Quelltext der Seite Lorenz-Attraktor

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[[Datei:Lorenz attractor yb.svg|miniatur|hochkant=1.6|Grafische Darstellung eines Lorenz-Attraktors]]
Der '''Lorenz-Attraktor''' ist der [[Seltsamer Attraktor|seltsame Attraktor]] eines Systems von drei gekoppelten, nichtlinearen [[gewöhnliche Differenzialgleichung|gewöhnlichen  Differentialgleichungen]]:

:<math>
\begin{align}
  \dot X &= a (Y - X)\\
  \dot Y &= X (b - Z) - Y\\
  \dot Z &= XY - c Z
\end{align}
</math>

Formuliert wurde das System um 1963 von dem [[Meteorologie|Meteorologen]] [[Edward N. Lorenz]] (1917–2008)<ref>{{Literatur |Autor=Edward N. Lorenz |Titel=Deterministic Nonperiodic Flow |Sammelwerk=Journal of the Atmospheric Sciences |Band=20 |Nummer=2 |Datum=1963-03-01 |ISSN=0022-4928 |DOI=10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 |Seiten=130–141}}</ref>, der es 
als Idealisierung eines [[Hydrodynamik|hydrodynamisch]]en Systems entwickelte. Basierend auf einer Arbeit von [[Barry Saltzman]] (1931–2001) ging es Lorenz dabei um eine Modellierung der Zustände in der [[Erdatmosphäre]] zum Zweck einer [[vorhersage|Langzeitvorhersage]]. Allerdings betonte Lorenz, dass das von ihm entwickelte System allenfalls für sehr begrenzte Parameterbereiche von <math>a, b, c</math> realistische Resultate liefert.

Eng mit dem Lorenz-Attraktor verbunden ist das Schlagwort des [[Schmetterlingseffekt]]es (Metapher aus der [[Chaosforschung]]). Das System von Differentialgleichungen stand wiederholt im Blickpunkt der Öffentlichkeit, die mit dem chaotischen Verhalten der mathematischen Gleichungen Phänomene der realen Welt zu erklären versuchte: So sollte das Lorenzsystem anschaulich machen, dass im atmosphärischen Strömungsbild kleine Ursachen große Wirkung zeigen können.
[[Datei:Lorenz system.gif|mini|Animierter Lorenz-Attraktor; klicken zum Start der Animation]]

== Herleitung ==
Zur Herleitung der Lorenzgleichung als Beschreibung von Konvektionsströmungen wurde das folgende Modell betrachtet, das um die Jahrhundertwende von dem französischen Physiker [[Henri Bénard]] [[Bénard-Experiment|experimentell]] untersucht und 1916 durch den britischen [[Nobelpreisträger]] [[John William Strutt, 3. Baron Rayleigh|Lord Rayleigh]] theoretisch beschrieben wurde:

[[Bild:Convection, Balthasar scaurus.jpg|thumb|300px|Konvektionsmodell, zugeordneter Punkt im [[Phasenraum]].]]

Zwischen zwei Platten mit geringem Abstand befinde sich ein viskoses inkompressibles Fluid (Flüssigkeit). Während kleine Temperaturdifferenzen zwischen der Ober- und Unterseite der Schicht noch durch Wärmeleitung ausgeglichen werden können, setzt bei Überschreiten einer kritischen Temperaturdifferenz eine Flüssigkeitsbewegung ein und es kommt zur Ausbildung von [[Konvektion|Konvektionsrollen]], durch die ein effizienterer Wärmetransport realisiert wird. Dabei steigen von unten erwärmte Flüssigkeitselemente auf Grund ihrer geringeren Dichte auf und kältere Flüssigkeitsvolumina sinken ab.

Die mathematische Beschreibung des Modells durch die [[Navier-Stokes-Gleichungen]] führt über verschiedene Vereinfachungen, beispielsweise endlich abgebrochene Reihendarstellungen, zu dem oben angegebenen Gleichungssystem.

[[Hermann Haken (Physiker)|Hermann Haken]] zeigte, dass mit dem Lorenz-System auch Vorgänge in [[Laser]]n modelliert werden können, da das System äquivalent zu den [[Maxwell-Bloch-Gleichungen]] ist.<ref>H. Haken: ''[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0375960175903539 Analogy between higher instabilities in fluids and lasers]'' in Physics Letters '''53A''' (1975)</ref>

== Chaostheorie ==

[[Bild:LorenzAttraktor.png|thumb|200px|Schmetterlingsgrafik: Eine 3D-Darstellung von 2900 numerisch mittels eines [[Runge-Kutta-Verfahren]]s mit fester Schrittgröße berechneten Punkten des Lorenz-Attraktors.]]

Die [[Numerische Mathematik|numerische]] Lösung des Systems zeigt bei bestimmten [[Parameter (Mathematik)|Parameterwerten]] [[Deterministisches Chaos|deterministisch chaotisch]]es Verhalten, die [[Phasenraum#Hauptteil|Trajektorien]] folgen einem [[seltsamer Attraktor|seltsamen Attraktor]]. Damit spielt der Lorenzattraktor für die mathematische Chaostheorie eine Rolle, denn die Gleichungen stellen wohl eines der einfachsten Systeme mit chaotischem Verhalten dar.

Die typische Parametereinstellung mit chaotischer Lösung lautet: <math>a = 10, b = 28</math> und <math>c = 8/3</math>, wobei <math>a</math> mit der [[Prandtl-Zahl]] und <math>b</math> mit der [[Rayleigh-Zahl]] identifiziert werden kann.

Nach der Klärung der physikalisch-technischen Grundlagen durch die genannten Physiker und Meteorologen befassten sich in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts zahlreiche bekannte Mathematiker mit dem Problem, unter anderem der amerikanische Mathematiker [[John Guckenheimer]]. Der Beweis, dass der Lorenzattraktor ein sog. ''seltsamer Attraktor'' ist, wurde erst 1999 von dem Mathematiker
[[Warwick Tucker]] erbracht<ref>Tucker, Warwick. "The Lorenz attractor exists." Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics 328.12 (1999): 1197-1202.</ref>.

== Quellen ==
<references />

== Weblinks ==
* [http://imaginary.org/gallery/the-lorenz-attractor Freies Bild des Lorenz-Attraktors in hoher Auflösung]
* [http://ito.mathematik.uni-halle.de/~julitz/index.html Viele Beispielgrafiken mit der typischen Schmetterlingsform]
* [http://www.math.tu-cottbus.de/INSTITUT/lsam/CompPhysik/LorenzAtt/ Java-Programm zur Animation der typischen Schmetterlingsform]
* [http://andreas.welcomes-you.com/research/talks/lorenz/ Ausführliche Herleitung und Diskussion des Lorenzattraktors]


[[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]]
[[Kategorie:Dynamisches System]]
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