Quelltext der Seite Bessel-Strahl

Du bist aus dem folgenden Grund nicht berechtigt, die Seite zu bearbeiten:
Diese Aktion ist auf Benutzer beschränkt, die der Gruppe „Benutzer“ angehören.
Du kannst den Quelltext dieser Seite betrachten und kopieren.
[[Datei:Bessek beam intensity.svg|mini|Querschnitt durch die [[Intensität (Physik)|Intensitäts]]<nowiki />verteilung eines Bessel-Strahls]]
Ein '''Bessel-Strahl''' (nach dem deutschen [[Astronom]]en, [[Mathematiker]], [[Geodät]]en und [[Physiker]] [[Friedrich Wilhelm Bessel]]) bezeichnet in der [[Wellenoptik]] eine spezielle, ideale Form [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischer Wellen]]. Eine der für ihre Anwendung wichtigsten Eigenschaften ist, dass sie nicht[[Beugung (Physik)|beugend]] sind, d.&nbsp;h. ihre Form ändert sich - anders als etwa bei [[Gauß-Strahl]]en - während der Ausbreitung ''nicht''. Ein Besselstrahl pflanzt sich immer mit Unter[[lichtgeschwindigkeit]] fort.

Mathematisch ist ein Bessel-Strahl ein Satz von Lösungen der [[Paraxiale Optik|paraxialen]] [[Helmholtz-Gleichung]], die in der Wellenoptik die Form von paraxialen Strahlen beschreibt.

Bessel-Strahlen wurden 1987 von Jim Durnin theoretisch konstruiert und von Durnin und [[Joseph H. Eberly]] experimentell demonstriert.<ref>J. Durnin, J. H. Eberly, J. J. Miceli, ''Diffraction Free Beams'', Phys. Rev. Lett., Band 58, 1987, S. 1499–1501</ref>

== Mathematische Beschreibung ==
In der paraxialen Optik werden Lichtstrahlen, die zur z-Achse parallel sind, beschrieben als elektromagnetische Welle in der Form:

:<math>U(\vec{r}, t) = A(x,y,z)\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,k_z\, z}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\omega\, t},</math>

wobei
* <math>\vec{r}=(x,y,z)</math> der Ort und
* <math>t</math> die Zeit ist.
* Die [[Amplitude]]nfunktion <math>A(x,y,z)</math> soll höchstens schwach von <math>z</math> abhängen, so dass die Welle längs der z-Achse näherungsweise [[Periodische Funktion|periodisch]] ist mit der [[Wellenlänge]] <math>\lambda_z = 2 \pi / k_z</math>.
* Für die Schwingungs-[[Kreisfrequenz]] muss gelten <math>\omega \ge k_z\,c</math>.
* Für die Größe <math>k = \frac{\omega}{c}</math>, die bei einer [[Ebene Welle|ebenen Welle]] die zur Kreisfrequenz <math>\omega</math> gehörige [[Wellenzahl]] ist, gilt damit <math>k \ge k_z</math>.<br />Die Größe <math>k_T = \sqrt{k^2 - k_z^2}</math> wird als transversale Wellenzahl bezeichnet.

Ist die Amplitude sogar vollständig unabhängig von <math>z</math> ([[Dispersion (Physik)|dispersions]]<nowiki />freier Strahl):

:<math>A = A(x,y) \neq f(z)</math>,

so muss <math>A(x,y)</math> der paraxialen Helmholtz-[[Differentialgleichung]] genügen:

:<math>\nabla_T^2 \, A(x,y) + k_T^2 \, A(x,y) = 0</math>

mit dem [[Laplace-Operator #In zwei Dimensionen|auf die x-y-Ebene eingeschränkte Laplace-Operator]] <math>\nabla_T^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}</math>. Entsprechend gilt in [[Polarkoordinaten]] <math>x = \rho \cdot \cos(\phi), \ \ y = \rho \cdot \sin(\phi)</math>:

::<math>\nabla_T^2 = \frac{\partial^2 }{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 }{\partial \phi^2}.</math>

Die Lösung der o.g. Differentialgleichung ergibt unter Annahme von [[Zylinderkoordinaten|Zylindersymmetrie]]:<ref name="salehteich">Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich: ''Fundamentals of photonics'' 2007, ISBN 978-0-471-35832-9</ref>

:<math>\Rightarrow A(x,y) = A \cdot J_m(k_T \cdot \rho) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \, m \, \phi},\ \ m=0, \pm1, \pm2,...</math>

Dabei ist <math>J_m(\cdot)</math> die [[Besselfunktion #Bessel-Funktionen erster Gattung Jν|Besselfunktion 1.&nbsp;Art]] der Ordnung&nbsp;''m''.

Üblicherweise bezeichnet man den [[Rotationssymmetrie|rotationssymmetrischen]] Spezialfall&nbsp;''m=0'' auch einfach als '''Bessel-Strahl'''.

Im Grenzfall <math>k_T \rightarrow 0</math> ergibt sich <math>A(x,y)=const</math>, also eine ebene Welle mit dem [[Wellenvektor]] <math>\vec{k}=(0,0,k_z)</math> und <math>k_z = \omega / c </math>.

== Eigenschaften ==
[[Datei:Bessel gauss.svg|mini|Vergleich der radialen Intensität eines Gauß-Strahls (rot) und eines Bessel-Strahls mit ''m=0'' (blau). Im oberen Diagramm stimmt die 1/e²-Breite des zentralen Peaks und im unteren die über den Plot-Bereich integrierte Intensität überein.]]
=== Profil ===
Die [[lateral]]e Amplitude und damit auch die laterale [[Intensität (Physik)|Intensitäts]]<nowiki />verteilung

:<math>I_m(\rho,\phi,z) = |A_0|^2\cdot J_m^2(k_T\cdot\rho)</math>

hängen ''nicht'' von der Position&nbsp;''z'' in Ausbreitungsrichtung ab:

:<math>I_m \neq f(z)</math>

Daher verändert sich ihre Breite (im Gegensatz etwa zu Gauß-Strahlen) ''nicht'' während der Ausbreitung. Man spricht daher von nichtbeugenden Strahlen. Dies bedeutet auch, dass Bessel-Strahlen keinen [[Fokus]] im Sinne eines Punktes höchster Intensität entlang der Ausbreitungsrichtung besitzen.

Bessel-Strahlen werden auch als "selbstheilend" bezeichnet, da sie an einem Punkt der Ausbreitungsachse teilweise gestört oder blockiert werden können (z.&nbsp;B. durch ein Streuzentrum), ihre Form aber später in der Ausbreitungsrichtung wiedergewinnen.

Die Intensität in radialer Richtung <math>\rho</math> fällt bei Bessel-Strahlen deutlich schwächer ab als bei Gauß-Strahlen,<ref name="salehteich" /> vgl. nebenstehende Abbildungen:

:<math>I_0^\text{Bessel}(\rho)\propto J_0^2(k_T\cdot\rho)\approx \frac{1}{\rho}\cdot\cos^2(k_T\rho-\pi/4)</math>

Für Gauß-Strahlen gilt jedoch:

:<math>I_0^\text{Gauß}(\rho,z)\propto \exp\left(-\frac{2\rho^2}{W(z)}\right)</math>

Aufgrund des ''1/ρ''-Abfalls enthält ein idealer Bessel-Strahl auch unendlich viel Energie, da das Integral über die Intensität in radialer Richtung divergiert, d.&nbsp;h. ''nicht'' auf ein Maximum zuläuft. Dies ist ein Grund, warum ideale Bessel-Strahlen in der Realität nicht realisierbar sind.

Wie man weiter aus der Abbildung ersieht, weisen Bessel-Strahlen deutliche Nebenmaxima auf (auch im Vergleich zu einer [[Beugungsscheibchen|Airy-Scheibe]]), haben bei gleichem Energieinhalt aber ein deutlich schmaleres Hauptmaximum.

=== Geschwindigkeit ===
Die [[Phasengeschwindigkeit]] in Ausbreitungsrichtung&nbsp;z ist:

:<math>c_\text{Phase} = \frac{\omega}{k_z}</math>

und daher ''größer''&nbsp;(!) als die [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math>:

:<math>\Rightarrow c_\text{Phase} > c = \frac{\omega}{k}</math>

denn für gegebene Kreisfrequenz <math>\omega</math> ist

::<math>k_z^2 < k^2 = k_z^2 + k_T^2</math>

Sie zeigt aber eine [[Dispersion (Physik)|Dispersion]], die auf folgende [[Gruppengeschwindigkeit]] führt:

<math>\begin{align}
            c_\text{Gruppe} & = c \cdot \left( 1 - \frac{k_T^2}{2 \cdot k^2} \right)\\
\Rightarrow c_\text{Gruppe} & < c
\end{align}</math>

[[Wellenpaket]]e in Form eines Besselstrahls sind also im [[Vakuum]] langsamer als die Lichtgeschwindigkeit. Dies konnte 2015 sogar an einzelnen [[Photon]]en nachgewiesen werden, wobei der Effekt einige [[Parts per million|ppm]]&nbsp;(Millionstel) der Lichtgeschwindigkeit erreichte.<ref>D. Giovannini et al.: ''Spatially structured photons that travel in free space slower than the speed of light'', Science, online 22. Januar 2015; [[doi:10.1126/science.aaa3035]]</ref>

Dies kann genutzt werden, um bei [[Nichtlineare Optik|nichtlinearen Effekten]] die Gruppengeschwindigkeit der Pumpwelle mit der Phasengeschwindigkeit einer rot-verschobenen z.&nbsp;B. [[Raman-Streuung #Beschreibung|Raman-Stokes]]-Welle anzugleichen und damit überhaupt erst einen effektiven [[Optisches Pumpen|Pumpprozess]] bei kurzen [[Puls (Elektrotechnik)|Pulsen]] zu ermöglichen.<ref>S. Klewitz et al.,:''Stimulated Raman scattering of femtosecond Bessel pulses'', Optics Communications,Volume 154, Issue 4, 1 September 1998, Pages 186–190 [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0030401898003174]</ref>

== Erzeugung ==
[[Datei:Bessel beam.svg|mini|Ein [[Axicon]] erzeugt einen Bessel-ähnlichen Strahl]]
[[Datei:Bessel beam reform.svg|mini|Die zentrale helle Stelle des Besselstrahls heilt sich nach einer Störung selbst, aber verschoben, vgl. Bild darüber.]]
Reale Bessel-Strahlen lassen sich ebenso wenig erzeugen wie eine ideale [[ebene Welle]], da beides eine unendliche Menge an Energie erfordern würde. Gute Näherungen lassen sich aber durch [[Fokus]]sierung eines [[Gauß-Strahl]]s mit Hilfe eines [[Axicon]]s (einer speziellen, [[konisch]] geschliffenen [[Linse (Optik)|Linse]]) erzeugen. Die daraus resultierenden '''Bessel-Gauß-Strahlen''' weisen die selbstheilenden Eigenschaften eines idealen Bessel-Strahls immer noch über einen gewissen Bereich auf.<ref name="DOI10.1103/PhysRevLett.58.1499">{{cite journal| author = J. Durnin, J. J. Miceli| year = 1987| month = 04| title = Diffraction-free beams| journal = Physical Review Letters| volume = 58| issue = 15| pages = 1499–1501| doi = 10.1103/PhysRevLett.58.1499}}</ref><ref name="DOI10.1016/0030-4018(87)90276-8">{{cite journal| author = F. Gori, G. Guattari, C. Padovani| year = 1987| month = 12| title = Bessel-Gauss beams| journal = Optics Communications| volume = 64| issue = 6| pages = 491–495| doi = 10.1016/0030-4018(87)90276-8}}</ref>

== Anwendung ==
Bessel-Strahlen werden aufgrund ihrer selbstheilenden Eigenschaften für [[Optische Pinzette]]n eingesetzt.<ref name="DOI10.1016/S0030-4018(01)01479-1">{{cite journal| author = J. Arlt, V. Garces-Chavez, W. Sibbett, K. Dholakia| year = 2001| month = 10| title = Optical micromanipulation using a Bessel light beam| journal = Optics Communications| volume = 197| issue = 4-6| pages = 239–245| doi = 10.1016/S0030-4018(01)01479-1| id = {{ISSN|0030-4018}}| url =http://www.delmarphotonics.com/Axicon_StAndrews_Besseltweezers.pdf}}</ref>

Außerdem bieten sie bei [[Lichtscheibenmikroskopie]] Vorteile: Die Lichtscheibe wird dann durch das [[Scannen]] eines Bessel-Gauß-Strahls erzeugt, was zu einem schmaleren zentralen [[Peak]] führt und daher auch zu besserer axialer [[Auflösung (Mikroskopie)|Auflösung]] bei gleicher eingebrachter Energie wie eine gaußsche Lichtscheibe. Außerdem ermöglicht die Selbstheilung eine größere [[Eindringtiefe #Elektromagnetische Wellen|Eindringtiefe]].<ref name="PMID21164769">F. O. Fahrbach, A. Rohrbach: ''A line scanned light-sheet microscope with phase shaped self-reconstructing beams.'' In: ''Optics express.'' Band 18, Nummer 23, November 2010, S.&nbsp;24229–24244, {{ISSN|1094-4087}}. PMID 21164769.</ref><ref name="PMID21378978">T. A. Planchon, L. Gao, D. E. Milkie, M. W. Davidson, J. A. Galbraith, C. G. Galbraith, E. Betzig: ''Rapid three-dimensional isotropic imaging of living cells using Bessel beam plane illumination.'' In: ''Nature methods.'' Band 8, Nummer 5, Mai 2011, S.&nbsp;417–423, {{ISSN|1548-7105}}. [[doi:10.1038/nmeth.1586]]. PMID 21378978.</ref>

== Literatur ==
* Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich: ''Fundamentals of photonics'' 2007, ISBN 978-0-471-35832-9

* S.Klewitz: ''Stimulierte Lichtstreuung mit Besselstrahlen'', 1. Aufl. Allensbach. UFO, Atelier für Gestaltung und Verl. 1998. 170 S. UFO-Dissertation; 335., ISBN [null 3-930803-34-8]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Besselstrahl}}
[[Kategorie:Optik]]
[[Kategorie:Paraxiale Optik]]
[[Kategorie:Friedrich Wilhelm Bessel als Namensgeber]]
Zurück zur Seite Bessel-Strahl.
Abgerufen von „https://www.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Bessel-Strahl“