Einsteinsche Mannigfaltigkeit: Unterschied zwischen den Versionen

Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit $ (M,g) $ heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante $ \lambda $ existiert, so dass

$ \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda \,g_{p}(X,Y) $

gilt. Dabei ist $ \operatorname {Ric} _{p} $ der (0,2)-Ricci-Tensor und $ X,Y\in T_{p}M $ für jedes $ p\in M. $ Die pseudo-riemannsche Metrik $ g $ heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften

• Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen $ n\geq 4 $ von eigenständigem Interesse, da sie für $ n=2 $ und $ n=3 $ mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.

• Sei $ n\geq 3. $ Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes $ p\in M $ eine Konstante $ \lambda _{p} $ (in Abhängigkeit von $ p\, $) existiert, so dass

$ \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda _{p}\,g_{p}(X,Y) $

gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier $ \lambda $ vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.

• Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante $ \lambda $ haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante $ \lambda $.

• Die Definition der Einsteinmetrik $ g $ ergibt sich aus der Aussage, dass $ g $ eine Lösung der einsteinschen Vakuumfeldgleichungen

$ \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)-{\frac {1}{2}}\,g_{p}(X,Y)\,s_{p}+g_{p}(X,Y)\,\Lambda =0 $

mit der kosmologischen Konstante $ \Lambda $ und der Skalarkrümmung $ s_{p} $ ist. Durch Spurbildung in der Gleichung $ \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda \,g_{p}(X,Y) $ erhält man

$ s_{p}=n\lambda , $

dabei bezeichnet $ n\, $ die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur

• Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).