Scherrer-Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 24. April 2018, 08:35 Uhr

Die Scherrer-Gleichung (nach dem Schweizer Physiker Paul Scherrer) bietet in der Röntgenbeugung die Möglichkeit, die Kristallgröße experimentell zu bestimmen.

Im Allgemeinen lässt sich das Beugungsbild der Röntgenbeugung durch die Bragg-Gleichung $n\lambda =2d\,\sin(\theta )$ beschreiben. Voraussetzung dafür ist allerdings, dass die untersuchten Kristalle eine bestimmte Dicke haben und somit eine ausreichende Anzahl paralleler Netzebenen mit Abstand d_hkl vorhanden sind. Bei der Pulverdiffraktometrie und anderen Pulvermethoden wie dem Debye-Scherrer-Verfahren sollten die Kristalle deshalb eine Korngröße von mindestens 0,1 μm haben. Bei der Kristallstrukturanalyse an Einkristallen sind die Kristalle meistens 50–500 μm groß.

schematische Darstellung der Bragg-Reflexion

Wenn die Kristalle sehr klein sind (Kristallgröße $L<100\dots 200\,\mathrm {nm}$ ), hat das eine Verbreiterung der Röntgenreflexe zur Folge, die durch die Scherrer-Gleichung beschrieben wird:

L={\frac {K\cdot \lambda }{\Delta (2\theta )\cdot \cos \theta _{0}}}

Dabei ist

$\Delta (2\theta )$ die volle Halbwertsbreite des Reflexes, gemessen im Bogenmaß
$$ K $$ der Scherrer-Formfaktor mit einem Wert von ungefähr 1
$\lambda$ die Wellenlänge der Röntgenstrahlung
$$ L $$ die Ausdehnung des Kristalls senkrecht zu den Netzebenen des Reflexes
$\theta _{0}$ der Braggwinkel (manchmal auch als $2\theta /2$ bezeichnet).

Literatur

P. Scherrer: Bestimmung der Größe und der inneren Struktur von Kolloidteilchen mittels Röntgenstrahlen. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, S. 98–100 (uni-goettingen.de).
A. Guinier: X-Ray Diffraction in Crystals, Imperfect Crystals, and Amorphous Bodies. Dover Publications, New York 1994, ISBN 0-486-68011-8, Kapitel 5.
U. Holzwarth und N. Gibson: The Scherrer Equation versus the 'Debye-Scherrer Equation'. In: Nature Nanotechnology. Band 6, Nr. 534, 2011, S. 534, doi:10.1038/nnano.2011.145.

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-Die '''Scherrer-Gleichung''' (nach dem Schweizer Physiker [[Paul Scherrer]]) bietet in der [[Röntgenbeugung]] die Möglichkeit, die [[Kristall]]<nowiki/>größe experimentell zu bestimmen.
+Die '''Scherrer-Gleichung''' (nach dem Schweizer Physiker [[Paul Scherrer]]) bietet in der [[Röntgenbeugung]] die Möglichkeit, die [[Kristall]]<nowiki />größe experimentell zu bestimmen.
-Im Allgemeinen lässt sich das Beugungsbild der Röntgenbeugung durch die [[Bragg-Gleichung]] <math> n \lambda = 2d \, \sin(\theta)</math> beschreiben. Voraussetzung dafür ist allerdings, dass die untersuchten Kristalle eine bestimmte Dicke haben und somit eine ausreichende Anzahl paralleler [[Gitterebene|Netzebenen]] mit Abstand&nbsp;''d''<sub>hkl</sub> vorhanden sind. Bei der [[Pulverdiffraktometer|Pulverdiffraktometrie]] und anderen Pulvermethoden wie dem [[Debye-Scherrer-Verfahren]] sollten die Kristalle deshalb eine [[Korngröße]] von mindestens&nbsp;0,1&nbsp;μm haben. Bei der [[Kristallstrukturanalyse]] an [[Einkristall]]en sind die Kristalle meistens 50–500&nbsp;μm groß.
+Im Allgemeinen lässt sich das Beugungsbild der Röntgenbeugung durch die [[Bragg-Gleichung]] <math> n \lambda = 2d \, \sin(\theta)</math> beschreiben. Voraussetzung dafür ist allerdings, dass die untersuchten Kristalle eine bestimmte Dicke haben und somit eine ausreichende Anzahl paralleler [[Gitterebene|Netzebenen]] mit Abstand&nbsp;''d''<sub>hkl</sub> vorhanden sind. Bei der [[Pulverdiffraktometer|Pulverdiffraktometrie]] und anderen Pulvermethoden wie dem [[Debye-Scherrer-Verfahren]] sollten die Kristalle deshalb eine [[Korngröße]] von mindestens 0,1&nbsp;μm haben. Bei der [[Kristallstrukturanalyse]] an [[Einkristall]]en sind die Kristalle meistens 50–500&nbsp;μm groß.
-[[Bild:Bragg.svg|thumb|upright=1.5|schematische Darstellung der Bragg-Reflexion]]
+[[Datei:Bragg.svg|mini|hochkant=1.5|schematische Darstellung der Bragg-Reflexion]]
 Wenn die Kristalle sehr klein sind (Kristallgröße <math>L < 100 \dots 200 \, \mathrm{nm}</math>), hat das eine Verbreiterung der Röntgenreflexe zur Folge, die durch die Scherrer-Gleichung beschrieben wird:
-:<math>\Delta(2 \theta) = \frac{K \cdot \lambda}{L \cdot \cos \theta_0}</math>
+:<math>L = \frac{K \cdot \lambda}{\Delta(2 \theta) \cdot \cos \theta_0}</math>
 Dabei ist
-* Δ(2''θ'') die volle [[Halbwertsbreite]] des Reflexes, gemessen im [[Bogenmaß]]
+* <math>\Delta (2 \theta)</math> die volle [[Halbwertsbreite]] des Reflexes, gemessen im [[Bogenmaß]]
-* ''K'' der Scherrer-[[Formfaktor (Physik)|Formfaktor]] mit einem Wert von ungefähr&nbsp;1
+* <math>K</math> der Scherrer-[[Formfaktor (Physik)|Formfaktor]] mit einem Wert von ungefähr&nbsp;1
-* ''λ'' die [[Wellenlänge]] der Röntgenstrahlung
+* <math>\lambda</math> die [[Wellenlänge]] der Röntgenstrahlung
-* ''L'' die Ausdehnung des Kristalls senkrecht zu den Netzebenen des Reflexes
+* <math>L</math> die Ausdehnung des Kristalls senkrecht zu den Netzebenen des Reflexes
-* ''θ'' der Braggwinkel (manchmal auch als&nbsp;''2·θ/2'' bezeichnet).
+* <math>\theta_0</math> der Braggwinkel (manchmal auch als <math>2\theta/2</math> bezeichnet).
 == Literatur ==
-* P. Scherrer: ''Bestimmung der Größe und der inneren Struktur von Kolloidteilchen mittels Röntgenstrahlen''. Göttinger Nachrichten, 1918, Vol.&nbsp;2, S.&nbsp;98.
+* {{Literatur
-* A. Guinier (1994): ''X-Ray Diffraction in Crystals, Imperfect Crystals, and Amorphous Bodies'' (Kapitel 5), Dover Publications, New York. ISBN 0486680118.
+    |Autor=P. Scherrer
-* U. Holzwarth und N. Gibson: ''The Scherrer Equation versus the 'Debye-Scherrer Equation'', [[Nature Nanotechnology]] 6 (2011) S.&nbsp;534, {{DOI|10.1038/nnano.2011.145}}.
+    |Titel=Bestimmung der Größe und der inneren Struktur von Kolloidteilchen mittels Röntgenstrahlen
+    |Sammelwerk=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse
+    |Verlag=Weidmannsche Buchhandlung
+    |Ort=Berlin
+    |Datum=1918
+    |Seiten=98–100
+    |Online=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457811_1918}}
+* A. Guinier: ''X-Ray Diffraction in Crystals, Imperfect Crystals, and Amorphous Bodies.'' Dover Publications, New York 1994, ISBN 0-486-68011-8, Kapitel 5.
+* U. Holzwarth und N. Gibson: ''The Scherrer Equation versus the 'Debye-Scherrer Equation'.'' In: ''[[Nature Nanotechnology]].'' Band 6, Nr. 534, 2011, S.&nbsp;534, [[doi:10.1038/nnano.2011.145]].
 [[Kategorie:Kristallographie]]