Quelltext der Seite Brillouin-Paradoxon

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[[Datei:Brillouin-Paradoxon.svg|thumb|right|Thermisch rauschender Widerstand ''R'' (strichliert, da rauschend) mit parallel geschalteter Diode ''D'']]
Das '''Brillouin-Paradoxon''' ist ein erstmals 1950 von [[Léon Brillouin]] beschriebenes<ref>Léon Brillouin: ''Can the Rectifier Become a Thermodynamical Demon?'' In: ''[[Physical Review]].'' Bd. 78, Nr. 5, 1950, S. 627–628, {{DOI|10.1103/PhysRev.78.627.2}}.</ref> scheinbares [[Paradoxon]] der [[Thermodynamik]] und stellt ein elektrisches Analogon zur [[Molekulare Ratsche|molekularen Ratsche]] bzw. zum [[Maxwellscher Dämon|maxwellschen Dämon]] dar. Das von Brillouin untersuchte System besteht aus einem [[elektrischer Widerstand|elektrischen Widerstand]] und einer [[Diode]] in [[Parallelschaltung]]. Eine naive Betrachtung würde ergeben, dass das [[Wärmerauschen]] des Widerstandes von der Diode nur in einer Richtung erlaubt wird, sodass eine effektive [[elektrische Spannung]] abgegriffen werden könnte. Eine solche „Gleichrichtung der Wärmefluktuationen“ wäre ein Weg zur Schaffung eines [[Perpetuum Mobile]]s zweiter Art, also ein Widerspruch zum [[Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik|Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik]]. Eine Auflösung dieses Widerspruchs ist durch eine eingehendere Analyse möglich, der zweite Hauptsatz gilt demnach uneingeschränkt.

== Lösung mithilfe einer Fokker-Planck-Gleichung ==
Die [[Fokker-Planck-Gleichung]] des Systems über einem [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensator]] lautet<ref>{{Literatur|Autor=I. M. Sokolov|Titel=On the energetics of a nonlinear system rectifying thermal fluctuations|Sammelwerk=[[Europhysics Letters]] (EPL)|Band=Bd. 44|Nummer=3|Jahr=1998|Seiten=278–283|DOI=10.1209/epl/i1998-00470-4}}</ref>:

:<math>\frac{\partial p(u)}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial u}\left(\left(\frac{1}{R_1C}+\frac{1}{R_2(u)C}\right)up(u)+\left(\frac{k_B T_1}{R_1C^2}+\frac{k_\text{B} T_2}{R_2(u)C^2}\right)\frac{\partial p(u)}{\partial u}\right)</math>

<math>k_\text{B}</math> ist die [[Boltzmann-Konstante]], <math>C</math> die [[Kapazität (Elektrotechnik)|Kapazität]] des Kondensators, <math>R_1</math> der ohmsche Widerstand, <math>R_2(u)</math> der spannungsabhängige Widerstand der Diode und <math>T_{1/2}</math> die Temperaturen der Bauteile. Die stationäre Lösung dieser Gleichung ist:

:<math>p(u)\varpropto \exp\left(-\int \left(\frac{1}{R_1C}+\frac{1}{R_2(u)C}\right)u/\left(\frac{kT_1}{R_1C^2}+\frac{kT_2}{R_2(u)C^2}\right)\mathrm{d}u\right)</math>.

Für gleiche Temperaturen kürzen sich die Widerstände aus, die symmetrische Verteilung <math>\exp(-Cu^2/2kT)</math> wahrt den Zweiten Hauptsatz. Das gilt insbesondere auch für den Fall einer idealen Diode.
Für verschiedene Temperaturen erhält man tatsächlich eine mittlere Spannung ungleich 0, was aber keinen Widerspruch zum Zweiten Hauptsatz darstellt.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Gedankenexperiment]]
[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Rauschen]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]

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