Gnomonische Projektion: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 9. Juli 2021, 21:36 Uhr

Gnomonische Projektion auf eine Ebene: Großkreise werden zu Geraden

Eine gnomonische Projektion ist eine Zentralprojektion, bei der das Projektionszentrum im Mittelpunkt des abzubildenden Körpers liegt.

Die gnomonische Projektion wird verwendet:

in der Kartografie mit Projektionszentrum im Erdmittelpunkt für Kartennetzentwürfe, vor allem für gnomonische Azimutalprojektionen, bei denen die Projektionsfläche eine Ebene ist (s. u.)
in der Kristallografie mit Projektionszentrum im Mittelpunkt des Kristalls.

Die Art der Projektions- bzw. Abbildungsfläche ist prinzipiell beliebig; antikes Beispiel ist die Innenfläche einer Kugel bei einer der ältesten Sonnenuhren, der Skaphe. Je nach Geometrie der Abbildungsfläche wird die Abbildung jedoch zu allen oder zu einzelnen Rändern hin stark verzerrt; für topografische Karten ist die gnomonische Projektion deshalb nicht geeignet.

Etymologie und Historisches

Der Begriff gnomonische Projektion leitet sich ab von Gnomon (γνόμον), dem griechischen Wort für den Schattenstab einer Sonnenuhr, bei der die Himmelssphäre mit der Sonne zentral aus der Gnomonspitze (Nodus) auf das Zifferblatt abgebildet wird.

Mit der Spitze des Gnomons als schattenwerfendes Projektionszentrum wurde z. B. bereits in der Antike der Stand der Sonne in einer Sonnenuhr abgebildet und zur Anzeige der Tageszeit benutzt. Eine Konstruktionsvorschrift für eine Sonnenuhr, die einen Gnomon enthält, ist als Das Analemma des Vitruv überliefert.

Gnomonische Azimutalprojektion

Konstruktion einer gnomonischen Azimutalprojektion in normaler Lage, projizierte Elemente mit einem Strich bezeichnet

Gnomonische Azimutalprojektionen sind „geradentreu“, d. h. alle Großkreise auf der Erdoberfläche und damit alle Orthodromen werden als Geraden abgebildet. Will man von einem Punkt auf kürzestem Weg zu einem anderen navigieren, so kann man daher in einer Karte mit gnomonischer Azimutalprojektion die Wegstrecke durch Verbinden der Punkte mit einer geraden Linie ermitteln. Deshalb werden diese Karten zusammen mit winkeltreuen Karten in der Navigation zur See und in der Luft sowie in der Funknavigation angewendet.

Die Kristallografie nutzt aus, dass Pole tautozonaler Flächen in gnomonischer Azimutalprojektion auf Geraden liegen.

Die gnomonische Azimutalprojektion erlaubt die Abbildung des am Projektionszentrum beginnenden offenen Halbraumes, in dem die Abbildungsebene liegt. Ein in der Begrenzung des Halbraumes liegender Großkreis wird ins Unendliche projiziert (z. B. in der Abb. rechts der Äquator). Aufgrund Verzerrungen, die mit steigender Entfernung vom Mittelpunkt der Projektion stark zunehmen, beschränkt man die Projektion meist auf einen Winkelbereich von höchstens 60° um die Mittelachse.

Gnomonische Projektionen in der Kartografie

Normale (polare) Lage

Ist die Projektionsebene einer gnomonischen Azimutalprojektion in normaler Lage, d. h., sie berührt die Erde in einem Pol, so werden die Breitenkreise als konzentrische Kreise um den Pol und die Meridiane als radiale Geraden abgebildet. Der Kartennetzentwurf lässt sich mit Hilfe von Zirkel und Lineal ausführen.

Die Abbildungsgleichungen in dieser Lage lauten für die Polarkoordinaten der Karte:

\alpha =\lambda

r=m\cdot \tan \delta

mit

Azimut $\alpha$
geographischer Länge $\lambda$
Maßstabsfaktor $$ m $$
Radius $$ r $$
Breitenkomplement $\delta$ = 90° − geographische Breite.

Transversale Lage

Der Berührungspunkt liegt auf dem Äquator. Die Meridiane werden als parallele Geraden abgebildet, die Breitenkreise als Hyperbeln. Der Äquator wird zu einer Geraden, welche die Meridiane senkrecht schneidet.

Schiefe Lage

Die Karte berührt einen beliebigen Punkt der Erdoberfläche (hier Japan). Sie bildet die Meridiane ebenfalls als Geradenbündel ab, die Breitenkreise werden zu Kegelschnitten.

Normale Lage:
Nordpol
Transversale Lage:
Äquator (0° geogr. Länge)
Schiefe Lage:
Japan

Veranschaulichung

Wenn man einen Globus von innen beleuchtet (mit nahezu punktförmiger Lichtquelle im Zentrum des Globus), so dass die Globusoberfläche an eine ebene Wand oder die Zimmerdecke projiziert wird, so entspricht dieses Abbild an der Wand der gnomonischen Azimutalprojektion.

Wenn die Globusachse senkrecht zur Decke steht, bilden sich alle Parallelkreise als konzentrische Kreise ab, bei schräger Lage als Ellipsen und Hyperbeln; die Meridiane bleiben hingegen gerade.

Weblinks

Institut für diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien: gnomonische Azimutalprojektion der Erde – interaktiv
Institut für diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien: gnomonische Kegelprojektion der Erde – interaktiv
Böhm Wanderkarten: Gnomonische Azimutalprojektion – u. a. in verschiedenen Lagen

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-[[File:Gnomonic.png|thumb|right|Gnomonische Projektion: Großkreise werden zu Geraden]]
+[[File:Gnomonic.png|thumb|right|Gnomonische Projektion auf eine Ebene: [[Großkreis]]e werden zu Geraden]]
-Eine '''gnomonische Projektion''' ist eine [[Zentralprojektion]], bei der das Projektionszentrum im Mittelpunkt des abzubildenden Körpers liegt. Der Begriff ''gnomonische Projektion'' ist vom [[Gnomon]] (Schattenstab) der [[Sonnenuhr#Funktion einer Sonnenuhr|Sonnenuhr]] übernommen, bei der die Himmelssphäre mit der [[Sonnenstand|Sonne]] zentral aus der Gnomonspitze ([[Nodus (Sonnenuhr)|Nodus]]) auf das Zifferblatt abgebildet wird. Die Art der Projektionsfläche ist beliebig. [[Antike]]s Beispiel ist die Innenfläche einer Kugel bei einer der ältesten Sonnenuhren, der [[Sonnenuhr#Kugelförmiges Zifferblatt|Skaphe]]. Oft wird auf eine Ebene projiziert, wie zum Beispiel meistens in der [[Kartennetzentwurf#Azimutale Abbildungen|Kartografie]].
+Eine '''gnomonische Projektion''' ist eine [[Zentralprojektion]], bei der das Projektionszentrum im Mittelpunkt des abzubildenden Körpers liegt.
-[[Bild:Konstruktion_polstaendige_gnomonische_Azimutalprojektion.svg|thumb|right|Konstruktion einer gnomonischen Azimutalprojektion in normaler Lage, projizierte Elemente sind mit einem Strich bezeichnet]]
+Die gnomonische Projektion wird verwendet:
-Die Projektion wird in der [[Kartografie]] mit Projektionszentrum im Erdmittelpunkt für [[Kartennetzentwurf|Kartennetzentwürfe]] und in der [[Kristallografie]] mit Projektionszentrum im Mittelpunkt des Kristalls verwendet. Je nach Geometrie der [[Kartennetzentwurf#Klassifikation nach Abbildungsflächen|Abbildungsfläche]] wird die Abbildung zu allen oder zu einzelnen Rändern hin stark verzerrt. Für topografische Karten ist die gnomonische Projektion deshalb nicht geeignet. Dennoch von praktischem Nutzen sind die gnomonischen [[Azimutalprojektion]]en, bei denen die Projektionsfläche eine Ebene ist.
+* in der [[Kartografie]] mit Projektionszentrum im Erdmittelpunkt für [[Kartennetzentwurf|Kartennetzentwürfe]], vor allem für gnomonische [[Azimutalprojektion]]en, bei denen die Projektionsfläche eine Ebene ist (s.&nbsp;u.)
+* in der [[Kristallografie]] mit Projektionszentrum im Mittelpunkt des [[Kristall]]s.
+Die Art der [[Projektionsfläche|Projektions-]] bzw. [[Kartennetzentwurf #Klassifikation nach Abbildungsflächen|Abbildungsfläche]] ist prinzipiell beliebig; [[antike]]s Beispiel ist die Innenfläche einer Kugel bei einer der ältesten [[Sonnenuhr]]en, der [[Skaphe]]. Je nach Geometrie der Abbildungsfläche wird die Abbildung jedoch zu allen oder zu einzelnen Rändern hin stark [[Verzerrung (Kartografie)|verzerrt]]; für [[topografische Karte]]n ist die gnomonische Projektion deshalb ''nicht'' geeignet.
-== Projektion großkreistreu ==
+== Etymologie und Historisches ==
-Gnomonische Azimutalprojektionen sind „geradentreu“, d.&nbsp;h. alle [[Großkreis]]e auf der Erdoberfläche und damit alle [[Orthodrome]]n werden als Geraden abgebildet. Will man von einem Punkt zu einem anderen navigieren, so kann man daher in einer Karte mit gnomonischer Azimutalprojektion die Wegstrecke durch Verbinden der Punkte mit einer geraden Linie ermitteln. Deshalb finden diese Karten zusammen mit [[winkeltreu]]en Karten in der Navigation zur See und in der Luft sowie in der Funknavigation Anwendung. Die [[Kristallografie]] nutzt die Tatsache, dass Pole [[tautozonal]]er Flächen in gnomonischer Azimutalprojektion auf Geraden liegen.
+Der Begriff ''gnomonische Projektion'' leitet sich ab von [[Gnomon]] (γνόμον), dem [[Griechische Sprache|griechischen]] Wort für den [[Schattenstab]] einer [[Sonnenuhr #Funktion einer Sonnenuhr|Sonnenuhr]], bei der die [[Himmelssphäre]] mit der [[Sonnenstand|Sonne]] zentral aus der Gnomonspitze ([[Nodus (Sonnenuhr)|Nodus]]) auf das [[Sonnenuhr #Die_Zifferblätter|Zifferblatt]] abgebildet wird.
-Die gnomonische Azimutalprojektion erlaubt die Abbildung des am Projektionszentrum beginnenden offenen [[Halbraum]]es, in dem die Abbildungsebene liegt. Ein in der Begrenzung des Halbraumes liegender Großkreis wird ins Unendliche projiziert. Aufgrund der mit steigender Entfernung vom Mittelpunkt der Projektion stark zunehmenden Verzerrungen beschränkt man die Projektion meist auf einen Winkelbereich von höchstens 60° um die Mittelachse.
+Mit der Spitze des Gnomons als schattenwerfendes Projektionszentrum wurde z.&nbsp;B. bereits in der Antike der [[Stand der Sonne]] in einer Sonnenuhr abgebildet und zur Anzeige der [[Tageszeit]] benutzt. Eine Konstruktionsvorschrift für eine Sonnenuhr, die einen Gnomon enthält, ist als [[Analemma #Das Analemma des Vitruv|Das Analemma des Vitruv]] überliefert.
-==Gnomonische Projektionen in der Kartografie==
+== Gnomonische Azimutalprojektion ==
+[[Bild:Konstruktion_polstaendige_gnomonische_Azimutalprojektion.svg|thumb|right|Konstruktion einer gnomonischen Azimutalprojektion in normaler Lage, projizierte Elemente mit einem Strich bezeichnet]]
+Gnomonische Azimutalprojektionen sind „geradentreu“, d.&nbsp;h. alle [[Großkreis]]e auf der Erdoberfläche und damit alle [[Orthodrome]]n werden als Geraden abgebildet. Will man von einem Punkt auf kürzestem Weg zu einem anderen navigieren, so kann man daher in einer Karte mit gnomonischer Azimutalprojektion die Wegstrecke durch Verbinden der Punkte mit einer geraden Linie ermitteln. Deshalb werden diese Karten zusammen mit [[winkeltreu]]en Karten in der [[Navigation]] zur See und in der Luft sowie in der [[Funknavigation]] angewendet.
+Die Kristallografie nutzt aus, dass Pole [[tautozonal]]er Flächen in gnomonischer Azimutalprojektion auf Geraden liegen.
+Die gnomonische Azimutalprojektion erlaubt die Abbildung des am Projektionszentrum beginnenden offenen [[Halbraum]]es, in dem die Abbildungsebene liegt. Ein in der Begrenzung des Halbraumes liegender Großkreis wird ins Unendliche projiziert (z.&nbsp;B. in der Abb. rechts der [[Äquator]]). Aufgrund Verzerrungen, die mit steigender Entfernung vom Mittelpunkt der Projektion stark zunehmen, beschränkt man die Projektion meist auf einen Winkelbereich von höchstens&nbsp;60° um die Mittelachse.
+== Gnomonische Projektionen in der Kartografie ==
 === Normale (polare) Lage ===
-Ist die Projektionsebene einer gnomonischen Azimutalprojektion in ''normaler Lage'', d. h., sie berührt die Erde im Pol, so werden die Breitenkreise als konzentrische Kreise um den Pol und die Meridiane als radiale Geraden abgebildet. Der Kartennetzentwurf lässt sich mit Hilfe von Zirkel und Lineal ausführen. Die Abbildungsgleichungen in dieser Lage lauten für die [[Polarkoordinaten]] der Karte, [[Azimut]] <math>\alpha</math> und Radius <math>m </math>, mit geographischer Länge <math>\lambda</math> und Breitenkomplement <math>\delta</math> (90° − geographische Breite)
+Ist die Projektionsebene einer gnomonischen Azimutalprojektion in ''normaler Lage'', d.&nbsp;h., sie berührt die Erde in einem [[Pol (Geographie)|Pol]], so werden die [[Breitenkreis]]e als [[konzentrisch]]e Kreise um den Pol und die [[Meridian (Geographie)|Meridian]]e als radiale [[Gerade]]n abgebildet. Der Kartennetzentwurf lässt sich mit Hilfe von [[Zirkel und Lineal]] ausführen.
-:<math>\alpha = \lambda </math>,
-:<math> m = r \cdot \tan \delta</math>,
+Die [[Abbildungsgleichung (Geometrie)|Abbildungsgleichung]]en in dieser Lage lauten für die [[Polarkoordinaten]] der Karte:
-wobei <math>r</math> ein Maßstabsfaktor ist.
+:<math>\alpha = \lambda </math>
+:<math>r = m \cdot \tan \delta</math>
+mit
+* [[Azimut]] <math>\alpha</math>
+* [[geographische Länge|geographischer Länge]] <math>\lambda</math>
+* [[Maßstabsfaktor]] <math>m</math>
+* Radius <math>r</math>
+* Breiten[[komplement]] <math>\delta</math> =&nbsp;90°&nbsp;−&nbsp;[[geographische Breite]].
 === Transversale Lage ===
-Der Berührungspunkt liegt auf dem Äquator. Die Meridiane werden als parallele Geraden abgebildet, die Breitenkreise als Hyperbeln. Der Äquator wird zu einer Geraden, welche die Meridiane senkrecht schneidet.
+Der Berührungspunkt liegt auf dem Äquator. Die Meridiane werden als parallele Geraden abgebildet, die Breitenkreise als [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeln]]. Der Äquator wird zu einer Geraden, welche die Meridiane senkrecht schneidet.
 === Schiefe Lage ===
 Die Karte berührt einen beliebigen Punkt der Erdoberfläche (hier Japan). Sie bildet die Meridiane ebenfalls als [[Geradenbündel (Elementargeometrie)|Geradenbündel]] ab, die Breitenkreise werden zu [[Kegelschnitt]]en.
 <div><gallery>
 Datei:Gnomonic Projection Polar.jpg|Normale Lage:<br />Nordpol
@@ Zeile 33: / Zeile 51: @@
 Wenn man einen [[Globus]] von innen beleuchtet (mit nahezu punktförmiger Lichtquelle im Zentrum des Globus), so dass die Globusoberfläche an eine ebene Wand oder die Zimmerdecke projiziert wird, so entspricht dieses Abbild an der Wand der gnomonischen Azimutalprojektion.
-Wenn die Globusachse senkrecht zur Decke steht, bilden sich alle Parallelkreise als konzentrische Kreise ab, bei schräger Lage als [[Ellipse]]n und [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]n. Die Meridiane bleiben hingegen gerade.
+Wenn die Globusachse senkrecht zur Decke steht, bilden sich alle [[Parallelkreis]]e als [[konzentrisch]]e Kreise ab, bei schräger Lage als [[Ellipse]]n und [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]n; die [[Meridian (Geographie)|Meridian]]e bleiben hingegen gerade.
-== Historisches ==
-Der Name leitet sich von [[Gnomon]] (γνόμον), dem [[Griechische Sprache|griechischen]] Wort für einen als [[Astronomie|astronomisches]] Instrument verwendeten Schattenstab, ab.
-Mit der Spitze des Gnomons als schattenwerfendes Projektionszentrum wurde zum Beispiel bereits in der Antike der Stand der Sonne in einer [[Sonnenuhr]] abgebildet und zur Anzeige der Tageszeit benutzt. Eine Konstruktionsvorschrift für eine  einen Gnomon enthaltende Sonnenuhr ist als [[Analemma#Das Analemma des Vitruv|Das Analemma des Vitruv]] überliefert.
-==Weblinks==
+== Weblinks ==
-*Institut für diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien: [http://www.geometrie.tuwien.ac.at/karto/norm0014.html gnomonische Azimutalprojektion der Erde] – interaktiv
+* Institut für diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien: [http://www.geometrie.tuwien.ac.at/karto/norm0014.html gnomonische Azimutalprojektion der Erde] – interaktiv
-*Institut für diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien: [http://www.geometrie.tuwien.ac.at/karto/norm0008.html gnomonische Kegelprojektion der Erde] – interaktiv
+* Institut für diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien: [http://www.geometrie.tuwien.ac.at/karto/norm0008.html gnomonische Kegelprojektion der Erde] – interaktiv
-*Böhm Wanderkarten: [http://www.boehmwanderkarten.de/kartographie/is_netze_azi_gnomonisch.html Gnomonische Azimutalprojektion] – u.&thinsp;a.  in verschiedenen Lagen
+* Böhm Wanderkarten: [http://www.boehmwanderkarten.de/kartographie/is_netze_azi_gnomonisch.html Gnomonische Azimutalprojektion] – u.&thinsp;a.  in verschiedenen Lagen
 [[Kategorie:Kartennetzentwurf]]
 [[Kategorie:Kristallographie]]