Konfiguration (Mechanik): Unterschied zwischen den Versionen
imported>Aka K (Tippfehler entfernt) |
imported>Acky69 K (→Repräsentatives-Volumen-Element: zus. Links, ZS) |
||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
{{QS-Physik|Materieller Körper und Konfiguration (Mechanik)|Unerledigt=2014}} | {{QS-Physik|Materieller Körper und Konfiguration (Mechanik)|Unerledigt=2014}} | ||
In der Kontinuumsmechanik ist eine '''Konfiguration''' die Abbildung eines Körpers aus dem [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] unserer Anschauung in einen abstrakten [[ | In der [[Kontinuumsmechanik]] ist eine '''Konfiguration''' die Abbildung eines [[Körper (Physik)|Körpers]] aus dem [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] unserer [[Anschauung]] in einen abstrakten [[Euklidischer_Raum #Euklidische_Vektorräume|euklidischen Vektorraum]]. Auf diese Weise wird der physikalische Körper einer mathematischen Beschreibung zugänglich. Er ist die Grundlage für die [[Kontinuumsmechanik #Kinematik|Kinematik]], die Formulierung von [[Kontinuumsmechanik #Naturgesetze| Naturgesetzen]] und [[Stoffgesetz]]en. | ||
Die Konfiguration darf nicht mit dem Körper noch mit seiner Bewegung oder [[Verformung|Deformation]] verwechselt werden; sie soll diese nur zu jeder Zeit getreu abbilden. Ihre Definition beinhaltet jedoch bereits die Kontinuumshypothese (s. u.), der zufolge die Eigenschaften eines realen Körpers kontinuierlich über den Raum verteilt sind. | |||
== Körper == | == Körper == | ||
Ein Körper unserer Anschauung ist ein abgegrenzter mit Materie gefüllter Raumbereich. Es wurde mehrfach versucht, Körper als Ausschnitt des Universums darzustellen, was aber formal aufwendig ist. Stattdessen soll er nach dem [[Schnittreaktion# | Ein Körper unserer Anschauung ist ein abgegrenzter mit Materie gefüllter Raumbereich. Es wurde mehrfach versucht, Körper als Ausschnitt des Universums darzustellen, was aber formal aufwendig ist. Stattdessen soll er nach dem [[Schnittreaktion #Schnittreaktionen im Raum|Schnittprinzip]] für lokale Analysen aus dem Universum herausgeschnitten werden, wobei die Schnittränder recht willkürlich gewählt werden dürfen. Auf diese Weise bekommt der Körper eine Oberfläche, die abschnittsweise glatt sein soll.<ref name="divergenz">A. Bertram, S. 67. Die Glattheit wird gebraucht, damit der [[Divergenzsatz]] gilt</ref> | ||
Der Körper darf innere Oberflächen also Löcher aufweisen, soll aber zwischen diesen Oberflächen zusammenhängend sein und den Raum gleichmäßig mit Materie füllen. Sind die Eigenschaften der Materie im Körper unter gleichen Bedingungen gleich, dann ist der Körper ''homogen'', ansonsten ''inhomogen''. | |||
Treten dazu unterschiedliche [[Phase (Materie)|Phase]]n auf, so spricht man von ''heterogenen'' Körpern. | |||
== Kontinuumshypothese == | == Kontinuumshypothese == | ||
Zur Erläuterung der Kontinuumshypothese soll der Körper makroskopisch aus nur einem Material bestehen. Der Körper wird unter Anwendung des Schnittprinzips in Teilkörper zerschnitten. Das Gesamtvolumen <math>V </math> teilt sich dann in die Teilvolumina <math>{v}_i> 0 </math> auf, derart, dass das Gesamtvolumen die Summe der Einzelvolumina ist <math>V=\sum_i v_i </math>. Jeder der Teilkörper hat eine Masse <math>{m}_i> 0 </math> und analog zum Volumen soll die Gesamtmasse <math>M </math> des Körpers die Summe der Massen der Teilkörper sein: <math>M=\sum_i m_i </math>. Jedem Teilkörper kann eine mittlere Dichte <math> | Zur Erläuterung der Kontinuumshypothese soll der Körper makroskopisch aus nur einem Material bestehen. Der Körper wird unter Anwendung des Schnittprinzips in Teilkörper zerschnitten. Das Gesamtvolumen <math>V</math> teilt sich dann in die Teilvolumina <math>{v}_i > 0</math> auf, derart, dass das Gesamtvolumen die Summe der Einzelvolumina ist | ||
:<math>V = \sum_i v_i</math>. | |||
Jeder der Teilkörper hat eine Masse <math>{m}_i > 0</math> und analog zum Volumen soll die Gesamtmasse <math>M</math> des Körpers die Summe der Massen der Teilkörper sein: | |||
: <math>M = \sum_i m_i </math>. | |||
Jedem Teilkörper kann eine mittlere Dichte | |||
:<math>\rho_i = \frac{m_i}{v_i} > 0</math> | |||
und weitere physikalische Eigenschaften, z. B. eine Temperatur, zugeordnet werden. Eine Annahme, die sich in vielen praktischen Problemen bewährt hat, ist die, dass sich die Eigenschaften von einem Volumen zum nächsten nur geringfügig ändern, sich also ein stetiger Verlauf der Eigenschaften, z. B. der Dichte, im Körper ergibt. Dies ist die ''Kontinuumshypothese.'' Man sagt auch, dass die Eigenschaften über den Körper [[verschmiert]] werden. Im Grenzwert <math>v_i \rightarrow 0 </math> geht die Summe über die Massen der Teilkörper in ein Volumenintegral über: | |||
:<math>M=\lim_{n \to \infty \atop v_i\to 0} \sum_{i=1}^n \rho_i v_i=\int_V \rho \,\mathrm d V</math>. | :<math>M = \lim_{n \to \infty \atop v_i\to 0} \sum_{i=1}^n \rho_i v_i=\int_V \rho \,\mathrm d V</math>. | ||
Die Berechenbarkeit dieses Integrals setzt voraus, dass auch die materiellen Punkte selbst gleichmäßig über den Raum verteilt sind, d. h. das Volumen eine kompakte Punktmenge ist. | Die Berechenbarkeit dieses Integrals setzt voraus, dass auch die materiellen Punkte selbst gleichmäßig über den Raum verteilt sind, d. h. das Volumen eine kompakte Punktmenge ist. | ||
== Definition der Konfiguration == | == Definition der Konfiguration == | ||
Sei ein [[Körper (Physik)|Körper]] <math>K </math> eine kompakte, stückweise glatt berandete Menge<ref name="divergenz" /> von Partikeln <math>P </math> und <math>\mathbb{R}^3 </math> ein [[Euklidischer Raum|euklidischer Vektorraum]]. Dann ist jede Abbildung <math>\kappa </math> | Sei ein [[Körper (Physik)|Körper]] <math>K </math> eine kompakte, stückweise glatt berandete Menge<ref name="divergenz" /> von Partikeln <math>P</math> und <math>\mathbb{R}^3</math> ein [[Euklidischer Raum|euklidischer Vektorraum]]. Dann ist jede Abbildung <math>\kappa </math> | ||
: <math>\begin{array}{llll}\kappa :& K& \rightarrow & V \subset \mathbb{R}^3\\ | :<math>\begin{array}{llll}\kappa :& K& \rightarrow & V \subset \mathbb{R}^3\\ | ||
& P& \mapsto & \vec{x}\end{array}</math> | |||
eine Konfiguration. | |||
Um physikalisch Sinn zu machen, muss diese Abbildung | |||
* [[Stetige Funktion|stetig]]<ref>H. Giesekus, S. 10</ref> sein, so dass vormals benachbarte Punkte benachbart bleiben, | |||
* [[Stetige Differenzierbarkeit|stetig differenzierbar]] sein<ref>A. Bertram, S. 70</ref>, so dass glatte Partien glatt bleiben, | |||
* ein-eindeutig [[Umkehrfunktion|umkehrbar]]<ref>H. Giesekus, S. 10, Gl. 2.1</ref> sein, so dass der Körper sich nicht selbst durchdringen kann und | |||
* die [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] erhalten, da [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]] materieller Körper in der Natur nicht möglich sind. | |||
Das [[Bezugssystem]] wird so gewählt, dass der Vektor <math>\vec{x}</math> dieselben Koordinaten hat wie der Partikel im Raum unserer Anschauung. | |||
Im Sprachgebrauch wird oftmals vereinfachend das Bild <math>\vec{x}</math> als Konfiguration und <math>V</math> als Volumen des Körpers bezeichnet. | |||
== Spezielle Konfigurationen == | == Spezielle Konfigurationen == | ||
=== Referenzkonfiguration === | === Referenzkonfiguration === | ||
Die Referenz- oder Bezugskonfiguration<ref>K. Willner, S. 56</ref> ist eine zeitlich fixierte Konfiguration, die der ''Namensgebung'' für die materiellen Punkte dient. Der Name eines materiellen Punktes <math>P </math> ist dann der Vektor <math>\vec{x} </math>. Die Referenzkonfiguration braucht vom materiellen Körper zu keinem Zeitpunkt eingenommen zu werden. Für einen beliebig geformten viereckigen Körper eignet sich z. B. das Einheitsquadrat als Referenzkonfiguration. | Die Referenz- oder Bezugskonfiguration<ref>K. Willner, S. 56</ref> ist eine zeitlich fixierte Konfiguration, die der ''Namensgebung'' für die materiellen Punkte dient. Der Name eines materiellen Punktes <math>P</math> ist dann der Vektor <math>\vec{x}</math>. Die Referenzkonfiguration braucht vom materiellen Körper zu keinem Zeitpunkt(!) eingenommen zu werden. | ||
Für einen beliebig geformten viereckigen Körper eignet sich z. B. das [[Einheitsquadrat]] als Referenzkonfiguration. | |||
=== Ausgangskonfiguration === | === Ausgangskonfiguration === | ||
Die Ausgangskonfiguration bezeichnet den Ausgangszustand des materiellen Körpers zu einem festgelegten Zeitpunkt <math> | Die Ausgangskonfiguration <math>\kappa (t_0)</math> bezeichnet den Ausgangszustand des materiellen Körpers zu einem festgelegten Zeitpunkt <math>t_0</math>. Weil dieser Zustand einmal eingenommen wurde, beschreibt diese Konfiguration ein Objekt unserer Anschauung. Im [[Maschinenbau]] wird dazu meist die [[Konstruieren (Technik)|Konstruktionslage]] verwendet; auf [[Umformen|Umform]]prozessen aufbauende Analysen können aber auch den umgeformten Zustand des Bauteils benutzen. | ||
Auch die Ausgangskonfiguration kann als Referenzkonfiguration dienen und wird dann auch als solche bezeichnet. | |||
=== Momentankonfiguration === | === Momentankonfiguration === | ||
Die Bewegung eines materiellen Körpers wird von einer stetigen Folge | Die Bewegung eines materiellen Körpers wird von einer stetigen Folge zeitabhängiger Konfigurationen <math>\kappa \left(t\right),t \ge t_0</math> beschrieben. Die zeitabhängige Konfiguration <math>\kappa \left(t\right)</math> wird Momentankonfiguration genannt. | ||
=== Zwischenkonfiguration === | === Zwischenkonfiguration === | ||
In der große Deformationen behandelnden Materialtheorie werden Zwischenkonfigurationen eingeführt, um auf ihnen Materialmodelle zu formulieren. Diese Zwischenkonfigurationen werden durch eine lokale Entlastung erreicht, was man sich so vorstellen kann, dass ein Volumenelement des Körpers freigeschnitten und entlastet wird, wodurch es aber seine Form ändert. Nach der Entlastung werden benachbarte Volumenelemente im euklidischen Raum nicht mehr zusammen passen. Man sagt auch, dass die Verzerrungen ''inkompatibel'' sind, was bedeutet, dass es kein Bewegungsfeld gibt, aus dem sich die Verzerrungen ableiten lassen. | In der große Deformationen behandelnden [[Materialtheorie]] werden Zwischenkonfigurationen eingeführt, um auf ihnen Materialmodelle zu formulieren. Diese Zwischenkonfigurationen werden durch eine lokale Entlastung erreicht, was man sich so vorstellen kann, dass ein Volumenelement des Körpers freigeschnitten und entlastet wird, wodurch es aber seine Form ändert. Nach der Entlastung werden benachbarte Volumenelemente im euklidischen Raum nicht mehr zusammen passen. Man sagt auch, dass die Verzerrungen ''inkompatibel'' sind, was bedeutet, dass es kein Bewegungsfeld gibt, aus dem sich die Verzerrungen ableiten lassen. | ||
== Repräsentatives-Volumen-Element == | == Repräsentatives-Volumen-Element == | ||
[[Datei:RVE Gfk.jpg|mini|Mögliche RVE bei faserverstärktem Kunststoff]] | [[Datei:RVE Gfk.jpg|mini|Mögliche RVE bei faserverstärktem Kunststoff]] | ||
Liegt ein inhomogenes Material, | Liegt ein inhomogenes Material vor, z. B. [[faserverstärkter Kunststoff]], so kann die beschriebene Homogenisierung schwierig sein. Schließlich will man ein inhomogenes Material mit homogen verteilten Eigenschaften modellieren, um es einer effizienten Analyse zugänglich zu machen. | ||
Der pragmatische Ansatz ist der, das kleinste Volumen zu wählen, das (vermutlich) bei einer Messung seiner Eigenschaften einen dem ganzen Körper vergleichbaren Wert liefert. Dieses kleinste Volumen nennt man repräsentatives Volumenelement (RVE), und man stellt sich vor, dass der ganze Körper aus Kopien dieses RVE aufgebaut ist. | |||
Für die Wahl des RVE gibt es oftmals verschiedene Möglichkeiten – wie das Bild zeigt, und welches die beste Wahl ist, misst sich daran, wie gut das Modell das [[makroskopisch]]e Materialverhalten widerspiegelt und ob dies mit vertretbarem Aufwand möglich ist. | |||
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
* [[Deformationsgradient]] | |||
*[[Deformationsgradient | * [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit]] | ||
*[[Differenzierbare Mannigfaltigkeit]] | |||
== Literatur == | == Literatur == | ||
| Zeile 55: | Zeile 75: | ||
* K. Willner: ''Kontinuums- und Kontaktmechanik: synthetische und analytische Darstellung.'' Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43529-8, [http://books.google.de/books?isbn=3540435298 ''books.google.de/books?isbn=3540435298''] | * K. Willner: ''Kontinuums- und Kontaktmechanik: synthetische und analytische Darstellung.'' Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43529-8, [http://books.google.de/books?isbn=3540435298 ''books.google.de/books?isbn=3540435298''] | ||
* H. Altenbach: ''Kontinuumsmechanik: Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen''. 2. Aufl., Springer Vieweg, Berlin 2012, ISBN 978-3-642-24118-5 | * H. Altenbach: ''Kontinuumsmechanik: Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen''. 2. Aufl., Springer Vieweg, Berlin 2012, ISBN 978-3-642-24118-5 | ||
* H. Bertram: ''Axiomatische Einführung in die Kontinuumsmechanik.'' Wissenschaftsverlag, 1989, ISBN 3-411-14031-3. | * H. Bertram: ''Axiomatische Einführung in die Kontinuumsmechanik.'' Bibliographisches Institut Wissenschaftsverlag, Mannheim 1989, ISBN 3-411-14031-3. | ||
* P. Haupt: ''Continuum Mechanics and Theory of Materials''. 2. Aufl., Springer, Berlin 2002, ISBN 978-3-540-43111-4 | * P. Haupt: ''Continuum Mechanics and Theory of Materials''. 2. Aufl., Springer, Berlin 2002, ISBN 978-3-540-43111-4 | ||
Aktuelle Version vom 15. Juli 2021, 09:51 Uhr
In der Kontinuumsmechanik ist eine Konfiguration die Abbildung eines Körpers aus dem euklidischen Raum unserer Anschauung in einen abstrakten euklidischen Vektorraum. Auf diese Weise wird der physikalische Körper einer mathematischen Beschreibung zugänglich. Er ist die Grundlage für die Kinematik, die Formulierung von Naturgesetzen und Stoffgesetzen.
Die Konfiguration darf nicht mit dem Körper noch mit seiner Bewegung oder Deformation verwechselt werden; sie soll diese nur zu jeder Zeit getreu abbilden. Ihre Definition beinhaltet jedoch bereits die Kontinuumshypothese (s. u.), der zufolge die Eigenschaften eines realen Körpers kontinuierlich über den Raum verteilt sind.
Körper
Ein Körper unserer Anschauung ist ein abgegrenzter mit Materie gefüllter Raumbereich. Es wurde mehrfach versucht, Körper als Ausschnitt des Universums darzustellen, was aber formal aufwendig ist. Stattdessen soll er nach dem Schnittprinzip für lokale Analysen aus dem Universum herausgeschnitten werden, wobei die Schnittränder recht willkürlich gewählt werden dürfen. Auf diese Weise bekommt der Körper eine Oberfläche, die abschnittsweise glatt sein soll.[1]
Der Körper darf innere Oberflächen also Löcher aufweisen, soll aber zwischen diesen Oberflächen zusammenhängend sein und den Raum gleichmäßig mit Materie füllen. Sind die Eigenschaften der Materie im Körper unter gleichen Bedingungen gleich, dann ist der Körper homogen, ansonsten inhomogen.
Treten dazu unterschiedliche Phasen auf, so spricht man von heterogenen Körpern.
Kontinuumshypothese
Zur Erläuterung der Kontinuumshypothese soll der Körper makroskopisch aus nur einem Material bestehen. Der Körper wird unter Anwendung des Schnittprinzips in Teilkörper zerschnitten. Das Gesamtvolumen $ V $ teilt sich dann in die Teilvolumina $ {v}_{i}>0 $ auf, derart, dass das Gesamtvolumen die Summe der Einzelvolumina ist
- $ V=\sum _{i}v_{i} $.
Jeder der Teilkörper hat eine Masse $ {m}_{i}>0 $ und analog zum Volumen soll die Gesamtmasse $ M $ des Körpers die Summe der Massen der Teilkörper sein:
- $ M=\sum _{i}m_{i} $.
Jedem Teilkörper kann eine mittlere Dichte
- $ \rho _{i}={\frac {m_{i}}{v_{i}}}>0 $
und weitere physikalische Eigenschaften, z. B. eine Temperatur, zugeordnet werden. Eine Annahme, die sich in vielen praktischen Problemen bewährt hat, ist die, dass sich die Eigenschaften von einem Volumen zum nächsten nur geringfügig ändern, sich also ein stetiger Verlauf der Eigenschaften, z. B. der Dichte, im Körper ergibt. Dies ist die Kontinuumshypothese. Man sagt auch, dass die Eigenschaften über den Körper verschmiert werden. Im Grenzwert $ v_{i}\rightarrow 0 $ geht die Summe über die Massen der Teilkörper in ein Volumenintegral über:
- $ M=\lim _{n\to \infty \atop v_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}v_{i}=\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V $.
Die Berechenbarkeit dieses Integrals setzt voraus, dass auch die materiellen Punkte selbst gleichmäßig über den Raum verteilt sind, d. h. das Volumen eine kompakte Punktmenge ist.
Definition der Konfiguration
Sei ein Körper $ K $ eine kompakte, stückweise glatt berandete Menge[1] von Partikeln $ P $ und $ \mathbb {R} ^{3} $ ein euklidischer Vektorraum. Dann ist jede Abbildung $ \kappa $
- $ {\begin{array}{llll}\kappa :&K&\rightarrow &V\subset \mathbb {R} ^{3}\\&P&\mapsto &{\vec {x}}\end{array}} $
eine Konfiguration.
Um physikalisch Sinn zu machen, muss diese Abbildung
- stetig[2] sein, so dass vormals benachbarte Punkte benachbart bleiben,
- stetig differenzierbar sein[3], so dass glatte Partien glatt bleiben,
- ein-eindeutig umkehrbar[4] sein, so dass der Körper sich nicht selbst durchdringen kann und
- die Orientierung erhalten, da Spiegelungen materieller Körper in der Natur nicht möglich sind.
Das Bezugssystem wird so gewählt, dass der Vektor $ {\vec {x}} $ dieselben Koordinaten hat wie der Partikel im Raum unserer Anschauung.
Im Sprachgebrauch wird oftmals vereinfachend das Bild $ {\vec {x}} $ als Konfiguration und $ V $ als Volumen des Körpers bezeichnet.
Spezielle Konfigurationen
Referenzkonfiguration
Die Referenz- oder Bezugskonfiguration[5] ist eine zeitlich fixierte Konfiguration, die der Namensgebung für die materiellen Punkte dient. Der Name eines materiellen Punktes $ P $ ist dann der Vektor $ {\vec {x}} $. Die Referenzkonfiguration braucht vom materiellen Körper zu keinem Zeitpunkt(!) eingenommen zu werden.
Für einen beliebig geformten viereckigen Körper eignet sich z. B. das Einheitsquadrat als Referenzkonfiguration.
Ausgangskonfiguration
Die Ausgangskonfiguration $ \kappa (t_{0}) $ bezeichnet den Ausgangszustand des materiellen Körpers zu einem festgelegten Zeitpunkt $ t_{0} $. Weil dieser Zustand einmal eingenommen wurde, beschreibt diese Konfiguration ein Objekt unserer Anschauung. Im Maschinenbau wird dazu meist die Konstruktionslage verwendet; auf Umformprozessen aufbauende Analysen können aber auch den umgeformten Zustand des Bauteils benutzen.
Auch die Ausgangskonfiguration kann als Referenzkonfiguration dienen und wird dann auch als solche bezeichnet.
Momentankonfiguration
Die Bewegung eines materiellen Körpers wird von einer stetigen Folge zeitabhängiger Konfigurationen $ \kappa \left(t\right),t\geq t_{0} $ beschrieben. Die zeitabhängige Konfiguration $ \kappa \left(t\right) $ wird Momentankonfiguration genannt.
Zwischenkonfiguration
In der große Deformationen behandelnden Materialtheorie werden Zwischenkonfigurationen eingeführt, um auf ihnen Materialmodelle zu formulieren. Diese Zwischenkonfigurationen werden durch eine lokale Entlastung erreicht, was man sich so vorstellen kann, dass ein Volumenelement des Körpers freigeschnitten und entlastet wird, wodurch es aber seine Form ändert. Nach der Entlastung werden benachbarte Volumenelemente im euklidischen Raum nicht mehr zusammen passen. Man sagt auch, dass die Verzerrungen inkompatibel sind, was bedeutet, dass es kein Bewegungsfeld gibt, aus dem sich die Verzerrungen ableiten lassen.
Repräsentatives-Volumen-Element
Liegt ein inhomogenes Material vor, z. B. faserverstärkter Kunststoff, so kann die beschriebene Homogenisierung schwierig sein. Schließlich will man ein inhomogenes Material mit homogen verteilten Eigenschaften modellieren, um es einer effizienten Analyse zugänglich zu machen.
Der pragmatische Ansatz ist der, das kleinste Volumen zu wählen, das (vermutlich) bei einer Messung seiner Eigenschaften einen dem ganzen Körper vergleichbaren Wert liefert. Dieses kleinste Volumen nennt man repräsentatives Volumenelement (RVE), und man stellt sich vor, dass der ganze Körper aus Kopien dieses RVE aufgebaut ist.
Für die Wahl des RVE gibt es oftmals verschiedene Möglichkeiten – wie das Bild zeigt, und welches die beste Wahl ist, misst sich daran, wie gut das Modell das makroskopische Materialverhalten widerspiegelt und ob dies mit vertretbarem Aufwand möglich ist.
Siehe auch
- Deformationsgradient
- Differenzierbare Mannigfaltigkeit
Literatur
- H. Giesekus: Phänomenologische Rheologie: eine Einführung. Springer, Berlin 1994, ISBN 3-540-57513-8, books.google.de/books?isbn=3540575138
- K. Willner: Kontinuums- und Kontaktmechanik: synthetische und analytische Darstellung. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43529-8, books.google.de/books?isbn=3540435298
- H. Altenbach: Kontinuumsmechanik: Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. 2. Aufl., Springer Vieweg, Berlin 2012, ISBN 978-3-642-24118-5
- H. Bertram: Axiomatische Einführung in die Kontinuumsmechanik. Bibliographisches Institut Wissenschaftsverlag, Mannheim 1989, ISBN 3-411-14031-3.
- P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. 2. Aufl., Springer, Berlin 2002, ISBN 978-3-540-43111-4