teilchen vom Startpunkt weg, aber jeweils in unterschiedliche Richtungen. Auch kann jedes Teilchen durchaus zum Startpunkt zurückkehren. Mittelt man nun über alle Teilchenpositionen nach einer Wartezeit &tau;, so wird dieser Mittelwert wieder nahe dem Startpunkt liegen, die Teilchen haben sich also im Mittel nicht fortbewegt. Hätten die Teilchen im Gegensatz dazu eine Vorzugsrichtung, so würde sich auch ihr Mittelwert mit einer gewissen Geschwindigkeit in diese Vorzugsrichtung bewegen.

Man beobachtet aber nun, dass die Teilchen eine umso größere Fläche überstreichen je länger man wartet (konzentrische Kreise in der Abbildung, die äußeren Kreise entsprechen längeren Wartezeiten &tau;), das heißt je länger man wartet, desto eher befindet sich auch einmal ein Teilchen in größerem Abstand vom Ausgangspunkt. Zur Beschreibung dieser überstrichenen Fläche (die langsam mit der Wartezeit &tau; wächst) kann man nun die mittlere quadratische Verschiebung aller Teilchen nutzen: Ihre [[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] (<math>\sqrt{\langle r^2(\tau)\rangle}</math>) beschreibt nämlich den Radius dieser größer werdenden Kreise/Fläche.

Man kann also die Kurve <math>\langle r^2(\tau)\rangle</math> so interpretieren, dass Teilchen, die sich nach ihr bewegen, nach einer Zeit &tau; mit hoher Wahrscheinlichkeit schon einmal im Abstand <math>\sqrt{\langle r^2(\tau)\rangle}</math> von ihrem Ausgangspunkt anzutreffen waren.

== Exakte Definition ==
Die mittlere quadratische Verschiebung wird über den [[Ensemblemittelwert]] über [[Ensemble (Physik)|viele Trajektorien]] <math>\vec{R}_n(t), n=1..N</math> definiert:
:<math>\langle r^2(\tau)\rangle=\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\cdot\sum\limits_{n=1}^N\left(\vec{R}_n(\tau)-\vec{R}_n(0)\right)^2</math>
Hierbei wird über viele Teilchen gemittelt, die jeweils über die Zeitspanne ''&tau;'' beobachtet werden. Alternativ (und vor Allem in theoretischen Betrachtungen, in denen diese Größen berechenbar sind) kann dies auch über die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (siehe [[Greensfunktion]]) <math>n(\vec{r},\tau)</math> von Teilchen zur Zeit ''&tau;'' geschrieben werden<ref name="DOI10.1016/j.bpj.2009.12.4282">{{Literatur| Autor=Vincent Tejedor, Olivier Benichou, Raphael Voituriez, Ralf Jungmann, Friedrich Simmel, Christine Selhuber-Unkel, Lene B. Oddershede, Ralf Metzler| Titel=Quantitative Analysis of Single Particle Trajectories: Mean Maximal Excursion Method| Sammelwerk=Biophysical Journal| Band=98| Nummer=7| Jahr=2010| Monat=4| Tag=| Seiten=1364–1372| PMID=| ISSN=00063495| Originaltitel=| Originalsprache=| DOI=10.1016/j.bpj.2009.12.4282}}</ref>:
:<math>\langle r^2(\tau)\rangle=\iiint\limits_{\R_+^3} r^2\cdot n(\vec{r}, \tau)\;\mathrm{d}^3r</math>
Man beachte, dass <math>n(\vec{r},\tau)</math> den Abstand zum Startpunkt der Trajektorie (der in den Ursprung gelegt wird) misst.

Je nach System kann die mittlere quadratische Verschiebung auch über einen [[Zeitmittelwert]] über eine Trajektorie <math>\vec{R}(t)</math> eines Teilchens im Raum definiert werden<ref name="DOI10.1016/j.bpj.2009.12.4282"/>:
:<math>\mathrm{MSD}(\tau)\equiv\langle r^2(\tau)\rangle:=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\cdot\int\limits_0^T\left(\vec{R}(t+\tau)-\vec{R}(t)\right)^2\;\mathrm{d}t</math>
Das bedeutet, dass nur ein Teilchen beobachtet wird, und dann ausgehend von verschiedenen Zeitpunkten ''t'' gemessen wird, wie weit sich das Teilchen bis zur Zeit ''t + &tau;'' bewegt hat. Es wird dann über die Verschiebungen <math>\left(\vec{R}(t+\tau)-\vec{R}(t)\right)^2</math> während aller möglichen Zeitspannen ''&tau;'' innerhalb der Dauer ''T'' der Trajektorie [[Mittelwert|gemittelt]].

Beide Definitionen ergeben nur dann dieselbe Größe, wenn das betrachtete System [[Ergodizität|ergodisch]] ist (siehe auch [[Ergodenhypothese]]). Oft werden auch Mischformen dieser zwei idealen Definitionen verwendet, besonders wenn in Experimenten beide Mittelwerte vermischt werden (z.B. bei der [[Fluoreszenz-Korrelations-Spektroskopie]]).

Zusätzlich wird oft auch die Wurzel aus der mittleren quadratischen Verschiebung
:<math>\mathrm{RMSD}(\tau):=\sqrt{\langle r^2(\tau)\rangle}</math>
verwendet und dann meist als {{enS|'''root mean squared displacement'''}} (RMSD) bezeichnet.

== Bedeutung ==
[[Datei:Msd differentregimes de.svg|mini|MSD-Kurven für verschiedene Bewegungsarten]]

Besonders bei ungerichteten und zufälligen Bewegungen gibt es oft keine ausgezeichnete Raumrichtung. Die Mittelung über die (vektoriellen) Verschiebungen um den Anfangspunkt ist daher Null, da für jede Bewegung in eine Richtung eine Bewegung in entgegengesetzte Richtung mit gleicher statistischer Häufigkeit existiert. So ist beispielsweise die mittlere Auslenkung <math> \langle \vec R( \tau ) - \vec R(0) \rangle </math> eines [[Random Walk]]s eines einzelnen Teilchens für alle Zeiten <math>\tau</math> gleich Null. Trotzdem überdeckt das Teilchen in einer gegebenen Zeit einen gewissen Raumbereich, der durch die mittlere quadratische Verschiebung charakterisiert wird.

Für normale [[Diffusion]] ergibt sich ein einfacher Zusammenhang für die mittlere quadratische Verschiebung:
:<math>\langle r^2(\tau)\rangle=2n\cdot D\cdot\tau\ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{\mathbf{(*)}}</math>
wobei ''D'' der [[Diffusionskoeffizient]] und ''n'' die Anzahl der [[Raumdimension]]en, in denen die Bewegung stattfindet.

Für normale [[Diffusion]] in Verbindung mit einer gerichteten Bewegung (Fluss der Geschwindigkeit ''V'') ergibt sich weiter<ref name="DOI10.1088/0305-4470/37/31/R01">{{Literatur| Autor=Ralf Metzler, Joseph Klafter| Titel=The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics| Sammelwerk=Journal of Physics A: Mathematical and General| Band=37| Nummer=31| Jahr=2004| Monat=08| Tag=06| Seiten=R161–R208| PMID=| ISSN=0305-4470| Originaltitel=| Originalsprache=| Online=[http://pmc.polytechnique.fr/pagesperso/dg/cours/biblio/JPhysA%2037,%20R161%20%282004%29%20Metzler,%20Klafter%20%5BThe%20restaurant%20at%20the%20end%20of%20the%20random%20walk%20-%20recent%20developments%20in%20the%20description%20of%20anomalous%20transport%20by%20fractional%20dynamics%5D.pdf PDF]| DOI=10.1088/0305-4470/37/31/R01}}</ref>:
:<math>\langle r^2(\tau)\rangle=2n\cdot D\cdot\tau+(V\cdot\tau)^2</math>

Im Falle [[anomale Diffusion|anomaler Diffusion]] ergibt sich oft allgemeiner der Zusammenhang<ref name="DOI10.1088/0305-4470/37/31/R01"/>:
:<math>\langle r^2(\tau)\rangle=2n\cdot\Gamma_\alpha\cdot\tau^\alpha</math>
wobei ''&Gamma;<sub>&alpha;</sub>'' eine allgemeine Proportionalitätskonstante (verallgemeinerter Diffusionskoeffizient, hängt u.U. von ''&alpha;'' ab!) ist und ''&alpha;'' die Anomalie der Bewegung beschreibt. Für ''&alpha;<1'' spricht man von [[Subdiffusion]] und für ''&alpha;>1'' von [[Superdiffusion]]. Für den Fall ''&alpha;=1'' ergibt sich wieder normale Diffusion.

Oft erfolgt die Diffusion in [[Porosität|porösen Medien]], wobei nur ein Anteil des gesamten Volumens für die Teilchen zugänglich ist. In solchen Systemen sieht man oft einen Übergang zwischen zwei normal-diffusiven Regimen: Zunächst erfolgt schnelle Diffusion innerhalb einer Pore. Auf längeren Zeitskalen geht das MSD dann in ein langsameres aber immer
noch normal diffusives Regime über, das die Diffusion zwischen den Poren beschreibt.<ref name="DOI10.1016/j.jmr.2013.01.004">{{Literatur| Autor=V.V. Loskutov, V.A. Sevriugin| Titel=A novel approach to interpretation of the time-dependent self-diffusion coefficient as a probe of porous media geometry| Sammelwerk=Journal of Magnetic Resonance| Band=230| Nummer=| Jahr=2013| Monat=5| Tag=| Seiten=1| PMID=| Originaltitel=| Originalsprache=| DOI=10.1016/j.jmr.2013.01.004}}</ref><ref name="DOI10.1038/ncomms5494">{{Literatur| Autor=Michael Baum, Fabian Erdel, Malte Wachsmuth, Karsten Rippe| Titel=Retrieving the intracellular topology from multi-scale protein mobility mapping in living cells| Sammelwerk=Nature Communications| Band=5| Nummer=| Jahr=2014| Monat=7| Tag=24| Seiten=| PMID=| Originaltitel=| Originalsprache=| DOI=10.1038/ncomms5494}}</ref> Wird der Anteil des nicht zugänglichen Volumens so groß, dass die Poren nicht mehr unbedingt verbunden sind, so sind die Teilchen in den entstehenden abgegrenzten Raumbereichen gefangen. Man spricht von ''"confined diffusion"''.  Das MSD geht dann für große Zeitskalen gegen einen konstanten Wert <math>\langle r_\text{c}\rangle</math>, der die Größe des zugänglichen Bereichs beschreibt. Das MSD kann dann folgendermaßen modelliert werden (mit freien Fit-Parametern <math>A_1,A_2</math>):<ref name="DOI10.1016/S0006-3495(93)81253-0">{{Literatur| Autor=A. Kusumi, Y. Sako, M. Yamamoto| Titel=Confined lateral diffusion of membrane receptors as studied by single particle tracking (nanovid microscopy). Effects of calcium-induced differentiation incultured epithelial cells| Sammelwerk=Biophysical Journal| Band=65| Nummer=5| Jahr=1993| Monat=11| Tag=| Seiten=2021| PMID=| Originaltitel=| Originalsprache=| DOI=10.1016/S0006-3495(93)81253-0}}</ref>
:<math>\langle r^2(\tau)\rangle=\langle r_\text{c}\rangle^2\cdot\left(1-A_1\cdot\exp\left[-A_2\cdot\frac{2n\cdot D\tau}{\langle r_\text{c}\rangle^2}\right]\right)</math>

In vielen Systemen beschränkt sich die Anomalie einer Bewegung auf einen bestimmten Zeitbereich für ''&tau;<&tau;<sub>c</sub>''. Oberhalb dieser kritischen Zeit ''&tau;<sub>c</sub>'' geht die Bewegung wieder in normale Diffusion über. Dieser Fall ist z.&nbsp;B. in der Kurve für viskoelastische Flüssigkeiten zu sehen und tritt z.&nbsp;B. auch bei der Monomerdynamik von [[Polymer]]en auf (siehe [[Rouse-Modell]]).

== Messung und Anwendung ==
Die mittlere quadratische Verschiebung wird oft zur Charakterisierung von zufälligen Bewegungen in Simulationen benutzt. Dabei kann sie direkt aus den simulierten Teilchentrajektorien bestimmt werden. Mit Hilfe des Zusammenhangs für normale Diffusion '''(*)''' kann etwa ein Diffusionskoeffizient ''D'' aufgrund der Gitterweite ''a'' und des Zeitschritts ''&Delta;t'' der Simulation definiert werden:
:<math>D:=\frac{a^2}{2n\cdot\Delta t}</math>
Damit kann dann die Simulation, die oft in idealisierten und normalisierten Koordinaten abläuft, auf reale Systeme normiert werden.

Die mittlere quadratische Verschiebung ist auch experimentell zugänglich. So kann sie etwa durch [[Einzelpartikelverfolgung|Single-Particle-Tracking]]-Techniken direkt aus den dort gemessenen Trajektorien bestimmt werden<ref name="DOI10.1146/annurev.biophys.26.1.373">{{Literatur| Autor=Michael J. Saxton, Ken Jacobson| Titel=SINGLE-PARTICLE TRACKING:Applications to Membrane Dynamics| Sammelwerk=Annual Review of Biophysics and Biomolecular Structure| Band=26| Nummer=1| Jahr=1997| Monat=06| Tag=| Seiten=373–399| PMID=| ISSN=1056-8700| Originaltitel=| Originalsprache=| Online={{Webarchiv|url=http://mitran-lab.amath.unc.edu:8084/redmine/projects/polymercharacterization/repository/revisions/169/entry/biblio/single_particle_tracking/spt_saxton_jacobson.pdf|wayback=20140423051355|text=PDF}}| DOI=10.1146/annurev.biophys.26.1.373}}</ref><ref name="DOI10.1529/biophysj.108.140392">{{Literatur| Autor=Sripad Ram, Prashant Prabhat, Jerry Chao, E. .. Sally Ward, Raimund J. Ober| Titel=High Accuracy 3D Quantum Dot Tracking with Multifocal Plane Microscopy for the Study of Fast Intracellular Dynamics in Live Cells| Sammelwerk=Biophysical Journal| Band=95| Nummer=12| Jahr=2008| Monat=12| Tag=| Seiten=6025–6043| PMID=| ISSN=00063495| Originaltitel=| Originalsprache=| DOI=10.1529/biophysj.108.140392}}</ref>. Auch mit Hilfe von [[Fluoreszenz-Korrelations-Spektroskopie]] ist sie unter gewissen Annahmen experimentell zugänglich<ref name="DOI10.1103/PhysRevLett.92.048303">{{Literatur| Autor=Roman Shusterman, Sergey Alon, Tatyana Gavrinyov, Oleg Krichevsky| Titel=Monomer Dynamics in Double- and Single-Stranded DNA Polymers| Sammelwerk=Physical Review Letters| Band=92| Nummer=4| Jahr=2004| Monat=1| Tag=| Seiten=| PMID=| ISSN=0031-9007| Originaltitel=| Originalsprache=| DOI=10.1103/PhysRevLett.92.048303}}</ref>. Es kann dann aus der gemessenen Kurve ''&lang;r²(&tau;)&rang;'' auch der Diffusionskoeffizient bestimmt werden:
:<math>D=\frac{1}{2n}\cdot\lim\limits_{\tau\rightarrow\infty}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\langle r^2(\tau)\rangle</math>

== Verbindung zur Geschwindigkeitsautokorrelation ==
Die mittlere quadratische Verschiebung steht über die [[Green-Kubo-Relationen|Green-Kubo-Relation]] in enger Verbindung zur [[Geschwindigkeitsautokorrelationsfunktion]] <math>\langle\vec{v}(t)\cdot\vec{v}(t+\tau)\rangle</math><ref name="Zwanzig">Robert Zwanzig: ''Nonequilibrium Statistical Mechanics'' Oxford University Press, USA, 2001, ISBN 978-0195140187</ref><ref name="DOI10.1021/ma035250p">{{Literatur| Autor=John H. van Zanten, Samiul Amin, Ahmed A. Abdala| Titel=Brownian Motion of Colloidal Spheres in Aqueous PEO Solutions| Sammelwerk=Macromolecules| Band=37| Nummer=10| Jahr=2004| Monat=05| Tag=| Seiten=3874–3880| PMID=| ISSN=0024-9297| Originaltitel=| Originalsprache=| DOI=10.1021/ma035250p}}</ref>:
:<math>\langle\vec{v}(t)\cdot\vec{v}(t+\tau)\rangle=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\frac{\langle r^2(\tau)\rangle}{6\tau}</math>

== Weblinks ==
* {{Webarchiv|url=http://matdl.org/matdlwiki/index.php/softmatter:Mean_Squared_Displacement|wayback=20120225113844|text=NSDL Materials Digital Library Wiki: softmatter:Mean Squared Displacement}}, abgerufen am 5. August 2012

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
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