Damköhler-Zahl: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 29. Juli 2019, 08:47 Uhr

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Die Damköhler-Zahlen ( $$ Da $$ ) (entwickelt von Gerhard Damköhler, 1908–1944) sind dimensionslose Kennzahlen der chemischen Reaktionstechnik. Bekannt sind vier verschiedene Damköhler-Zahlen ( $Da_{I}$ , $Da_{II}$ , $Da_{III}$ , $Da_{IV}$ ), die als Damköhler-Zahl n-ter Ordnung bekannt sind, sowie eine turbulente Damköhler-Zahl ( $Da_{t}$ ).

Damköhler-Zahl erster Ordnung

Die Damköhler-Zahl erster Ordnung $Da_{I}$ beschreibt das Verhältnis der Geschwindigkeitskonstanten der Reaktion zur Geschwindigkeitskonstanten des konvektiven Stofftransports:

Da_{I}={\frac {k_{\text{reakt}}}{k_{\text{konvekt}}}}=k\cdot \tau \cdot c_{0}^{n-1}={\frac {k\cdot L\cdot c_{0}^{n-1}}{w}}

,

mit

$$ k $$ = Geschwindigkeitskonstante
$\tau$ = Verweilzeit bzw. Reaktionszeit
$c_{0}$ = Anfangskonzentration
$$ n $$ = Reaktionsordnung
$$ L $$ = charakteristische Länge
$$ w $$ = Strömungsgeschwindigkeit.

Für die Beschreibung diskontinuierlicher Reaktoren ersetzt man die Verweilzeit $\tau$ durch die Reaktionszeit $t_{r}$ . Somit erhält man in deutlich übersichtlicherer Darstellung die dimensionslose Massenbilanz des idealen Rührkesselreaktors.

Damköhler-Zahl zweiter Ordnung

Die Damköhler-Zahl zweiter Ordnung $Da_{II}$ findet sich bei der Beschreibung innerer Stofftransportvorgänge (Porendiffusion) an Grenzflächen, z. B. an Katalysatorkugeln. Sie ist definiert als Verhältnis der Reaktionsgeschwindigkeit zur Diffusionsgeschwindigkeit:

Da_{II}={\frac {k\cdot L^{2}\cdot c^{n-1}}{D}}={\frac {k\cdot c^{n-1}}{k_{L}\cdot a}}

mit

$k_{L}$ = volumenbezogener Stoffübergangskoeffizient
a = spezifische Austauschfläche.

$Da_{II}$ kann als Verhältnis der Reaktionsgeschwindigkeit zu Oberflächenbedingungen zu der Diffusionsgeschwindigkeit durch die äußere Oberfläche des Katalysatorpellets gesehen werden.

Damköhler-Zahl dritter Ordnung und vierter Ordnung

Die Damköhler-Zahl dritter Ordnung $Da_{III}$ und die Damköhler-Zahl vierter Ordnung $Da_{IV}$ werden zur Abschätzung von Betriebsbedingungen bei polytroper Betriebsweise von Reaktoren verwendet.

Turbulente Damköhler-Zahl

Die turbulente Damköhler-Zahl $Da_{t}$ (in der Verbrennungsforschung meist nur als $$ Da $$ bezeichnet) beschreibt das Verhältnis zwischen der makroskopischen Zeitskala einer turbulenten Strömung $\tau _{0}$ und der Zeitskala einer chemischen Reaktion $\tau _{R}$ :

Da_{t}:={\frac {\tau _{0}}{\tau _{\text{R}}}}\approx {\frac {l_{0}\,v_{\text{R}}}{v'\,l_{\text{R}}}}

$$ l $$ steht hierbei für die jeweilige Längenskala, wobei als makroskopische Längenskala meist eine integrale Längenskala gewählt wird.^[1] Diese dient als Maß für den Durchmesser der energiereichsten (und damit auch in der Regel der größten) Wirbel in der Strömung. Deren Umlaufgeschwindigkeit ist etwa gleich der Standardabweichung $$ v' $$ der Strömungsgeschwindigkeit. Als charakteristische Ausbreitungsgeschwindigkeit $v_{\text{R}}$ für die chemischen Reaktionen dient in der Verbrennungsforschung meist die laminare Flammengeschwindigkeit $s_{\text{L}}$ , also die Geschwindigkeit, mit der die Flammenfront im laminaren Fall propagiert: $v_{\text{R}}=s_{\text{L}}$ Analog dazu ist es in Bezug auf Verbrennungsprozesse üblich, die Dicke der laminaren Flammenfront $l_{\text{L}}$ als Reaktionslängenskala einzusetzen: $l_{\text{R}}=l_{\text{L}}$ ^[2]

Anhand der turbulenten Damköhler-Zahl lassen sich Aussagen über die räumliche Struktur und das zeitliche Verhalten des Reaktionsgebiets in einer turbulenten reagierenden Strömung treffen.^[3]

Siehe auch

Karlovitz-Zahl

Einzelnachweise

↑ Stephen B. Pope: Turbulent Flows. Cambridge University Press, 2010, S. 197.
↑ Jürgen Warnatz, Ulrich Maas, Robert W. Dibble: Verbrennung: Physikalisch-Chemische Grundlagen, Modellierung und Simulation, Experimente, Schadstoffentstehung (3. Auflage). Springer, 2001, S. 221–224.
↑ Norbert Peters: Turbulent Combustion. Cambridge University Press, 2000, S. 78.

[Pope-1] Stephen B. Pope: Turbulent Flows. Cambridge University Press, 2010, S. 197.

[Warnatz-2] Jürgen Warnatz, Ulrich Maas, Robert W. Dibble: Verbrennung: Physikalisch-Chemische Grundlagen, Modellierung und Simulation, Experimente, Schadstoffentstehung (3. Auflage). Springer, 2001, S. 221–224.

[Peters-3] Norbert Peters: Turbulent Combustion. Cambridge University Press, 2000, S. 78.

[1]

[2]

[3]

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-Die '''Damköhler-Zahlen''' ('''Da''') (entwickelt von [[Gerhard Damköhler]], 1908–1944) sind [[dimensionslose Kennzahl]]en der [[Chemische Reaktionstechnik|chemischen Reaktionstechnik]]. Bekannt sind vier verschiedene Damköhler-Zahlen (''DaI'', ''DaII'', ''DaIII'', ''DaIV''), die als '''Damköhler-Zahl ''n''-ter Ordnung''' bekannt sind, sowie eine '''turbulente Damköhler-Zahl''' (''Da''<sub>t</sub>).
+{{Belege fehlen}}
+Die '''Damköhler-Zahlen''' ('''<math>Da</math>''') (entwickelt von [[Gerhard Damköhler]], 1908–1944) sind [[dimensionslose Kennzahl]]en der [[Chemische Reaktionstechnik|chemischen Reaktionstechnik]]. Bekannt sind vier verschiedene Damköhler-Zahlen (''<math>Da_I</math>'', ''<math>Da_{II}</math>'', ''<math>Da_{III}</math>'', ''<math>Da_{IV}</math>''), die als '''Damköhler-Zahl ''n''-ter Ordnung''' bekannt sind, sowie eine '''turbulente Damköhler-Zahl''' (''<math>Da_t</math>'').
 == Damköhler-Zahl erster Ordnung ==
-Die '''Damköhler-Zahl erster Ordnung'''&nbsp;''DaI'' beschreibt das Verhältnis der [[Geschwindigkeitskonstante]]n der Reaktion zur Geschwindigkeitskonstanten des [[Konvektion|konvektiven]] Stofftransports:
+Die '''Damköhler-Zahl erster Ordnung'''&nbsp;''<math>Da_I</math>'' beschreibt das Verhältnis der [[Geschwindigkeitskonstante]]n der Reaktion zur Geschwindigkeitskonstanten des [[Konvektion|konvektiven]] Stofftransports:
-:<math>DaI = \frac{k_{reakt}}{k_{konvekt}} = k \cdot \tau \cdot c_0^{n-1} = \frac{k \cdot L \cdot c_0^{n-1}}{w}</math>,
+:<math>Da_I = \frac{k_\text{reakt}}{k_\text{konvekt}} = k \cdot \tau \cdot c_0^{n-1} = \frac{k \cdot L \cdot c_0^{n-1}}{w}</math>,
 mit
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 == Damköhler-Zahl zweiter Ordnung ==
-Die '''Damköhler-Zahl zweiter Ordnung''' ''DaII'' findet sich bei der Beschreibung innerer Stofftransportvorgänge ([[Pore]]n[[diffusion]]) an [[Grenzfläche]]n, z.&nbsp;B. an [[Katalysator]]<nowiki/>kugeln. Sie ist definiert als Verhältnis der [[Kinetik (Chemie)|Reaktionsgeschwindigkeit]] zur [[Diffusionsgeschwindigkeit]]:
+Die '''Damköhler-Zahl zweiter Ordnung''' ''<math>Da_{II}</math>'' findet sich bei der Beschreibung innerer Stofftransportvorgänge ([[Pore]]n[[diffusion]]) an [[Grenzfläche]]n, z.&nbsp;B. an [[Katalysator]]<nowiki/>kugeln. Sie ist definiert als Verhältnis der [[Kinetik (Chemie)|Reaktionsgeschwindigkeit]] zur [[Diffusionsgeschwindigkeit]]:
-:<math>DaII = \frac{k \cdot L^2 \cdot c^{n-1}}{D} = \frac{k \cdot c^{n-1}}{k_L \cdot a}</math>
+:<math>Da_{II} = \frac{k \cdot L^2 \cdot c^{n-1}}{D} = \frac{k \cdot c^{n-1}}{k_L \cdot a}</math>
 mit
 * <math>k_L</math> = [[volumenbezogener Stoffübergangskoeffizient]]
 * ''a'' = spezifische Austauschfläche.
-''DaII'' kann als Verhältnis der Reaktionsgeschwindigkeit zu Oberflächenbedingungen zu der Diffusionsgeschwindigkeit durch die äußere Oberfläche des Katalysator[[pellet]]s gesehen werden.
+''<math>Da_{II}</math>'' kann als Verhältnis der Reaktionsgeschwindigkeit zu Oberflächenbedingungen zu der Diffusionsgeschwindigkeit durch die äußere Oberfläche des Katalysator[[pellet]]s gesehen werden.
 == Damköhler-Zahl dritter Ordnung und vierter Ordnung ==
-Die '''Damköhler-Zahl dritter Ordnung''' ''DaIII'' und die '''Damköhler-Zahl vierter Ordnung''' ''DaIV'' werden zur Abschätzung von Betriebsbedingungen bei [[polytrop]]er Betriebsweise von Reaktoren verwendet.
+Die '''Damköhler-Zahl dritter Ordnung''' ''<math>Da_{III}</math>'' und die '''Damköhler-Zahl vierter Ordnung''' ''<math>Da_{IV}</math>'' werden zur Abschätzung von Betriebsbedingungen bei [[polytrop]]er Betriebsweise von Reaktoren verwendet.
 == Turbulente Damköhler-Zahl ==
-Die '''turbulente Damköhler-Zahl''' ''Da''<sub>t</sub> (in der Verbrennungsforschung meist nur als ''Da'' bezeichnet) beschreibt das Verhältnis zwischen der makroskopischen Zeitskala einer [[Turbulente Strömung|turbulenten Strömung]] <math>\tau_0</math> und der Zeitskala einer chemischen Reaktion <math>\tau_R</math>:
+Die '''turbulente Damköhler-Zahl''' ''<math>Da_t</math>'' (in der Verbrennungsforschung meist nur als ''<math>Da</math>'' bezeichnet) beschreibt das Verhältnis zwischen der makroskopischen Zeitskala einer [[Turbulente Strömung|turbulenten Strömung]] <math>\tau_0</math> und der Zeitskala einer chemischen Reaktion <math>\tau_R</math>:
 :<math>Da_t:=\frac{\tau_0}{\tau_\text{R}} \approx \frac{l_0\,v_\text{R}}{v'\,l_\text{R}}</math>
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 <math>l</math> steht hierbei für die jeweilige Längenskala, wobei als makroskopische Längenskala meist eine [[integrale Längenskala]] gewählt wird.<ref name="Pope">{{Literatur | Autor=Stephen B. Pope | Titel=Turbulent Flows | Verlag=Cambridge University Press | Jahr=2010| Seiten=197}}</ref> Diese dient als Maß für den Durchmesser der energiereichsten (und damit auch in der Regel der größten) Wirbel in der Strömung. Deren Umlaufgeschwindigkeit ist etwa gleich der [[Empirische Standardabweichung|Standardabweichung]] <math>v'</math> der Strömungsgeschwindigkeit. Als charakteristische Ausbreitungsgeschwindigkeit <math>v_\text{R}</math> für die chemischen Reaktionen dient in der Verbrennungsforschung meist die laminare [[Flammengeschwindigkeit]] <math>s_\text{L}</math>, also die Geschwindigkeit, mit der die [[Flammenfront]] im [[Laminare Strömung|laminaren]] Fall propagiert: <math>v_\text{R} = s_\text{L}</math> Analog dazu ist es in Bezug auf Verbrennungsprozesse üblich, die Dicke der laminaren Flammenfront <math>l_\text{L}</math> als Reaktionslängenskala einzusetzen: <math>l_\text{R} = l_\text{L}</math> <ref name="Warnatz">{{Literatur | Autor=Jürgen Warnatz, Ulrich Maas, Robert W. Dibble | Titel=Verbrennung: Physikalisch-Chemische Grundlagen, Modellierung und Simulation, Experimente, Schadstoffentstehung (3. Auflage)| Verlag=Springer | Jahr=2001 | Seiten=221-224}}</ref>
-Anhand der turbulenten Damköhler-Zahl lassen sich Aussagen über die räumliche Struktur und das zeitliche Verhalten des Reaktionsgebiets in einer turbulenten reagierenden Strömung treffen. <ref name="Peters">{{Literatur | Autor=Norbert Peters | Titel=Turbulent Combustion| Verlag=Cambridge University Press | Jahr=2000 | Seiten=78}}</ref>
+Anhand der turbulenten Damköhler-Zahl lassen sich Aussagen über die räumliche Struktur und das zeitliche Verhalten des Reaktionsgebiets in einer turbulenten reagierenden Strömung treffen.<ref name="Peters">{{Literatur | Autor=Norbert Peters | Titel=Turbulent Combustion| Verlag=Cambridge University Press | Jahr=2000 | Seiten=78}}</ref>
 == Siehe auch ==