Quelltext der Seite Dynamisches Gleichgewicht (Technische Mechanik)

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Als '''Dynamisches Gleichgewicht''' wird in der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] das Gleichgewicht zwischen [[äußere Kraft|äußerer Kraft]] und [[Trägheitskraft]] bezeichnet.<ref name="Böge" />

Für einen Körper mit der Masse <math>m</math> lautet das [[Newtonsche Gesetze#Zweites Newtonsches Gesetz|zweite Newtonsche Gesetz]]:

:<math>\vec{F} = m \, \vec{a}</math>.

Dabei ist <math>\vec F</math> die äußere Kraft und <math>\vec a</math> die Beschleunigung im [[Inertialsystem]]. Nachdem die ''Grundgleichung der Mechanik'' auf die Form

:<math>\vec F - m \, \vec{a} = \vec 0</math>

gebracht wurde,<ref name="gross" /> fasst man das negative Produkt aus [[Masse (Physik)|Masse]] und [[Beschleunigung]] formal als Kraft auf, die als ''[[Trägheitskraft]]'' oder genauer als '''D'Alembertsche Trägheitskraft''' <math>\vec{F}_{T}</math> bezeichnet wird.<ref name="Knappstein2004" /> Man erhält:

:<math>\vec F + \vec{F}_T = \vec{0}</math>

Damit ist das dynamische Problem auf ein statisches Problem des [[Mechanisches Gleichgewicht|Kräftegleichgewichts]] zurückgeführt. Die Summe von äußerer Kraft und Trägheitskraft ist somit stets Null. Die d'Alembertsche Trägheitskraft ist die Folge der Beschleunigung und nicht deren Ursache.<ref name="lanc" />

Der Vorteil dieser Vorgehensweise liegt darin, dass die Beschreibung einheitlich in einem Inertialsystem erfolgt und nicht weitere [[Bezugssystem]]e eingeführt werden müssen. Für viele Anwendungen in der Technischen Mechanik ist bereits ein erdfestes Bezugssystem mit ausreichender Genauigkeit ein Inertialsystem, in der [[Fahrzeugdynamik]] nach&nbsp;DIN&nbsp;ISO&nbsp;8855 so festgelegt.

== Anwendung ==
[[Datei:Dynamisches-gleichgewicht-motorrad-kurvenfahrt.svg|mini|Motorrad bei stationärer Kurvenfahrt]]
In der Praxis kann man den Umstand ausnutzen, dass [[Trägheitskraft]] und [[äußere Kraft]] häufig an verschiedenen Punkten angreifen. Beispiel ist die Berechnung der [[Schräglage]] eines Motorrads bei stationärer Kurvenfahrt. Als äußere Kräfte wirken die Gewichtskraft im Schwerpunkt und die Reifenkräfte im Radaufstandspunkt auf das Motorrad. Die Reifenkräfte sind die [[Seitenführungskraft|Seitenkraft]] radial zum Kurvenmittelpunkt sowie die [[Radlast]] vertikal (beide nicht eingezeichnet).

Der Betrag von [[Zentripetalkraft]] bzw. Zentrifugalkraft berechnet sich aus der Bahngeschwindigkeit <math>v</math> und dem [[Krümmung]]sradius der Bahn <math>R</math>:

:<math>\left | F_\text{Zf} \right | = m\;\frac{v^2}{R}</math>

Wählt man als Bezugspunkt für das Momentengleichgewicht den Radaufstandspunkt, muss die resultierende Kraft <math>F_R</math> aus [[Zentrifugalkraft|Fliehkraft]] <math>F_\text{Zf}</math> und Gewichtskraft <math>F_G</math> durch den Radaufstandspunkt gehen, wenn das Motorrad nicht umkippen soll. Die Reifenkräfte, die die [[Zentripetalkraft]] ausüben, brauchen beim Momentengleichgewicht nicht berücksichtigt zu werden, da sie bezüglich des Bezugspunkts (Radaufstandspunkt) keinen [[Hebelarm]] besitzen und dadurch kein Moment erzeugen. Für die Schräglage <math>\alpha</math> ergibt sich
:<math>\tan{\alpha}=\frac{F_\text{Zf}}{F_G}=\frac{v^2}{R\;g}=\frac{a_y}{g}</math>
mit der [[Erdbeschleunigung]] <math>g</math>, und der [[Radialbeschleunigung]] <math>a_y</math>.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Böge">
{{Literatur |Autor=Alfred Böge, Wolfgang Böge, Klaus-Dieter Arnd u.&nbsp;a. |Titel=Handbuch Maschinenbau: Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik Gebundene Ausgabe – 22. Auflage |Verlag=Springer Verlag |Datum=2014 |ISBN=978-3-658-06597-3 |Online={{Google Buch | BuchID=DFrEBQAAQBAJ | SeitenID=RA1-PA14 | Hervorhebung=dynamisches gleichgewicht}}}}
</ref>
<ref name="gross">
{{Literatur |Autor=Dietmar Gross, Werner Hauger, Jarg Schrader, Wolfgang A. Wall |Titel=Technische Mechanik |Band=Band 3 Kinetik |Auflage=10. |Verlag=Gabler Wissenschaftsverlage |Datum=2008 |Seiten=191 |Online={{Google Buch|BuchID = jfEwnhV9DlYC|Seite = 191}} |Zitat=Wir schreiben nun <math>F-ma=0</math> und fassen das negative Produkt aus der Masse <math>m</math> und der Beschleunigung <math>a</math> formal als eine Kraft auf, die wir […] D'Alembertsche Trägheitskraft <math>F_T</math> nennen: <math>F_T=-ma</math>. Diese Kraft ist keine Kraft im Newtonschen Sinne, da zu ihr keine Gegenkraft existiert (sie verletzt das Axiom actio=reactio!); wir bezeichnen sie daher als Scheinkraft.}}
</ref>
<ref name="Knappstein2004">
{{Literatur |Autor=Gerhard Knappstein |Titel=Kinematik und Kinetik |Verlag=Harri Deutsch Verlag |Datum=2004 |ISBN=3-8171-1738-8 |Seiten=68 ff. |Online={{Google Buch | BuchID=sCon9ih98_EC | Seite=68}}}}
</ref>
<ref name="lanc">
{{Literatur |Autor=Cornelius Lanczos |Titel=The Variational Principles of Mechanics |Verlag=Courier Dover Publications |Ort=New York |Datum=1986 |ISBN=0-486-65067-7 |Seiten=88–110. |Online={{Google Buch | BuchID = ZWoYYr8wk2IC | Seite = 88 | Hervorhebung = "force of inertia"}} |Zitat=We now define a vector I by the equation I = -m A. This vector I can be considered as a force created by the motion. We call it the "force of inertia". With this concept the eqation of Newton can be formulated as follows: F + I = 0.}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Technische Dynamik]]
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