Quelltext der Seite Signalgeschwindigkeit

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[[Datei:frontgroupphase.gif|mini|Propagation eines Wellenpaketes: Der blaue Punkt bewegt sich mit ''Phasengeschwindigkeit''; der grüne mit ''Gruppengeschwindigkeit'' und der rote mit ''Frontgeschwindigkeit'']]
Die '''Signalgeschwindigkeit''' ist diejenige [[Geschwindigkeit]], mit der sich ein [[Signal]] ausbreitet. Ein Signal, also eine Änderung eines Zustandes, lässt sich als [[Wellenpaket]] beschreiben. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Einhüllende eines solchen Wellenpaketes bewegt ist die [[Gruppengeschwindigkeit]]. Im Allgemeinen, insbesondere wenn die [[Phasengeschwindigkeit]] stark frequenzabhängig ist oder die Absorption nicht vernachlässigt werden kann, ist die Signalgeschwindigkeit von der Gruppengeschwindigkeit zu unterscheiden. Die Geschwindigkeit mit der sich die erste Auslenkung einer [[Wellenfront]] bewegt, ist die '''Frontgeschwindigkeit'''. Diese Geschwindigkeit, und damit auch die Signalgeschwindigkeit, ist immer kleiner als die [[Lichtgeschwindigkeit]]. In Kabeln wird sie durch den [[Verkürzungsfaktor]] angegeben.

== Frontgeschwindigkeit ==
Im 19. Jhdt. nahm [[Lord Rayleigh]] an, dass eine Welle Information und Energie mit Gruppengeschwindigkeit überträgt.<ref name=milonni>{{Literatur|Titel=Fast Light, Slow Light and Left-Handed Light|Autor=P.W. Milonni|Jahr=2004|Verlag=CRC Press|Seiten=26|ISBN=1420034332|Online={{Google Buch|BuchID=kE8OUCvt7ecC|Seite=26}}}}</ref> In [[Ausbreitungsmedium|Ausbreitungsmedien]] mit [[Dispersion (Physik)|anomaler Dispersion]] ist die Gruppengeschwindigkeit proportional zum Betrag der Dispersion. Dabei gibt es keine prinzipielle physikalische Grenze. Es ist möglich, dass das Zentrum eines Wellenpakets sich mit [[Überlichtgeschwindigkeit]] bewegt. Gemäß der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] ist jedoch die Lichtgeschwindigkeit die höchste Geschwindigkeit mit der Information übertragen werden kann.

[[Woldemar Voigt]] zeigte anhand der [[Telegraphengleichung]], dass die Geschwindigkeit einer Wellenfront im Fall dieser Telegraphengleichung kleiner als die Gruppengeschwindigkeit ist, und damit die Signalgeschwindigkeit von der Gruppengeschwindigkeit unterschieden werden muss.<ref>{{Literatur|Titel=Wave Propagation and Group Velocity|Autor=Léon Brillouin|Verlag=Academic Press|Jahr= 2013|ISBN=1483276015|Seiten=10|Online={{Google Buch|BuchID=gdQ3BQAAQBAJ|Seite=10}}}}</ref> Die Front einer Welle ist durch eine Oberfläche definiert, hinter der zu einem gewissen Zeitpunkt die Amplitude einer Welle identisch Null ist.

== Überlichtgeschwindigkeit ==
Dass die Frontgeschwindigkeit immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist, lässt sich anhand eines allgemeinen Signals der Form

:<math>\Psi(x=0,t)=\Theta(t) e^{\mathrm i \omega t}</math>

zeigen.<ref name=milonni />
<math>\Theta(t)</math> ist hierbei die [[Heaviside-Funktion]]. Wenn sich die Wellenfront <math>t=0</math> dieser Welle nicht mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen kann, so muss für eine Distanz <math>x> ct</math> die Wellenfunktion <math>\Psi(x,t)</math> Null sein.
Für die Wellenfunktion

:<math>\Psi(x,t)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm d t' \, G(x,t-t') \Psi(0,t')</math>

mit der [[Greensfunktion]]

:<math>G(x,\tau)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathrm d \omega \, e^{\mathrm i \omega \left(n(\omega) \frac{x}{c} -\tau\right)}</math>

lässt sich dies mithilfe des [[Residuensatz]]es zeigen. Da für große Frequenzen <math>\omega \to \infty</math> der [[Brechungsindex]] <math>n=1</math> ist, bleibt dort <math>e^{\mathrm i \left(\frac{x}{c}-t\right)}</math> als Integrand über. Für <math>x>ct</math> lässt sich dies als Kurvenintegral über die obere Hälfte der komplexen Ebene schreiben. Da der Brechungsindex dort aber [[Analytische Funktion|analytisch]] ist (also keine Singularitäten besitzt) ist das Integral Null.

== Literatur ==
* Léon Brillouin: ''„Wave propagation and group velocity“'', Academic Press Inc., New York, 1960

== Weblinks ==
* [http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/20/20.html gregegan.customer.netspace.net.au] – Applet, das Gruppen-, Phasen- und Signalgeschwindigkeit einer Welle verdeutlicht.
* [http://www.phy.duke.edu/research/photon/qelectron/proj/infv/fast_debate.php Zur Geschichte der Begriffe bei Sommerfeld, Brillouin, Duke University]

== Einzelnachweise ==

<references />

{{Navigationsleiste Wellengeschwindigkeit}}

[[Kategorie:Wellen]]
[[Kategorie:Wellenlehre]]
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