Quelltext der Seite Kerr-Newman-Metrik

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{{Metriken Schwarzer Löcher}}
Die '''Kerr-Newman-Metrik''' (nach [[Roy Kerr]] und [[Ezra Ted Newman]]) ist eine exakte, asymptotisch flache, stationäre und axialsymmetrische Lösung der [[Einsteinsche Feldgleichungen|Einstein-Gleichungen]] für [[elektrische Ladung|elektrisch geladene]], [[Drehimpuls|rotierende]] [[Schwarzes Loch|Schwarze Löcher]]. Wird die komplexe Transformation <math>r \to r + i \ a \cos \theta</math>, die von der [[Schwarzschild-Metrik]] zur Kerr-Lösung führt, auf die [[Reissner-Nordström-Metrik]] angewendet, führt dies zur Kerr-Newman-Lösung.<ref>Ezra (Ted) Newman und Tim Adamo: [http://www.scholarpedia.org/article/Kerr-Newman_metric ''Kerr-Newman metric'']. Scholarpedia, 9(10):31791</ref><ref>Newman & Janis: [https://www.abebooks.com/book-search/title/note-kerr-spinning-particle-metric-rotating/author/newman-e-t-janis-a-i-e-t ''Note on the Kerr Spinning-Particle Metric'']</ref>

== Linienelement ==
Das Linienelement hat in [[Boyer-Lindquist-Koordinaten]] die Form<ref name="mtw">[[Charles Misner]], [[Kip Thorne|Kip S. Thorne]], [[John Archibald Wheeler|John. A. Wheeler]]: ''[https://www.pdf-archive.com/2016/03/21/gravitation-misner-thorne-wheeler/ Gravitation]'', S. 877, S. 908. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0</ref><ref name="sarani" />:

:<math>
{\mathrm d \tau}^2 = 
\left(\frac{r_{\rm s} r-Q^2}{\Sigma}-1 \right) \mathrm d t^2
\ +</math> <math> \ \frac{\Sigma}{\Delta} \mathrm dr^2
\ + \ \Sigma \ \mathrm d\theta^2
\ + \ \frac{\chi}{\Sigma} \sin^2 \theta \ \mathrm d\phi^2
\ + \ \frac{2 a \ (Q^2-r_{\rm s} r)\ \sin^2 \theta }{\Sigma} \, \mathrm d t \, \mathrm d \phi
</math>

Wobei hier die Raum-Zeit-[[Signatur (lineare Algebra)|Signatur]] <math>\left(+,-,-,-\right)</math> und folgende Abkürzungen benutzt wurden:

:<math>\begin{align}
\Delta &:= r^2 - r_{\rm s} r + a^2 + Q^2\\
\Sigma &:= r^2 + a^2 \cos^2\theta\\
\chi   &:=\left( a^2 + r^2 \right)^2 - a^2 \sin^2 \theta \ \Delta\\
a      &:= J/M
\end{align}</math>

dabei bezeichnen <math>M</math> das Massenäquivalent (inklusive [[Elektrische Energie#Feldenergie|Ladungs-]] und [[Rotationsenergie]]) des zentralen Körpers, <math>Q</math> die elektrische Ladung und <math>J</math> den Drehimpuls des Schwarzen Loches. Durch Wahl in der Relativitätstheorie üblicher [[natürliche Einheiten#Relativitätstheorie|natürlicher Einheiten]] mit <math>G=c=K=1</math> (Gravitationskonstante, Lichtgeschwindigkeit und [[Coulombsches Gesetz|Coulomb-Konstante]]) haben Masse <math>M</math>, elektrische Ladung <math>Q</math> und Drehimpulsparameter <math>a</math> die gleiche [[Dimension (Größensystem)|Dimension]] wie eine [[Länge (Physik)|Länge]].<ref name="myers">Alan Myers: ''[http://www.seas.upenn.edu/~amyers/NaturalUnits.pdf#page=4 Natural System of Units in General Relativity]'', S. 4</ref> <math>r_s=2M</math> ist der [[Schwarzschild-Metrik|Schwarzschild-Radius]].

Die irreduzible Masse <math>M_{\rm irr}</math> steht mit dem totalen, auch als die gravitierende Masse bezeichneten Massenäquivalent <math>M</math> im Verhältnis<ref>[[Thibault Damour]]: [http://lapth.cnrs.fr/pg-nomin/chardon/IRAP_PhD/BlackHolesNice2012.pdf#page=11 Black Holes: Energetics and Thermodynamics], S. 11 ff.</ref>

:<math>M_{\rm irr} = \frac{1}{2}{\sqrt{2 M^2-Q^2+2 M \sqrt{M^2-Q^2-a^2}}} \ \to \ M=\sqrt{\frac{16 M_{\rm irr}^4+8 M_{\rm irr}^2 \ Q^2+Q^4}{16 M_{\rm irr}^2-4a^2}}</math>

Da einem statischen und neutralen Objekt, das in Rotation versetzt oder elektrisch aufgeladen werden soll, Energie hinzugefügt werden muss, und diese Energie aufgrund der [[Äquivalenz von Masse und Energie]] selbst zu einer Masse äquivalent ist, ist das Massenäquivalent eines rotierenden und/oder geladenen Körpers dementsprechend höher, als wenn dieser sich neutral in Ruhe befindet. Einem schwarzen Loch kann mithilfe des [[Penrose-Prozess]]es<ref name="mtw" /><ref name="bhat">Bhat, Dhurandhar & Dadhich: [https://sci-hub.cc/https://link.springer.com/article/10.1007/BF02715080 Energetics of the Kerr-Newman Black Hole by the Penrose Process], S. 94 ff.</ref> zwar Energie und damit auch Massenäquivalent entzogen werden, jedoch nicht so viel, dass am Ende weniger als die irreduzible Masse (die eines entsprechenden Schwarzschild-Lochs) übrigbleiben würde.

Die ko- und kontravarianten metrischen Koeffizienten lauten damit

:<math>{g_{tt}=\frac{r \ r_{\rm s}-Q^2}{\Sigma }-1 \ \to \ g^{tt}=-\frac{\chi }{\Delta \Sigma}}</math>
:<math>{g_{rr} = \frac{\Sigma }{\Delta } \ \to \ g^{rr}=\frac{\Delta }{\Sigma } \ , \ \ g_{\theta \theta}= \Sigma \ \to \ g^{\theta \theta}=\frac{1}{\Sigma }}</math>
:<math>{g_{\phi \phi} = \frac{\chi \sin ^2 \theta}{\Sigma } \ \to \ g^{\phi \phi} = \frac{\Sigma \csc ^4 \theta \left(Q^2-r \ r_{\rm s}+\Sigma \right)}{a^2 \left(Q^2-r \ r_{\rm s}\right)^2 + \chi \csc ^2 \theta \left(Q^2-r \ r_{\rm s}+\Sigma \right)}}</math>
:<math>{g_{t \phi} = \frac{a \sin ^2 \theta (Q^2-r \ r_{\rm s})}{\Sigma } \ \to \ g^{t \phi} = \frac{a \Sigma (Q^2-r \ r_{\rm s})}{a^2 \sin ^2 \theta \ \left(Q^2-r \ r_{\rm s}\right)^2 + \chi \left(Q^2-r \ r_{\rm s}+\Sigma \right)}}</math>

Im Fall eines elektrisch neutralen Schwarzen Loches <math>(Q=0)</math> vereinfacht sich die Kerr-Newman-Metrik zur [[Kerr-Metrik]]. Im Fall eines nicht-rotierenden Schwarzen Loches <math>(J=0)</math> ergibt sich die [[Reissner-Nordström-Metrik]] und für ein neutrales und nicht-rotierendes Objekt <math>(Q=J=0)</math> die [[Schwarzschild-Metrik]].

== Ergosphäre und Ereignishorizont ==
[[Datei:Kerr-Flaechen thumbnail.gif|220px|mini|verweis=Datei:Kerr-Flächen.png|Ereignishorizonte und Ergosphären. a²+Q² läuft in pseudosphärischen r,θ,φ-Koordinaten von 0 bis 1 und in kartesischen x,y,z-Koordinaten von 1 bis 0.]]
Für den äußeren [[Ereignishorizont]] bei <math>r_{H}^+</math> und den inneren, auch [[Cauchy-Horizont]] genannt, bei <math>r_{H}^-</math>, ergibt sich, indem <math>\Delta=0</math> gesetzt und nach <math>r</math> aufgelöst wird ein Boyer-Lindquist-Radius von<ref name="sarani">Sarani Chakraborty: [http://iopscience.iop.org.sci-hub.cc/article/10.1088/0264-9381/32/11/115011 ''Light deflection due to a charged, rotating body''], Seite 4</ref>

:<math>r_{H}^{\pm}=M \pm \sqrt{M^2-a^2-Q^2}</math>

und für die innere und äußere [[Ergosphäre]]

:<math>r_{E}^{\pm}=M \pm \sqrt{M^2-a^2 \cos ^2 \theta -Q^2}</math>

Bei <math>a^2+Q^2 \geq M^2</math> würde sich der Horizont auflösen, und die Metrik dann kein schwarzes Loch mehr beschreiben. Körper mit einem höheren Spin können daher auch nicht zu einem Schwarzen Loch kollabieren ohne vorher Drehimpuls abzugeben und/oder einen Teil ihrer Ladung durch Akkretion entgegengesetzt geladener Materie zu neutralisieren.<ref name="bolin">Joakim Bolin, Ingemar Bengtsson: ''[http://www.fysik.su.se/~ingemar/relteori/The%20Angular%20Momentum%20of%20Kerr%20Black%20Holes.pdf#page=2 The Angular Momentum of Kerr Black Holes]'', S. 2, S. 10, S.&nbsp;11.</ref><ref name="wheaton">William Wheaton: ''[http://www.wwheaton.com/waw/mad/mad15.html Rotation Speed of a Black Hole]''</ref><ref name="kerrtube1">Roy Kerr (Crafoord Prize Symposium in Astronomy): ''[https://www.youtube.com/watch?v=LeLkmS3PZ5g&t=36m47s Spinning Black Holes]''. (Youtube, [https://www.youtube.com/watch?v=LeLkmS3PZ5g&t=36m47s Zeitstempel 36:47])</ref>

== Bewegungsgleichungen ==
[[Datei:Kerr-Newman-Orbit-1-thumbnail.gif|mini|verweis=Datei:Kerr-Newman-Orbit-1.gif|Testpartikel im starken gravitativen Feld einer schnell rotierenden und stark geladenen zentralen Masse (a/M=0,9, Q/M=0,4)]]

Mit dem elektromagnetischen Potential<ref>Brandon Carter: ''[https://luth.obspm.fr/~luthier/carter/trav/Carter68.pdf#page=3 Global structure of the Kerr family of gravitational fields]'' (1968)</ref><ref name="luongo">Orlando Luongo, Hernando Quevedo: ''[https://arxiv.org/pdf/1407.1530.pdf#page=2 Characterizing repulsive gravity with curvature eigenvalues]''</ref>

:<math>A_{\mu}=\left( \frac{r \ Q }{\Sigma},\ 0,\ 0, -\frac{a \ r \ Q \sin ^2 \theta }{\Sigma} \right) </math>

und dem daraus resultierenden Maxwell-Tensor

:<math>F_{\mu\nu} = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^{\nu}} \ \to \ F^{\mu\nu}=g^{\mu\sigma} \ g^{\nu\kappa} \ F_{\sigma \kappa}</math>

ergeben sich über

:<math>{{\ddot x^i = - \Gamma^i_{j k} \ {\dot x^j} \ {\dot x^k} + q \ {F^{i k}} \ {\dot x^j}} \ {g_{j k}}}</math>

die Bewegungsgleichungen<ref name="cebeci">Hakan Cebeci et al: [https://www.researchgate.net/publication/288890529_Motion_of_the_charged_test_particles_in_Kerr-Newman-Taub-NUT_spacetime_and_analytical_solutions ''Motion of the charged test particles in Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime and analytical solutions'']</ref><ref name="hackman">Eva Hackmann, Hongxiao Xu: [https://arxiv.org/pdf/1304.2142.pdf#page=4 ''Charged particle motion in Kerr-Newmann space-times''], S. 4</ref> eines freifallenden Testpartikels; diese lauten in den dimensionslosen natürlichen Einheiten <math>G=M=c=K=1</math>, womit sich <math>Jc/(M^2G)</math> auf <math>a</math> und <math>Q/M \cdot \sqrt{K/G} </math> auf <math>Q</math> reduziert, und Längen in <math>G M/c^2</math> sowie Zeiten in <math>G M/c^3</math> gemessen werden:

:<math>\dot t = \frac{\csc ^2 \theta \ ({L_z} (a \ \Delta \sin ^2 \theta -a \ (a^2+r^2) \sin ^2 \theta )-q \ Q \ r \ (a^2+r^2) \sin ^2 \theta + E ((a^2+r^2)^2 \sin ^2 \theta -a^2 \Delta \sin ^4 \theta ))}{\Delta \Sigma }</math>

:<math>\dot r = \pm \frac{\sqrt{((r^2+a^2) \ E - a \ L_z - q \ Q \ r)^2-\Delta \ (C+r^2)}}{\Sigma}</math>

:<math>\dot \theta = \pm \frac{\sqrt{C-(a \cos \theta)^2-(a \ \sin^2 \theta \ E-L_z)/\sin \theta}}{\Sigma}</math>

:<math>\dot \phi = \frac{E \ (a \ \sin^2 \theta \ (r^2+a^2)-a \ \sin^2 \theta \ \Delta)+L_z \ (\Delta-a^2 \ \sin^2 \theta)-q \ Q \ r \ a \ \sin^2 \theta}{\Sigma \ \Delta \ \sin^2\theta}</math>

mit <math>E</math> für die spezifische Gesamtenergie (potentiell, kinetisch und Ruheenergie), <math>L_z</math> für den spezifischen axialen Drehimpuls und <math>q</math> für die elektrische Ladung pro Masse des Testteilchens. <math>C</math> ist dabei die Carter-Konstante:

:<math>C = p_{\theta}^{2} + \cos^{2}\theta \left( a^{2}(1 - E^{2}) + \frac{L_z^2}{ \sin^2\theta}\right) = a^2 \ (1-E^2) \ \sin^2 \delta + L_z^2 \ \tan^2 \delta</math>

mit den kanonischen [[Spezifischer Impuls|spezifischen Impulskomponenten]]<ref name="cebeci" />

:<math>p_{\mu}=g_{\mu \nu} \dot{x}^{\nu}+q \ A_{\mu}</math>,

wobei <math>p_{t} = -E</math>, <math>p_{\theta} = \dot \theta \ \Sigma</math> die [[Kugelkoordinaten#Definition|poloidale]] Komponente des Bahndrehimpulses und <math>\delta</math> der [[Bahnneigung|orbitale Inklinationswinkel]] ist. Der axiale Drehimpuls

:<math>L_z = p_{\phi} = \frac{\dot \phi \ \chi \sin ^2 \theta }{\Sigma }-\frac{\dot t a \sin ^2 \theta \left(2 r-Q^2\right)}{\Sigma }</math>

und die Gesamtenergie des Testpartikels

:<math>E = |g_{t t}| \ \dot t + |g_{t \phi}| \ \dot\phi = \sqrt{\frac{\Delta \ \Sigma}{(1-v^2) \ \chi}} + \Omega \ L_z</math>

sind dabei ebenfalls Konstanten der Bewegung.

:<math>\Omega = \left|\frac{g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}}\right| = \frac{a \left(2 r-Q^2\right)}{\chi }</math>

ist dabei die durch [[Lense-Thirring-Effekt|Frame-Dragging]] induzierte Winkelgeschwindigkeit eines lokal drehimpulsfreien Beobachters.

Die Eigenzeitableitungen der Koordinaten <math>\dot r, \ \dot \theta, \ \dot \phi</math> stehen mit der lokalen 3er-Geschwindigkeit <math>v</math>, die relativ zu einem lokal drehimpulsfreien Beobachter vor Ort gemessen wird, in dem Verhältnis

:<math>\dot x^i = v^i / \sqrt{(1 - v^2) \ |g_{i i}|} - \dot t \ g_{t i}/g_{i i}</math>.

Damit ergibt sich für die einzelnen Komponenten

:<math>v^{r} = \dot r \ \sqrt{\frac{\Sigma \ (1-v^2)}{\Delta}}</math>

für die radiale,

:<math>v^{\theta} = \dot \theta \ \sqrt{\Sigma \ (1-v^2) }</math>

für die poloidale, 

:<math>v^{\phi} = \frac{L_z \sqrt{1-v^2}}{\bar R}</math>

für die axiale und

:<math>v = \sqrt{\frac{\chi \ (E-L_z \ \Omega )^2 -\Delta \ \Sigma}{\chi \ (E-L_z \ \Omega )^2}} = \frac{\sqrt{\dot t^2-\varsigma^2}}{\dot t}</math>

für die insgesamte lokale Geschwindigkeit, wobei

:<math>\bar R = \sqrt{g_{\phi \phi}} = \sqrt{\frac{\chi}{\Sigma}} \ \sin \theta</math>

der axiale Gyrationsradius (lokaler Umfang durch 2π) ist, und

:<math>\varsigma = \frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau} = \sqrt{|g^{t t}|} = \sqrt{ \frac{\chi }{\Delta \ \Sigma} }</math>

die gravitative Komponente der Zeitdilatation. Die radiale Fluchtgeschwindigkeit eines elektrisch neutralen Teilchens lautet damit

:<math>v_{\rm esc}=\frac{\sqrt{\varsigma^2-1}}{\varsigma} </math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]
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