R-Matrix: Unterschied zwischen den Versionen
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In der [[Mathematik]] werden R-Matrizen zur Konstruktion von [[Quanteninvariante]]n in der [[Knotentheorie]] verwendet. | In der [[Mathematik]] werden R-Matrizen zur Konstruktion von [[Quanteninvariante]]n in der [[Knotentheorie]] verwendet. | ||
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Eine <math>n^2\times n^2</math>-Matrix <math>R</math> mit Einträgen <math>r_{ij}^{kl}</math> kann als [[Endomorphismus]] des <math>\ | Eine <math>n^2\times n^2</math>-Matrix <math>R</math> mit Einträgen <math>r_{ij}^{kl}</math> kann als [[Endomorphismus]] des <math>\Complex^n\otimes\Complex^n</math> mit Basis <math>e_i\otimes e_j</math> aufgefasst werden, also | ||
:<math>R(e_i\otimes e_j)=\sum_{k,l}r_{ij}^{kl}e_k\otimes e_l</math>. | :<math>R(e_i\otimes e_j)=\sum_{k,l}r_{ij}^{kl}e_k\otimes e_l</math>. | ||
Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als | Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als | ||
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* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Yang-Baxter_equation ''Yang-Baxter equation''.] In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): ''Encyclopedia of Mathematics.'' Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4. | * [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Yang-Baxter_equation ''Yang-Baxter equation''.] In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): ''Encyclopedia of Mathematics.'' Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4. | ||
* J. Park, H. Au-Yang: [ | * J. Park, H. Au-Yang: [https://arxiv.org/pdf/math-ph/0606053v1.pdf ''Yang-Baxter equations.''] In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): ''Encyclopedia of Mathematical Physics.'' Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473. | ||
* M. Jimbo: [https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104114539 ''Quantum R matrix for the generalized Toda system.''] In: ''Comm. Math. Phys.'' 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547. | * M. Jimbo: [https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104114539 ''Quantum R matrix for the generalized Toda system.''] In: ''Comm. Math. Phys.'' 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547, {{DOI|10.1007/BF01221646}}. | ||
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Aktuelle Version vom 16. Mai 2021, 17:09 Uhr
In der statistischen Physik werden Matrizen $ R\in Mat(n) $, welche der Yang-Baxter-Gleichung (nach C. N. Yang[1] und Rodney Baxter[2]):
- $ R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12} $
genügen, als R-Matrizen bezeichnet.
In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.
Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten
Eine $ n^{2}\times n^{2} $-Matrix $ R $ mit Einträgen $ r_{ij}^{kl} $ kann als Endomorphismus des $ \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n} $ mit Basis $ e_{i}\otimes e_{j} $ aufgefasst werden, also
- $ R(e_{i}\otimes e_{j})=\sum _{k,l}r_{ij}^{kl}e_{k}\otimes e_{l} $.
Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als
- $ R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12} $,
wobei $ R^{ij} $ der Endomorphismus von $ \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n} $ ist, der auf den Faktoren $ i,j $ als $ R $ wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also
- $ R^{12}=R\otimes id,R^{23}=id\otimes R $
und
- $ R^{13}(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k})=\sum _{a,b}r_{ik}^{ab}e_{a}\otimes e_{j}\otimes e_{b} $.
R-Matrizen in der Quantenmechanik
Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.
R-Matrizen in der Knotentheorie
Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.
Literatur
- Yang-Baxter equation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- J. Park, H. Au-Yang: Yang-Baxter equations. In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
- M. Jimbo: Quantum R matrix for the generalized Toda system. In: Comm. Math. Phys. 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547, doi:10.1007/BF01221646.
Einzelnachweise
- ↑ Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1312
- ↑ Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, doi:10.1098/rsta.1978.0062, JSTOR 75051