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Mit der '''Thomsonschen Schwingungsgleichung''' lässt sich die [[Resonanzfrequenz]] <math>f_0</math> eines [[Schwingkreis]]es (Reihenschwingkreis und idealer | Mit der '''Thomsonschen Schwingungsgleichung''' lässt sich die [[Resonanzfrequenz]] <math>f_0</math> eines [[Schwingkreis]]es (Reihenschwingkreis und idealer Parallelschwingkreis) mit der [[Elektrische Kapazität|Kapazität]] ''C'' und der [[Induktivität]] ''L'' berechnen. Sie wurde [[1853]] von dem britischen Physiker [[William Thomson, 1. Baron Kelvin|William Thomson]] erstmals formuliert und lautet: | ||
: <math>f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}</math> | : <math>f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}</math> | ||
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== Herleitung == | == Herleitung == | ||
Im Resonanzfall ist der [[Resonanzwiderstand]] so groß wie der Serienwiderstand. Der [[Kapazitiver Widerstand|kapazitive Widerstand]] des [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensators]] und [[induktiver Widerstand]] der [[Spule (Elektrotechnik)|Spule]] innerhalb des [[Schwingkreis]]es kompensieren sich auf null: | === Allgemein === | ||
Im Resonanzfall ist der [[Resonanzwiderstand]] so groß wie der Serienwiderstand. Der [[Kapazitiver Widerstand|kapazitive Widerstand]] des [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensators]] und der [[induktiver Widerstand|induktive Widerstand]] der [[Spule (Elektrotechnik)|Spule]] innerhalb des [[Schwingkreis]]es kompensieren sich auf null: | |||
: <math>X_L + X_C = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0</math> | : <math>X_L + X_C = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0</math> | ||
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: <math>f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}</math>, üblich ist auch die Form: <math>\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math> | : <math>f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}</math>, üblich ist auch die Form: <math>\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math> | ||
== | === Nach dem Energieerhaltungssatz === | ||
Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit ''t'' konstant. | Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit ''t'' konstant. | ||
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Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung: | Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung: | ||
: <math>\frac{1}{2}LI^2(t) + \frac{1}{2C}Q^2(t) = E_\mathrm{Gesamt}</math> | :<math>\frac{1}{2}LI^2(t) + \frac{1}{2C}Q^2(t) = E_\mathrm{Gesamt}</math> | ||
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== Weblinks == | == Weblinks == | ||
* [ | * [https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/elektromagnetische-schwingungen/grundwissen/elektromagnetischer-schwingkreis-ungedaempft Elektromagnetischer Schwingkreis ungedämpft] ([[LEIFIphysik|LEIFI]]) | ||
[[Kategorie:Schwingungslehre]] | [[Kategorie:Schwingungslehre]] |
Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung lässt sich die Resonanzfrequenz
Oder umgeformt für die Periodendauer (Schwingungszeit):
Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so groß wie der Serienwiderstand. Der kapazitive Widerstand des Kondensators und der induktive Widerstand der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null:
Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit t konstant.
Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung:
Aus
folgt:
Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhält:
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen
Durch Einsetzen ergibt sich:
Daraus folgt mit
Die thomsonsche Schwingungsgleichung gilt nur für Serienschwingkreise und ideale Parallelschwingkreise. Bei komplexeren Topologien muss, ausgehend von
Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden, dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet – die Dämpfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu groß ist. Bei nicht zu großer Dämpfung kann die beim Parallelschwingkreis veränderte Resonanzfrequenz mit dem Verlustwiderstand RL von L berechnet werden: