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Die '''Änderungsrate''' einer zeitabhängigen | Die '''Änderungsrate''' einer zeitabhängigen Größe <math>G</math> beschreibt das Ausmaß der Veränderung von <math>G</math> über einen bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer dieses Zeitraums. Anschaulich gesprochen, ist sie ein Maß dafür, wie schnell sich die Größe <math>G</math> ändert. Durch den Bezug auf die Zeitdauer enthält die [[Maßeinheit]] im Nenner eine Zeiteinheit; im Zähler steht eine Einheit von <math>G</math>. Wird die Änderung auch auf die Größe selbst bezogen, spricht man von einer ''relativen'' Änderungs- oder [[Wachstumsrate]]. | ||
Man unterscheidet | Man unterscheidet zudem die ''mittlere'' Änderungsrate zwischen zwei Messungen und die ''momentane'' (auch ''lokale'') Änderungsrate als abstrakte Größe einer Modellvorstellung. | ||
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Die ''momentane Änderungsrate'' ist die auf einen „Moment“ (sehr kurzen Zeitraum) bezogene Veränderung einer Messgröße <math>G</math>. Sie kann mathematisch als Ergebnis des Grenzprozesses | Die ''momentane Änderungsrate'' ist die auf einen „Moment“ (sehr kurzen Zeitraum) bezogene Veränderung einer Messgröße <math>G</math>. Sie kann mathematisch als Ergebnis des Grenzprozesses | ||
:<math>\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}t} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta G}{\Delta t}</math> | :<math>\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}t} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta G}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{G(t+\Delta t)-G(t)}{\Delta t} </math> | ||
als [[Differentialrechnung|Ableitung]] <math>G | als [[Differentialrechnung|Ableitung]] <math>\dot G(t)</math> ihrer Zeit-<math>G</math>-Funktion <math>G(t)</math> dargestellt werden. | ||
Für zeitlineare Änderungen ist die momentane Änderungsrate konstant gleich der mittleren Änderungsrate. | |||
=== Änderungsraten in weiterem Sinn === | === Änderungsraten in weiterem Sinn === | ||
Werden die Begriffe im übertragenen Sinn für Größen <math>G(q)</math> verwendet, die von einem anderen Parameter <math>q</math> als der Zeit abhängen, so ist die | Werden die Begriffe im übertragenen Sinn für Größen <math>G(q)</math> verwendet, die von einem anderen Parameter <math>q</math> als der Zeit abhängen, so ist:<ref>Helga Lohöfer: [https://www.mathematik.uni-marburg.de/~lohoefer/phaufgaben/Begriffstabelle-ss06.pdf ''Tabelle der üblichen Änderungsbegriffe für Variable und Funktionen.''] Skript zur Übung ''Mathematische und statistische Methoden für Pharmazeuten'', Universität Marburg. 2006.</ref> | ||
* die ''mittlere Änderungsrate'' gleichbedeutend mit dem [[Differenzenquotient]]en <math>\tfrac {\Delta G}{\Delta q}</math> | |||
* die ''momentane Änderungsrate'' gleichbedeutend mit dem [[Differentialquotient]]en <math>\tfrac {\mathrm{d}G}{\mathrm{d}q}</math> | |||
Ist der Parameter <math>q</math> eine [[vektor]]ielle Größe, so wird statt des Begriffs „Rate“ auch der Begriff „[[Gradient (Mathematik)|Gradient]]“ verwendet, etwa [[Temperaturgradient]] oder [[Gradient (Meteorologie)|Luftdruckgradient]]. | |||
== Beispiele == | == Beispiele == | ||
* Bei einer [[Translation (Physik)|geradlinigen]] Bewegung ist die Geschwindigkeit <math>v(t)</math> die momentane Änderungsrate der Zeit-Weg-Funktion <math>x(t)</math>. Der Artikel Geschwindigkeit macht im Abschnitt [[Geschwindigkeit#Definition|Definition der Geschwindigkeit]] den Unterschied von mittlerer und momentaner Änderungsrate deutlich. | * Bei einer [[Translation (Physik)|geradlinigen]] Bewegung ist die Geschwindigkeit <math>v(t)</math> die momentane Änderungsrate der Zeit-Weg-Funktion <math>x(t)</math>. Der Artikel Geschwindigkeit macht im Abschnitt [[Geschwindigkeit#Definition|Definition der Geschwindigkeit]] den Unterschied von mittlerer und momentaner Änderungsrate deutlich. | ||
* Die [[Steigleistung]] eines Luftfahrzeuges gibt an, wie viel Höhe in einer bestimmten Zeit gewonnen werden kann. | * Die [[Steigleistung]] eines Luftfahrzeuges gibt an, wie viel Höhe in einer bestimmten Zeit gewonnen werden kann. | ||
== Literatur == | == Literatur == | ||
Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Größe $ G $ beschreibt das Ausmaß der Veränderung von $ G $ über einen bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer dieses Zeitraums. Anschaulich gesprochen, ist sie ein Maß dafür, wie schnell sich die Größe $ G $ ändert. Durch den Bezug auf die Zeitdauer enthält die Maßeinheit im Nenner eine Zeiteinheit; im Zähler steht eine Einheit von $ G $. Wird die Änderung auch auf die Größe selbst bezogen, spricht man von einer relativen Änderungs- oder Wachstumsrate.
Man unterscheidet zudem die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Messungen und die momentane (auch lokale) Änderungsrate als abstrakte Größe einer Modellvorstellung.
Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer zeitabhängigen Messgröße $ G $ zwischen zwei Zeitpunkten $ t_{1} $ und $ t_{2} $, also im Zeitraum $ \Delta t=t_{2}-t_{1} $. Berechnet wird sie als Quotient aus der Differenz der beiden Werte zu diesen Zeitpunkten $ \Delta G=G(t_{2})-G(t_{1}) $ und der Dauer $ \Delta t $ des Zeitraums: $ {\tfrac {\Delta G}{\Delta t}} $
Im Zeit-Größen-Diagramm (Funktionsgraph, Schaubild) von $ G(t) $ ist die mittlere Änderungsrate zwischen $ t_{1} $ und $ t_{2} $ die Steigung der Sekante durch die Punkte $ (t_{1}|G(t_{1})) $ und $ (t_{2}|G(t_{2})) $ auf dem Diagramm.
Die momentane Änderungsrate ist die auf einen „Moment“ (sehr kurzen Zeitraum) bezogene Veränderung einer Messgröße $ G $. Sie kann mathematisch als Ergebnis des Grenzprozesses
als Ableitung $ {\dot {G}}(t) $ ihrer Zeit-$ G $-Funktion $ G(t) $ dargestellt werden.
Für zeitlineare Änderungen ist die momentane Änderungsrate konstant gleich der mittleren Änderungsrate.
Werden die Begriffe im übertragenen Sinn für Größen $ G(q) $ verwendet, die von einem anderen Parameter $ q $ als der Zeit abhängen, so ist:[1]
Ist der Parameter $ q $ eine vektorielle Größe, so wird statt des Begriffs „Rate“ auch der Begriff „Gradient“ verwendet, etwa Temperaturgradient oder Luftdruckgradient.