Drehspiegelmethode: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 2. April 2021, 08:49 Uhr

Funktionsprinzip und für die Berechnung benötigte Größen der Drehspiegelmethode

Einfacheres Schema des Fizeau-Foucault-Apparates und die Verbesserung durch Michelson

Die Drehspiegelmethode ist ein 1850/51 von Léon Foucault entwickeltes Verfahren zur Messung der Lichtgeschwindigkeit. Er war damit in der Lage, die Lichtgeschwindigkeit mit 298.000 km/s relativ genau zu bestimmen.

Funktionsweise

Eine Lichtquelle wird hinter einem Projektionsschirm mit einer Durchlassöffnung so angeordnet, dass deren Licht auf einen rotierenden Spiegel fällt. Von diesem wird es auf einen festen Spiegel gelenkt, von dem aus es wieder zurück ins Zentrum des rotierenden Spiegel reflektiert wird. Um dies unabhängig vom Winkel des Drehspiegels zu erreichen, muss entweder ein Hohlspiegel oder eine zusätzliche Linse verwendet werden. Da sich der Drehspiegel in der Zwischenzeit weitergedreht hat und damit in einem anderen Winkel zum Lichtstrahl steht, wird der Lichtstrahl nun nicht mehr auf den Ausgangspunkt (die Lichtquellenöffnung) zurück reflektiert, sondern auf einen Punkt $$ P $$ daneben auf dem Projektionsschirm. Voraussetzung ist eine hinreichende Winkelgeschwindigkeit des Spiegels; dieser muss also ziemlich schnell rotieren, damit überhaupt ein messbarer Unterschied entsteht.

Durch Messung des Abstands $$ X $$ zwischen dem Reflexpunkt $$ P $$ und dem Lichtstrahl bei $$ D $$ ist es mit den unten aufgeführten Formeln möglich, bei bekannter Drehfrequenz des Spiegels und bekannten Abständen des festen Spiegels vom Drehspiegel ( $$ S $$ ) und dem Schirm vom Drehspiegel ( $$ L $$ ), die Lichtgeschwindigkeit im Labor zu bestimmen.

Berechnung

Das Licht, das vom Drehspiegel auf den festen Spiegel reflektiert wird und von dort zurück auf den Drehspiegel trifft, legt in der Zeit $\Delta t$ zweimal die Strecke $$ S $$ zurück. Also gilt:

2S=c\cdot \Delta t

Während der Laufzeit $\Delta t$ des Lichts hat sich der mit der Drehfrequenz $$ f $$ drehende Drehspiegel um den Winkel $\beta$ gedreht:

\beta =2\pi \cdot f\cdot \Delta t

Löst man die erste Gleichung nach $\Delta t$ auf und setzt sie in die zweite Gleichung ein, so ergibt sich für die Lichtgeschwindigkeit $$ c $$

c={\frac {4\pi fS}{\beta }}

Da die Drehung des reflektierten Strahls durch die Drehung des Einfallslotes (Spiegels) um $\beta$ und die Veränderung des Einfallswinkels um $\beta$ bewirkt wird, dreht sich nach dem Reflexionsgesetz der reflektierte Lichtstrahl um den doppelten Winkel $\alpha =2\beta$ . Mit $$ L $$ als Abstand der Projektionsschirmfläche zum Drehspiegel gilt

X=L\cdot \tan(2\beta )

Bei einem Projektionsschirm mit einer zylindrischen Fläche, deren Mittelpunkt in der Achse des Drehspiegels liegt, gilt für kleinen Winkel

X=L\cdot \tan(2\beta )\approx L\cdot 2\beta

,

sofern der Winkel $\beta$ im Bogenmaß angegeben wird. Setzt man das Ergebnis $\beta \approx {\frac {X}{2L}}$ in die obige Gleichung für $$ c $$ ein, so ergibt sich:

c={\frac {8\pi \cdot f\cdot L\cdot S}{X}}

Weitere Messungen und Verbesserungen

1879 ergaben Messungen von Albert A. Michelson mit der Drehspiegelmethode eine Lichtgeschwindigkeit von 299.910±50 km/s. Nachdem er den Versuchsaufbau weiter verbessert hatte, veröffentlichte Michelson 1883 einen Wert von 299.853±60 km/s. Dieser Wert kommt der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum von 299.792,458 km/s schon sehr nahe.

Weblinks

Speed of Light Demonstration by the Foucault Method, Artikel von Kevin McFarland auf der Website der University of Rochester
Lichtgeschwindigkeit: Messung mit Drehspiegelmethode (Memento vom 13. November 2013 im Internet Archive), Vorlesungssammlung der Universität Ulm, 18. Januar 2002

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 == Funktionsweise ==
-Eine [[Lichtquelle]]  wird hinter einem Projektionsschirm mit einer Durchlassöffnung so angeordnet,  dass deren [[Licht]] auf einen rotierenden [[Spiegel]] fällt. Von diesem wird es auf einen festen Spiegel gelenkt, von dem aus es wieder zurück auf den rotierenden Spiegel reflektiert wird.
+Eine [[Lichtquelle]] wird hinter einem Projektionsschirm mit einer Durchlassöffnung so angeordnet, dass deren [[Licht]] auf einen rotierenden [[Spiegel]] fällt. Von diesem wird es auf einen festen Spiegel gelenkt, von dem aus es wieder zurück ins Zentrum des rotierenden Spiegel reflektiert wird. Um dies unabhängig vom Winkel des Drehspiegels zu erreichen, muss entweder ein [[Hohlspiegel]] oder eine zusätzliche [[Linse (Optik)|Linse]] verwendet werden. Da sich der Drehspiegel in der Zwischenzeit weitergedreht hat und damit in einem anderen Winkel zum Lichtstrahl steht, wird der Lichtstrahl nun nicht mehr auf den Ausgangspunkt (die Lichtquellenöffnung)  zurück [[Reflexion (Physik)|reflektiert]], sondern auf einen Punkt <math>P</math> daneben auf dem Projektionsschirm. Voraussetzung ist eine hinreichende [[Winkelgeschwindigkeit]] des Spiegels; dieser muss also ziemlich schnell rotieren, damit überhaupt ein messbarer Unterschied entsteht.
-Da sich der Drehspiegel in der Zwischenzeit weitergedreht hat und damit in einem anderen Winkel zum Lichtstrahl steht, wird der Lichtstrahl nun nicht mehr auf den Ausgangspunkt (die Lichtquellenöffnung)  zurück [[Reflexion (Physik)|reflektiert]], sondern auf einen Punkt P daneben auf dem Projektionsschirm. Voraussetzung ist eine hinreichende Winkelgeschwindigkeit des Spiegels; dieser muss also ziemlich schnell rotieren, damit überhaupt ein messbarer Unterschied entsteht.
-Durch Messung des Abstands X zwischen dem Reflexpunkt P und dem Lichtstrahl bei D ist es mit den unten aufgeführten Formeln möglich, bei bekannter [[Drehfrequenz]] des Spiegels und bekannten Abständen des festen Spiegels vom Drehspiegel (S) und dem Schirm vom Drehspiegel (L), die Lichtgeschwindigkeit im Labor zu bestimmen.
+Durch Messung des Abstands <math>X</math> zwischen dem Reflexpunkt <math>P</math> und dem Lichtstrahl bei <math>D</math> ist es mit den unten aufgeführten Formeln möglich, bei bekannter [[Drehfrequenz]] des Spiegels und bekannten Abständen des festen Spiegels vom Drehspiegel (<math>S</math>) und dem Schirm vom Drehspiegel (<math>L</math>), die Lichtgeschwindigkeit im Labor zu bestimmen.
 == Berechnung ==
-Das Licht, das vom Drehspiegel auf den festen Spiegel reflektiert wird und von dort zurück auf den Drehspiegel trifft, legt in der Zeit ''t'' zweimal die Strecke ''S'' zurück. Also gilt:
+Das Licht, das vom Drehspiegel auf den festen Spiegel reflektiert wird und von dort zurück auf den Drehspiegel trifft, legt in der Zeit <math>\Delta t</math> zweimal die Strecke <math>S</math> zurück. Also gilt:
-:<math>2 S = c \cdot t</math>
+:<math>2 S = c \cdot \Delta t</math>
-Während der Laufzeit ''t'' des Lichts hat sich der mit der Drehfrequenz  ''f''  drehende Drehspiegel um den Winkel ''<math> \beta </math>'' gedreht:
+Während der Laufzeit <math>\Delta t</math> des Lichts hat sich der mit der Drehfrequenz  <math>f</math>  drehende Drehspiegel um den Winkel <math> \beta </math> gedreht:
-:<math> \beta=  2 \pi \cdot f\cdot t </math>
+:<math> \beta=  2 \pi \cdot f\cdot \Delta t </math>
-Nach ''t'' aufgelöst und in die erste Formel eingesetzt ergibt sich:
+Löst man die erste Gleichung nach <math>\Delta t</math> auf und setzt sie in die zweite Gleichung ein, so ergibt sich für die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math>
-:<math>2 S = c \cdot \frac{\beta}{2 \pi \cdot f}</math>
+:<math>c =\frac {4 \pi f S}{\beta}</math>
-Da die Drehung des reflektierten Strahls durch die Drehung des Einfallslotes (Spiegels) um ''<math> \beta </math>'' und die Veränderung des Einfallswinkels um ''<math> \beta </math>'' bewirkt wird, dreht sich nach dem [[Reflexion (Physik)#Reflexionsgesetz|Reflexionsgesetz]] der reflektierte Lichtstrahl um den doppelten Winkel  ''<math>\alpha = 2\beta</math>''.
+Da die Drehung des reflektierten Strahls durch die Drehung des Einfallslotes (Spiegels) um <math> \beta </math> und die Veränderung des Einfallswinkels um <math> \beta </math> bewirkt wird, dreht sich nach dem [[Reflexion (Physik)#Reflexionsgesetz|Reflexionsgesetz]] der reflektierte Lichtstrahl um den doppelten Winkel  <math>\alpha = 2\beta</math>.
-Mit ''L'' als Abstand der Projektionsschirmfläche zum Drehspiegel gilt  für kleine Winkel ''<math>\beta</math>'' näherungsweise
+Mit <math>L</math> als Abstand der Projektionsschirmfläche zum Drehspiegel gilt
-:<math>X \approx L\cdot 2\beta </math>&nbsp;,
-der exakte Ausdruck lautet
 :<math>X = L\cdot \tan(2 \beta) </math>
-Bei einem Projektionsschirm mit einer zylindrischen Fläche, deren Mittelpunkt in der Achse des Drehspiegels liegt, gilt die erste Formel unter der Voraussetzung, dass in [[Radiant (Einheit)|Radiant]] gerechnet wird, d.&nbsp;h. das Ergebnis ist ggf. mit dem Umrechnungsfaktor 180°/π zu dividieren. Den Winkel ''<math> 2\beta </math>'' erhält man – wiederum in Radiant gerechnet – durch die Formel X/L. Der Abstand X wird üblicherweise auf einem Millimeterpapier abgelesen.
-Somit erhält man
+Bei einem Projektionsschirm mit einer zylindrischen Fläche, deren Mittelpunkt in der Achse des Drehspiegels liegt, gilt für [[Kleinwinkelnäherung|kleinen Winkel]]
-:<math>2 S = c \cdot \frac{X}{2 \cdot 2 \pi \cdot f \cdot L} = c \cdot \frac{X}{4 \pi \cdot f \cdot L }</math>
-und nach ''c'' aufgelöst die Lichtgeschwindigkeit
+:<math>X = L\cdot \tan(2 \beta) \approx L\cdot 2\beta </math>&nbsp;,
-:<math>c = \frac{8 \pi \cdot f \cdot L \cdot S}{X}</math>
-==Alternative Berechnung==
+sofern der Winkel <math>\beta</math> im [[Bogenmaß]] angegeben wird. Setzt man das Ergebnis <math>\beta \approx \frac X {2L}</math> in die obige Gleichung für <math> c</math> ein, so ergibt sich:
-Während das Licht den Weg vom sich drehenden Spiegel zum Parabolspiegel durchläuft, dreht sich der Spiegel um einen bestimmten Winkel. Diesen gilt es zunächst zu berechnen. Denn dann kennt man nicht nur den Weg (2S), den das Licht zurückgelegt hat, wenn es wieder auf den rotierenden Spiegel trifft, sondern auch die Zeit, die das Licht dafür benötigt, und somit seine [[Geschwindigkeit]].
-Um den Winkel (<math> \beta </math>) zu berechnen, liest man ab, wie weit die Ablenkung (X) des Lichts vom ursprünglichen, aus der Lichtquelle entsandten Strahl stattgefunden hat. Die Länge dieser Ablenkung bildet zusammen mit der Entfernung der Blende vom rotierenden Spiegel ein Dreieck, das einen Winkel einschließt, der doppelt so groß ist wie der gesuchte Winkel (<math>\beta</math>). Doppelt so groß, weil ein Einfallswinkel immer dem Ausfallswinkel entspricht und somit eine bestimmte Winkeländerung des Spiegels immer zur doppelten Winkeländerung des Strahls führt.
+:<math>c = \frac{8 \pi \cdot f \cdot L \cdot S}{X}</math>
-Aus der Definition des [[Tangens]] folgt, dass der Tangens dieses doppelt so großen Winkels (<math>2\beta</math>) durch den Quotienten aus Gegenkathete (X) und Ankathete dieses Dreiecks (L = Entfernung der Blende vom rotierenden Spiegel) bestimmt werden kann: <math>\tan(2\beta)=\frac{X}{L}</math>. Isoliert man nun das <math>\beta</math> in dieser Gleichung: <math>\beta=\frac{\tan^{-1}\left(\frac{X}{L}\right)}{2}</math>, gelangt man schließlich zu dem Teil einer vollen 360°-Drehung, den der Rotationsspiegel vollzieht, während das von ihm reflektierte Licht zum Parabolspiegel und zurück läuft.
-Da man natürlich die Rotationsgeschwindigkeit (U = Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde) des Spiegels kennt, weiß man auch, dass dieser den Anteil <math>\frac{\beta}{360}</math> einer Umdrehung in genau <math>\frac{\beta}{360\cdot U}</math> Sekunden bewältigt.
-Schließlich setzt man nur noch den Weg (2S) und die Zeit ins Verhältnis und erhält: <math>c=\frac{2\cdot S}{\frac{\beta}{360\cdot U}}</math> die Geschwindigkeit des Lichts in  Metern pro Sekunde bzw. zusammengefasst:
-:<math>c=\frac{2\cdot S}{\frac{\tan^{-1}\left(\frac{X}{L}\right)}{2\cdot 360\cdot U}}</math>
-bzw.
-:<math>c=\frac{1440\cdot S\cdot U}{\tan^{-1}\left(\frac{X}{L}\right)}\approx 299.792.458 \left[\frac{m}{s}\right]</math>
-Würde man also z.&nbsp;B. sowohl für den Abstand <math>S</math> als auch für den Abstand <math>L=10\left[m\right]</math> wählen, würde man bei einer Ablenkung <math>X</math> von <math>3\left[mm\right]</math> etwa  <math>U=21.471,5</math> Umdrehungen pro Minute messen. Daraus ergäbe sich eine [[Lichtgeschwindigkeit]] von etwa <math>299.798.705\left[\frac{m}{s}\right]</math>.
 == Weitere Messungen und Verbesserungen ==