Raketengrundgleichung: Unterschied zwischen den Versionen

Raketengrundgleichung: Unterschied zwischen den Versionen

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Die '''Raketengrundgleichung''' der Raumfahrtphysik beschreibt eine grundlegende Gesetzmäßigkeit des [[Raketenantrieb]]s durch kontinuierlichen Ausstoß von [[Stützmasse]]. Die Gleichung wurde erstmals 1903 von [[Konstantin Ziolkowski]] und unabhängig von ihm später auch von [[Hermann Oberth]] und [[Robert Goddard]] aufgestellt.
Die '''Raketengrundgleichung''' gibt in der Raumfahrtphysik die Geschwindigkeit einer [[Rakete]] an, die beschleunigt wird, indem [[Stützmasse]] mit konstanter Geschwindigkeit [[Kontinuum (Physik)|kontinuierlich]] ausgestoßen wird, und sonst keiner weiteren Kraft unterliegt.


== Gleichung ==
Das Grundprinzip des [[Raketenantrieb]]s besteht darin, Stützmasse nach hinten auszustoßen und durch den [[Rückstoß]] die Geschwindigkeit der Rakete samt Nutzlast und restlichem Treibstoff zu erhöhen. Die Annahme konstanter Austrittsgeschwindigkeit ist charakteristisch für [[Raketentriebwerk]]e, deren Stützmasse aus Treibstoff besteht, dessen Verbrennung die Energie für den Ausstoß liefert. Die Austrittsgeschwindigkeit <math>\,v_\mathrm{g}</math> wird auch als [[spezifischer Impuls]] des Triebwerks angegeben.
Das Grundprinzip des Antriebes einer Rakete besteht darin, eine bestimmte Menge an Treibstoff (Stützmasse) mit einer vorgegebenen Austrittsgeschwindigkeit auszustoßen und gemäß dem [[Newtonsche Gesetze#Drittes newtonsches Gesetz|3. Newtonschen Axiom]] (Actio = Reactio) den Impuls und damit die Geschwindigkeit der Rakete in die entgegengesetzte Richtung zu erhöhen. Dabei kann die Rakete sowohl beschleunigt als auch abgebremst als auch in seitliche Richtung abgelenkt werden, je nachdem in welche Richtung die Stützmasse ausgestoßen wird.


Betrachtet wird eine [[Mehrstufenrakete|einstufige]] [[Rakete]] mit Anfangsmasse <math>\,m_0</math> und Anfangsgeschwindigkeit Null. Das [[Raketentriebwerk|Triebwerk]] stoße die Stützmasse in [[infinitesimal]] kleinen Portionen und mit konstanter Geschwindigkeit <math>\,v_\mathrm{g}</math> aus. Diese Annahme sowie die Einschränkung auf nicht[[relativistisch]]e Geschwindigkeiten ist für chemische Antriebe gerechtfertigt, siehe ''[[spezifischer Impuls]]''. Andere Kräfte, wie [[Gravitation]] oder [[Reibung]], werden nicht berücksichtigt. Unter diesen Voraussetzungen gilt die Raketengrundgleichung für die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Restmasse <math>\,m</math> (der um den verbrauchten Treibstoff verkleinerten Anfangsmasse):
Mit der Anfangsmasse <math>\,m_0</math> gilt für den Geschwindigkeitszuwachs <math>\,\Delta v</math> der Rakete, wenn ihre Masse durch Treibstoffverbrauch auf den Wert <math>\,m</math> gefallen ist:


:<math>v(m) = v_\mathrm{g} \cdot \ln\frac{m_0}{m}</math>
:<math>\Delta v(m) = v_\mathrm{g} \cdot \ln\frac{m_0}{m}</math>


== Herleitung ==
Dies gilt unabhängig vom zeitlichen Verlauf des Ausstoßes. Bei konstantem Treibstoffverbrauch <math>\,\dot{m}(t)=b,</math> also konstanter Schubkraft <math>\,F= v_\mathrm{g} \cdot b,</math> ergibt sich über <math>m(t) =m_0 -b t</math> der zeitliche Geschwindigkeitszuwachs zu:
=== Beispiel ===
Als Verständnisbeispiel dient eine Rakete mit einer Gesamtmasse von 100 Kilogramm. Aufgeteilt soll die Gesamtmasse in 10 Kilogramm Nutzlast und 90 Kilogramm Treibstoff sein.


Zur vereinfachten Darstellung wird der Treibstoff in neun Portionen zu je zehn Kilogramm mit einer Geschwindigkeit von zehn Meter pro Sekunde ausgestoßen. Die Rakete befindet sich zu Anfang in Ruhe.
:<math>\Delta v(t) = v_\mathrm{g} \cdot \ln\frac{m_0}{m_0-b\cdot t} = -v_\mathrm{g} \cdot \ln \left(1-\frac{b\cdot t}{m_0}\right)</math>.


In der folgenden Tabelle sind die einzelnen Schritte dargestellt:
Die Raketengrundgleichung kann auch für die einzelnen Stufen einer [[Mehrstufenrakete]] verwendet werden, wobei sie den Geschwindigkeitszuwachs während des Betriebs der jeweiligen Stufe angibt.


{| class="wikitable"
== Geschichte ==
! Schritt
Die erste belegte Herleitung dieser Gleichung stammt von dem britischen Mathematiker [[William Moore (Mathematiker)|William Moore]] und wurde zunächst 1810 in einem Journal<ref name="moore1810">{{Cite book|author=William Moore|title=A Journal of Natural Philosophy, Chemistry and the Arts Vol. XXVII, December 1810, Article IV: Theory on the motion of Rockets|location=London|date=1810|publisher=W. Nichelson}}</ref> und dann 1813 in dem Buch ''A Treatise on the Motion of Rockets''<ref name="moore">{{Cite book|author=William Moore|title=A Treatise on the Motion of Rockets. To which is added, An Essay on Naval Gunnery|location=London|date=1813|publisher=G. and S. Robinson}}</ref> ''(Eine Abhandlung über die Bewegung von Raketen)'' veröffentlicht. 1862 veröffentlichte [[William Leitch]] ''God's glory in the Heavens''<ref>{{Literatur |Autor=William Leitch |Titel=God's Glory in the Heaves |Hrsg=Alexander Strahan |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum=1862 |ISBN= |Seiten=}}</ref> ''(Gottes Herrlichkeit im Himmel),'' wo er argumentiert, dass Raketen die effektivste Methode für das Reisen im Weltall darstellen. 1903 veröffentlichte [[Konstantin Ziolkowski]] unabhängig seine Herleitung und machte sich zusätzlich Gedanken, ob Raketen die erforderlichen Geschwindigkeiten für die Raumfahrt erreichen können, weshalb ihm oftmals die erstmalige Herleitung zugeschrieben wird. Unabhängige Herleitungen gelangen später auch [[Hermann Oberth]] und [[Robert Goddard]], welche oft als Pioniere der modernen Raumfahrt bezeichnet werden.
! Masse der Treibstoffportion
! Geschwindigkeit der Treibstoffportion
! Impuls der Treibstoffportion
! Zusätzlicher Impuls der Rakete
! (Rest-)Masse der Rakete
! Geschwindigkeit der Rakete
! Bemerkung
|-
| 0
| 0 kg
| 0 m/s
| 0 kg
| 0 kg*m/s
| 100 kg
| 0 m/s
| Anfangsbedingung
|-
| 1
| 10 kg
| -10 m/s
| -100 kg*m/s
| 100 kg*m/s
| 90 kg
| 1,11 m/s
| Geschwindigkeit und Impuls des Treibstoffes ist negativ, da diese Größen einen entgegen der Flugrichtung der Rakete gerichteten Vektor besitzen.
|-
| 2
| 10 kg
| -10 m/s
| -100 kg*m/s
| 100 kg*m/s
| 80 kg
| 2,36 m/s
| Zur Raketengeschwindkeit von 1,11 m/s nach Schritt 1 addieren sich die zusätzlichen 1,25 m/s aus Schritt 2.
|-
| 3
| 10 kg
| -10 m/s
| -100 kg*m/s
| 100 kg*m/s
| 70 kg
| 3,79 m/s
| Zur Raketengeschwindkeit von 2,36 m/s nach Schritt 2 addieren sich die zusätzlichen 1,43 m/s aus Schritt 3.
|-
| 4
| 10 kg
| -10 m/s
| -100 kg*m/s
| 100 kg*m/s
| 60 kg
| 5,46 m/s
| Zur Raketengeschwindkeit von 3,79 m/s nach Schritt 3 addieren sich die zusätzlichen 1,67 m/s aus Schritt 4.
|-
| 5
| 10 kg
| -10 m/s
| -100 kg*m/s
| 100 kg*m/s
| 50 kg
| 7,46 m/s
| Zur Raketengeschwindkeit von 5,46 m/s nach Schritt 4 addieren sich die zusätzlichen 2,00 m/s aus Schritt 5.
|-
| 6
| 10 kg
| -10 m/s
| -100 kg*m/s
| 100 kg*m/s
| 40 kg
| 9,96 m/s
| Zur Raketengeschwindkeit von 7,46 m/s nach Schritt 5 addieren sich die zusätzlichen 2,50 m/s aus Schritt 6.
|-
| 7
| 10 kg
| -10 m/s
| -100 kg*m/s
| 100 kg*m/s
| 30 kg
| 13,29 m/s
| Zur Raketengeschwindkeit von 9,96 m/s nach Schritt 6 addieren sich die zusätzlichen 3,33 m/s aus Schritt 7.
|-
| 8
| 10 kg
| -10 m/s
| -100 kg*m/s
| 100 kg*m/s
| 20 kg
| 18,29 m/s
| Zur Raketengeschwindkeit von 13,29 m/s nach Schritt 7 addieren sich die zusätzlichen 5,00 m/s aus Schritt 8.
|-
| 9
| 10 kg
| -10 m/s
| -100 kg*m/s
| 100 kg*m/s
| 10 kg
| 28,29 m/s
| Zur Raketengeschwindkeit von 18,29 m/s nach Schritt 8 addieren sich die zusätzlichen 10,00 m/s aus Schritt 9. Die Nutzlast hat ihre Endgeschwindigkeit erreicht.
|-
|}


Bemerkung: Nimmt man 90 Schritte zu je 1 kg kommt man auf eine Endgeschwindigkeit von 23,48 m/s. Die Raketengrundgleichung setzt voraus, dass die Stützmasse in unendlich vielen Teilschritten in infinitesimal kleinen Portionen ausgestoßen wird. Nach ihr errechnet sich die Endgeschwindigkeit der Nutzlast, nach vollständiger Ausstoßung des Treibstoffes, zu 23,03 m/s.
== Herleitung ==
 
In diesem Abschnitt ist die physikalische Herleitung der Raketengrundgleichung aus dem [[Impulserhaltungssatz]] mittels Differential- und Integralrechnung angegeben.
=== Mathematische Herleitung über Impulserhaltung ===
Die Masse der Rakete habe bereits auf <math>m</math> abgenommen und ändere sich nun um <math>\mathrm dm < 0</math> als [[Integralrechnung#Herkunft der Notation|kleine Betrachtungseinheit]]. Die Stützmasse <math>\mathrm dm</math> wird im Bezugssystem der Rakete mit der Geschwindigkeit <math>-v_\mathrm{g}</math>, im [[Laborsystem|System des Beobachters]] also mit <math>v - v_\mathrm{g}</math> ausgestoßen und trägt folglich den Impuls <math>-\mathrm dm (v-v_\mathrm{g})</math>. Da keine äußeren Kräfte wirken, ist der Gesamtimpuls von Rakete und Stützmasse erhalten:
:<math>\mathrm dp = \underbrace{\mathrm d(mv)}_{\text{Rakete}} + \underbrace{(-\mathrm dm) (v - v_\mathrm{g})}_{\text{Stützmasse}} = \mathrm dm\cdot v + m\cdot \mathrm dv - \mathrm dm \cdot v + \mathrm dm \cdot v_\mathrm{g} =m\cdot\mathrm dv + \mathrm dm\cdot v_\mathrm{g} = 0</math>
und damit
:<math>\mathrm dv = -v_\mathrm{g} \frac{\mathrm dm}{m}</math>.
 
Diese [[Differentialgleichung]] wird nun von <math>m_0</math> nach <math>m</math> integriert. Integration der linken Seite ergibt <math>\,v</math> (eine [[Stammfunktion]] von <math>\,f(v)=1</math>). Auf der rechten Seite muss nur über <math>-\frac{\mathrm dm}{m}</math> integriert werden, da <math>\,v_\mathrm{g}</math> als konstant vorausgesetzt wurde: 
:<math>v = -v_\mathrm{g} \int_{m_0}^{m} \frac{\mathrm dm}{m}=-v_\mathrm{g}\biggl(\ln(m)-\ln(m_0)\biggl)=v_\mathrm{g}\biggl(\ln(m_0)-\ln(m)\biggl)</math>
 
Durch Anwendung der [[Logarithmus|Logarithmengesetze]] erhalten wir:
:<math>v(m) = v_\mathrm{g} \ln\biggl(\frac{m_0}{m}\biggl)</math>
 
== Konsequenz ==


Die Endgeschwindigkeit, wenn die gesamte Treibstoffmasse <math>\,m_\mathrm{T}</math> ausgestoßen ist, beträgt
Man zerlegt den gesamten kontinuierlich ablaufenden Beschleunigungsvorgang in so kleine Schritte, dass in jedem Schritt die momentane Geschwindigkeit der Rakete mit einem bestimmten Wert <math>v</math> angesetzt werden kann und ihre Masse ebenso mit einem Wert <math>m</math>. Im momentanen Schwerpunktssystem der Rakete wird die Masse <math>\Delta m</math> mit der Geschwindigkeit <math>v_\mathrm g</math> ausgestoßen, hat also den Impuls <math>v_\mathrm g\,\Delta m</math>. Wegen der Impulserhaltung erhält die Rakete einen gleich großen Rückstoßimpuls <math>m \Delta v</math>, der ihre Geschwindigkeit in entgegengesetzter Richtung um <math>\Delta v</math> erhöht. Dass statt der Masse <math>m</math> hier genauer <math>m-\Delta m</math> anzusetzen wäre, spielt nach dem folgenden Grenzübergang zu immer mehr und kleineren Schritten keine Rolle mehr. Die Änderungen <math>\Delta m </math> und <math>\Delta v </math> werden dabei zu den Differentialen <math>\mathrm d m </math> bzw. <math>\mathrm d v </math>. Für diese gilt also (mit dem Minuszeichen, weil <math>v</math> zunimmt während <math>m </math> abnimmt):
:<math>v_\mathrm{End} = v(m_\mathrm{End}) = v_\mathrm{g} \ln\frac{m_0}{m_\mathrm{End}}</math>,
:<math>v_\mathrm g\,\mathrm d m = - m\, \mathrm d v</math>,
ist also umso größer, je größer die Austrittsgeschwindigkeit <math>\,v_\mathrm{g}</math> ist und je kleiner die Restmasse <math>\,m_\mathrm{End}</math>, die aus der Nutzlast, dem Triebwerk und Strukturmaterial besteht.
umgestellt zur Trennung der Variablen:
:<math> \mathrm d v = - v_\mathrm g\, \frac{\mathrm d m}{ m} </math>.
Für die Stammfunktionen beider Seiten gilt dann, dass sie sich höchstens durch eine Integrationskonstante <math>C </math> unterscheiden:
:<math> v = - v_\mathrm g\,\ln m + C </math>.
<math>C </math> wird aus den Bedingungen am Anfang bestimmt. Einsetzen von <math> v = 0, \ m =m_0 </math> ergibt <math>C = v_\mathrm g \ln m_0</math> und damit schließlich die Raketengrundgleichung
:<math> v = v_\mathrm g\,\ln\frac{ m_0}{m} </math>.
Diese Gleichung gilt an jeder Stelle des Fluges. Die am Ende erreichte Geschwindigkeit ergibt sich mit der Masse <math>m_\mathrm T</math> des ausgestoßenen Treibstoffs und der Masse <math>m_\mathrm L</math> der leeren Rakete, also <math>m_0=m_\mathrm L + m_\mathrm T</math>, zu:
:<math> v_\mathrm{End} = v_\mathrm g\,\ln\left(1 + \frac{m_\mathrm T}{m_\mathrm L}\right) </math>


Bemerkenswert ist, dass Endgeschwindigkeiten größer als <math>\,v_\mathrm{g}</math> erreichbar sind. Um jedoch Geschwindigkeiten weit jenseits <math>\,v_\mathrm{g}</math> zu erreichen, werden unterwegs Teile der Struktur (leere Tanks) oder auch des Triebwerks (Booster) zurückgelassen, siehe [[Mehrstufenrakete]]. Übersichtlich ist der Fall aufeinandergesetzter Stufen, wobei die oberen Stufen die Nutzlast der unteren Stufen darstellen.
;Anmerkungen
* Diese theoretische Endgeschwindigkeit <math>v_\mathrm{End}</math> hängt nur vom Massenverhältnis <math>m_0/m_\mathrm L</math> ab, nicht vom zeitlichen Verlauf des Betriebs der Triebwerke.
* In einem [[Schwerefeld]] der mittleren Stärke <math>g</math> ist die vertikale Endgeschwindigkeit nach einer Zeit <math>t</math> um den Betrag <math>gt</math> geringer. Auch der [[Luftwiderstand]], der von der Höhe und der Geschwindigkeit abhängt, verringert die erreichbare Endgeschwindigkeit.
* <math> v_\mathrm{End}</math> kann größer sein als die Austrittsgeschwindigkeit <math> v_\mathrm g </math>. Dazu muss nur das Massenverhältnis <math>m_0/m_\mathrm L </math> größer als <math>e\approx 2{,}7</math> sein.
* Bei sehr großen Massenverhältnissen lohnt sich eine [[Mehrstufenrakete]], da sonst der ganze Treibstofftank zulasten der Nutzlast auf die Endgeschwindigkeit beschleunigt werden müsste.


;Beispiel
== Mehrstufige Raketen ==
Um Geschwindigkeiten weit jenseits <math>v_\mathrm{g}</math> zu erreichen, werden unterwegs Teile der Struktur (leere Tanks) oder auch des Triebwerks (Booster) zurückgelassen, siehe [[Mehrstufenrakete]]. Übersichtlich ist der Fall aufeinandergesetzter Stufen, wobei die oberen Stufen die Nutzlast der unteren Stufen darstellen.


Es sei eine zweistufige Rakete angenommen, deren Stufen eine Masse von 100 bzw. 20 haben (in willkürlichen Einheiten) und zu jeweils 90 % aus Treibstoff bestehen, also Strukturmassen von 10 bzw. 2 haben. Die Nutzlast betrage ebenfalls 2 Einheiten. Die Raketengrundgleichung wird zweimal angewendet, wobei sich die Beiträge beider Stufen addieren (das sieht man, wenn man beim Brennschluss der ersten Stufe in das [[Bezugssystem]] wechselt, in dem die zweite Stufe anfangs ruht):
Es sei eine zweistufige Rakete angenommen, deren Stufen eine Masse von 100&nbsp;kg bzw. 20&nbsp;kg haben und zu jeweils 90 % aus Treibstoff bestehen, also Strukturmassen von 10&nbsp;kg bzw. 2&nbsp;kg haben. Die Nutzlast betrage 1&nbsp;kg. Die Raketengrundgleichung wird zweimal angewendet, wobei sich die Beiträge beider Stufen addieren (das sieht man, wenn man beim Brennschluss der ersten Stufe in das [[Bezugssystem]] wechselt, in dem die zweite Stufe in diesem Moment ruht):
:<math>\frac{v_\mathrm{End}}{v_\mathrm{g}} = \ln\frac{100+20+2}{10+20+2} + \ln\frac{20+2}{2+2} \approx 1{,}34 + 1{,}70 = 3{,}04</math>.
:<math>v_\mathrm{End} = \left[\ln\frac{100+20+1}{10+20+1} + \ln\frac{20+1}{2+1}\right] \, v_\mathrm{g} \approx (1{,}36 + 1{,}95 )\, v_\mathrm{g} = 3{,}31 \, v_\mathrm{g}</math>.
Zum Vergleich die einstufige Rakete mit gleicher Treibstoff- und Strukturmasse:
Zum Vergleich die einstufige Rakete mit gleicher Treibstoff- und Strukturmasse:
:<math>\frac{v_\mathrm{End}}{v_\mathrm{g}} = \ln\frac{100+20+2}{10+2+2} \approx 2{,}16</math>.
:<math>v_\mathrm{End} = \left[\ln\frac{100+20+1}{10+2+1}\right]\, v_\mathrm{g} \approx 2{,}23 \, v_\mathrm{g}</math>.


== Einschränkungen ==
== Literatur ==
* Ernst Messerschmid, Stefanos Fasoulas: ''Raumfahrtsysteme.'' Eine Einführung mit Übungen und Lösungen, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2000, ISBN 978-3-662-09674-1.
* Wolfgang Steiner, Martin Schagerl: ''Raumflugmechanik.'' Dynamik und Steuerung von Raumfahrzeugen, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20761-9
* Armin Dadieu, Ralf Damm, Eckart W. Schmidt: ''Raketentreibstoffe.'' Springer Verlag, Wien / New York 1968.
* Friedrich U. Mathiak: ''Technische Mechanik 3.'' Kinematik und Kinetik mit Maple- und MapleSim-Anwendungen, De Gruyter Verlag, Berlin 2015, ISBN 978-3-1104-3804-8.
* H. G. Münzberg: ''Flugantriebe.'' Grundlagen – Systematik und Technik der Luft- und Raumfahrtantriebe, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 1972, ISBN 978-3-662-11758-3.


<!-- Das gehört mit Randbedingungen (vg konstant oder variabel?) und entweder Quelle oder Herleitung in einen eigenen Abschnitt:  
== Weblinks ==
Für eine bestimmte Zielgeschwindigkeit ist die benötigte Energie minimal, wenn die Ausströmgeschwindigkeit 62,75 % der Zielgeschwindigkeit beträgt.
* Bernd Leitenberger: [http://www.bernd-leitenberger.de/raketengrundgleichung.shtml Die Raketengrundgleichung]
-->
* Daniel Ruhstorfer: [https://web.archive.org/web/20180612142849/https://www.schuelerkonferenz.edu.tum.de/fileadmin/w00brm/www/Facharbeiten_2010/daniel_ruhstorfer_2010.pdf Schülerarbeit zur Raketengrundgleichung] (archivierte Version vom 12. Juni 2018)
* Realer Treibstoff wird nicht in infinitesimal kleinen Paketen sondern in diskreten Portionen (Partikel) ausgestoßen. Zudem ist die Ausströmgeschwindigkeit nicht konstant sondern variiert durch verschiedene technische Faktoren im Triebwerk.
* Kristian Pauly: [http://www.clavius.info/Susanne/RFS-Skript_(Uni-Muenchen).pdf Skriptum zur Vorlesung Raumfahrtsysteme] [[Technische Universität München|TU München]] – Fachgebiet Raumfahrttechnik, Wintersemester 2002/2003 (abgerufen am 9. Juni 2018)
* Der Einfluss der [[Gravitation]] wird bei der Raketengrundgleichung nicht berücksichtigt.
* Auch der Einfluss des Luftwiderstandes wird nicht berücksichtigt. Der Luftwiderstand ist nicht konstant, sondern abhängig von der aktuellen Fluggeschwindigkeit und aufgrund der abnehmenden Dichte und sich ändernden Zusammensetzung der Atmosphäre auch abhängig von der Flughöhe.
 
Für vertikale Raketenstarts, geringe Steighöhen und unter Vernachlässigung des Luftwiderstands gilt
: <math>v_\mathrm{End} = v_\mathrm{g} \ln\frac{m_0}{m_\mathrm{End}}-g\, \Delta t</math>
mit der [[Fallbeschleunigung]] <math>\!\,g</math> und der Brenndauer <math>\,\Delta t</math>.
Diese Formel ist jedoch ungeeignet, das Erreichen der Erdumlaufbahn zu optimieren, denn dabei ändert sich neben der Fallbeschleunigung auch der Schubvektor kontinuierlich.
 
== Literatur ==
* Ernst Messerschmid, Stefanos Fasoulas:''Raumfahrtsysteme''. Eine Einführung mit Übungen und Lösungen, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2000, ISBN 978-3-662-09675-8.
* Wolfgang Steiner, Martin Schagerl:''Raumflugmechanik''. Dynamik und Steuerung von Raumfahrzeugen, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20761-9
* Christian Brünner, Alexander Soucek (Hrsg.):''Raumfahrt und Recht''. Faszination Weltraum - Regeln zwischen Himmel und Erde, Böhlau Verlag, Wien / Köln / Graz 2007, ISBN 978-3-205-77627-7.
* Armin Dadieu, Ralf Damm, Eckart W. Schmidt:''Raketentreibstoffe''. Springer Verlag, Wien / New York 1968.
* Peter Henne:''Seltsame Physik''. 2. Auflage, epubli GmbH, Berlin 2013, ISBN 978-3-8442-4788-6.
* Friedrich U. Mathiak:''Technische Mechanik 3''. Kinematik und Kinetik mit Maple- und MapleSim-Anwendungen, De Gruiter Verlag, Berlin 2015, ISBN 978-3-1104-3804-8.
* H. G. Münzberg:''Flugantriebe''. Grundlagen - Systematik und Technik der Luft- und Raumfahrtantriebe, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 1972, ISBN 978-3-662-11758-3.
* Fritz Kurt Kneubühl:''Repetitorioum der Physik''. 5. Auflage, B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1884, ISBN 3-519-43012-6.
* Ingo Müller:''Grundzüge der Thermodynamik''. Mit historischen Anmerkungen, 3. Auflage, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2001, ISBN 978-3-540-42210-5.


==Weblinks==
== Einzelnachweise ==
* [http://www.bernd-leitenberger.de/stufen.shtml Bernd Leitenberger: Geschwindigkeitsberechnung für Raketen]
<references />
* [http://www.bernd-leitenberger.de/raketengrundgleichung.shtml Bernd Leitenberger: Die Raketengrundgleichung]
* [https://www.schuelerkonferenz.edu.tum.de/fileadmin/w00brm/www/Facharbeiten_2010/daniel_ruhstorfer_2010.pdf Raketenphysik] (abgerufen am 15. September 2017)
* [http://sandphysik.de/pdf/mecha8.pdf Der Raketenantrieb und die Raketengleichung] (abgerufen am 15. September 2017)
* [http://www.clavius.info/Susanne/RFS-Skript_(Uni-Muenchen).pdf Raumfahrtsysteme] (abgerufen am 15. September 2017)


[[Kategorie:Raumfahrtphysik]]
[[Kategorie:Raumfahrtphysik]]

Aktuelle Version vom 27. Januar 2022, 17:24 Uhr

Die Raketengrundgleichung gibt in der Raumfahrtphysik die Geschwindigkeit einer Rakete an, die beschleunigt wird, indem Stützmasse mit konstanter Geschwindigkeit kontinuierlich ausgestoßen wird, und sonst keiner weiteren Kraft unterliegt.

Das Grundprinzip des Raketenantriebs besteht darin, Stützmasse nach hinten auszustoßen und durch den Rückstoß die Geschwindigkeit der Rakete samt Nutzlast und restlichem Treibstoff zu erhöhen. Die Annahme konstanter Austrittsgeschwindigkeit ist charakteristisch für Raketentriebwerke, deren Stützmasse aus Treibstoff besteht, dessen Verbrennung die Energie für den Ausstoß liefert. Die Austrittsgeschwindigkeit $ \,v_{\mathrm {g} } $ wird auch als spezifischer Impuls des Triebwerks angegeben.

Mit der Anfangsmasse $ \,m_{0} $ gilt für den Geschwindigkeitszuwachs $ \,\Delta v $ der Rakete, wenn ihre Masse durch Treibstoffverbrauch auf den Wert $ \,m $ gefallen ist:

$ \Delta v(m)=v_{\mathrm {g} }\cdot \ln {\frac {m_{0}}{m}} $

Dies gilt unabhängig vom zeitlichen Verlauf des Ausstoßes. Bei konstantem Treibstoffverbrauch $ \,{\dot {m}}(t)=b, $ also konstanter Schubkraft $ \,F=v_{\mathrm {g} }\cdot b, $ ergibt sich über $ m(t)=m_{0}-bt $ der zeitliche Geschwindigkeitszuwachs zu:

$ \Delta v(t)=v_{\mathrm {g} }\cdot \ln {\frac {m_{0}}{m_{0}-b\cdot t}}=-v_{\mathrm {g} }\cdot \ln \left(1-{\frac {b\cdot t}{m_{0}}}\right) $.

Die Raketengrundgleichung kann auch für die einzelnen Stufen einer Mehrstufenrakete verwendet werden, wobei sie den Geschwindigkeitszuwachs während des Betriebs der jeweiligen Stufe angibt.

Geschichte

Die erste belegte Herleitung dieser Gleichung stammt von dem britischen Mathematiker William Moore und wurde zunächst 1810 in einem Journal[1] und dann 1813 in dem Buch A Treatise on the Motion of Rockets[2] (Eine Abhandlung über die Bewegung von Raketen) veröffentlicht. 1862 veröffentlichte William Leitch God's glory in the Heavens[3] (Gottes Herrlichkeit im Himmel), wo er argumentiert, dass Raketen die effektivste Methode für das Reisen im Weltall darstellen. 1903 veröffentlichte Konstantin Ziolkowski unabhängig seine Herleitung und machte sich zusätzlich Gedanken, ob Raketen die erforderlichen Geschwindigkeiten für die Raumfahrt erreichen können, weshalb ihm oftmals die erstmalige Herleitung zugeschrieben wird. Unabhängige Herleitungen gelangen später auch Hermann Oberth und Robert Goddard, welche oft als Pioniere der modernen Raumfahrt bezeichnet werden.

Herleitung

In diesem Abschnitt ist die physikalische Herleitung der Raketengrundgleichung aus dem Impulserhaltungssatz mittels Differential- und Integralrechnung angegeben.

Man zerlegt den gesamten kontinuierlich ablaufenden Beschleunigungsvorgang in so kleine Schritte, dass in jedem Schritt die momentane Geschwindigkeit der Rakete mit einem bestimmten Wert $ v $ angesetzt werden kann und ihre Masse ebenso mit einem Wert $ m $. Im momentanen Schwerpunktssystem der Rakete wird die Masse $ \Delta m $ mit der Geschwindigkeit $ v_{\mathrm {g} } $ ausgestoßen, hat also den Impuls $ v_{\mathrm {g} }\,\Delta m $. Wegen der Impulserhaltung erhält die Rakete einen gleich großen Rückstoßimpuls $ m\Delta v $, der ihre Geschwindigkeit in entgegengesetzter Richtung um $ \Delta v $ erhöht. Dass statt der Masse $ m $ hier genauer $ m-\Delta m $ anzusetzen wäre, spielt nach dem folgenden Grenzübergang zu immer mehr und kleineren Schritten keine Rolle mehr. Die Änderungen $ \Delta m $ und $ \Delta v $ werden dabei zu den Differentialen $ \mathrm {d} m $ bzw. $ \mathrm {d} v $. Für diese gilt also (mit dem Minuszeichen, weil $ v $ zunimmt während $ m $ abnimmt):

$ v_{\mathrm {g} }\,\mathrm {d} m=-m\,\mathrm {d} v $,

umgestellt zur Trennung der Variablen:

$ \mathrm {d} v=-v_{\mathrm {g} }\,{\frac {\mathrm {d} m}{m}} $.

Für die Stammfunktionen beider Seiten gilt dann, dass sie sich höchstens durch eine Integrationskonstante $ C $ unterscheiden:

$ v=-v_{\mathrm {g} }\,\ln m+C $.

$ C $ wird aus den Bedingungen am Anfang bestimmt. Einsetzen von $ v=0,\ m=m_{0} $ ergibt $ C=v_{\mathrm {g} }\ln m_{0} $ und damit schließlich die Raketengrundgleichung

$ v=v_{\mathrm {g} }\,\ln {\frac {m_{0}}{m}} $.

Diese Gleichung gilt an jeder Stelle des Fluges. Die am Ende erreichte Geschwindigkeit ergibt sich mit der Masse $ m_{\mathrm {T} } $ des ausgestoßenen Treibstoffs und der Masse $ m_{\mathrm {L} } $ der leeren Rakete, also $ m_{0}=m_{\mathrm {L} }+m_{\mathrm {T} } $, zu:

$ v_{\mathrm {End} }=v_{\mathrm {g} }\,\ln \left(1+{\frac {m_{\mathrm {T} }}{m_{\mathrm {L} }}}\right) $
Anmerkungen
  • Diese theoretische Endgeschwindigkeit $ v_{\mathrm {End} } $ hängt nur vom Massenverhältnis $ m_{0}/m_{\mathrm {L} } $ ab, nicht vom zeitlichen Verlauf des Betriebs der Triebwerke.
  • In einem Schwerefeld der mittleren Stärke $ g $ ist die vertikale Endgeschwindigkeit nach einer Zeit $ t $ um den Betrag $ gt $ geringer. Auch der Luftwiderstand, der von der Höhe und der Geschwindigkeit abhängt, verringert die erreichbare Endgeschwindigkeit.
  • $ v_{\mathrm {End} } $ kann größer sein als die Austrittsgeschwindigkeit $ v_{\mathrm {g} } $. Dazu muss nur das Massenverhältnis $ m_{0}/m_{\mathrm {L} } $ größer als $ e\approx 2{,}7 $ sein.
  • Bei sehr großen Massenverhältnissen lohnt sich eine Mehrstufenrakete, da sonst der ganze Treibstofftank zulasten der Nutzlast auf die Endgeschwindigkeit beschleunigt werden müsste.

Mehrstufige Raketen

Um Geschwindigkeiten weit jenseits $ v_{\mathrm {g} } $ zu erreichen, werden unterwegs Teile der Struktur (leere Tanks) oder auch des Triebwerks (Booster) zurückgelassen, siehe Mehrstufenrakete. Übersichtlich ist der Fall aufeinandergesetzter Stufen, wobei die oberen Stufen die Nutzlast der unteren Stufen darstellen.

Es sei eine zweistufige Rakete angenommen, deren Stufen eine Masse von 100 kg bzw. 20 kg haben und zu jeweils 90 % aus Treibstoff bestehen, also Strukturmassen von 10 kg bzw. 2 kg haben. Die Nutzlast betrage 1 kg. Die Raketengrundgleichung wird zweimal angewendet, wobei sich die Beiträge beider Stufen addieren (das sieht man, wenn man beim Brennschluss der ersten Stufe in das Bezugssystem wechselt, in dem die zweite Stufe in diesem Moment ruht):

$ v_{\mathrm {End} }=\left[\ln {\frac {100+20+1}{10+20+1}}+\ln {\frac {20+1}{2+1}}\right]\,v_{\mathrm {g} }\approx (1{,}36+1{,}95)\,v_{\mathrm {g} }=3{,}31\,v_{\mathrm {g} } $.

Zum Vergleich die einstufige Rakete mit gleicher Treibstoff- und Strukturmasse:

$ v_{\mathrm {End} }=\left[\ln {\frac {100+20+1}{10+2+1}}\right]\,v_{\mathrm {g} }\approx 2{,}23\,v_{\mathrm {g} } $.

Literatur

  • Ernst Messerschmid, Stefanos Fasoulas: Raumfahrtsysteme. Eine Einführung mit Übungen und Lösungen, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2000, ISBN 978-3-662-09674-1.
  • Wolfgang Steiner, Martin Schagerl: Raumflugmechanik. Dynamik und Steuerung von Raumfahrzeugen, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20761-9
  • Armin Dadieu, Ralf Damm, Eckart W. Schmidt: Raketentreibstoffe. Springer Verlag, Wien / New York 1968.
  • Friedrich U. Mathiak: Technische Mechanik 3. Kinematik und Kinetik mit Maple- und MapleSim-Anwendungen, De Gruyter Verlag, Berlin 2015, ISBN 978-3-1104-3804-8.
  • H. G. Münzberg: Flugantriebe. Grundlagen – Systematik und Technik der Luft- und Raumfahrtantriebe, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 1972, ISBN 978-3-662-11758-3.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. William Moore: A Journal of Natural Philosophy, Chemistry and the Arts Vol. XXVII, December 1810, Article IV: Theory on the motion of Rockets. W. Nichelson, London 1810.
  2. William Moore: A Treatise on the Motion of Rockets. To which is added, An Essay on Naval Gunnery. G. and S. Robinson, London 1813.
  3. William Leitch: God's Glory in the Heaves. Hrsg.: Alexander Strahan. 1862.