Lorentz-Gruppe: Unterschied zwischen den Versionen

Die Lorentz-Gruppe ist in der Physik (und in der Mathematik) die Gruppe aller Lorentz-Transformationen der Minkowski-Raumzeit. Die Lorentz-Gruppe wurde nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Lorentz benannt.

Die Lorentz-Gruppe drückt die fundamentale Symmetrie (oder: die Automorphismen) vieler bekannter Naturgesetze dadurch aus, dass sie diese invariant lässt: so insbesondere die Bewegungsgleichungen der speziellen Relativitätstheorie, die Maxwellschen Feldgleichungen der Theorie des Elektromagnetismus, und die Dirac-Gleichung der Theorie des Elektrons.

Definition

Die Lorentz-Gruppe ist die lineare Invarianzgruppe des Minkowskiraumes $ \mathbb {R} ^{3+1} $, der ein vierdimensionaler Vektorraum mit einem Pseudo-Skalarprodukt ist. Die Lorentz-Gruppe ist die Menge aller linearen Automorphismen des Minkowskiraumes, die das Pseudo-Skalarprodukt erhalten.

Sie ähnelt damit in ihrer Definition der Gruppe der Drehspiegelungen O(3) im dreidimensionalen Raum, die aus den linearen Automorphismen des R³ besteht, die das Standardskalarprodukt erhalten und damit Längen und Winkel.

Der wesentliche Unterschied besteht jedoch darin, dass die Lorentz-Gruppe nicht die Längen und Winkel im dreidimensionalen Raum erhält, sondern die bezüglich des indefiniten Pseudo-Skalarprodukts im Minkowskiraum definierten Längen und Winkel. Insbesondere erhält sie Eigenzeitabstände in der speziellen Relativitätstheorie.

Formal können wir daher definieren (definierende Darstellung):

$ O(3,1)=\left\{\Lambda \in {\mathcal {M}}(4,\mathbb {R} ):\langle \Lambda \cdot \mathbf {x} ,\Lambda \cdot \mathbf {y} \rangle _{M}=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle _{M}\quad \forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{4}\right\}, $

wobei $ {\mathcal {M}}(4,\mathbb {R} ) $ die reellen 4×4 Matrizen und $ \textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle _{M}=-x_{0}y_{0}+\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i} $ das Pseudo-Skalarprodukt (entsprechend der (−,+,+,+)-Konvention) bezeichnet.

Eigenschaften

Die Lorentz-Gruppe O(3,1) ist eine 6-dimensionale Lie-Gruppe. Sie ist nicht kompakt.

Die räumlichen Drehspiegelungen bilden als die Fixpunktgruppen zeitartiger Vektoren eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe. Solche Untergruppen sind nicht normal, die Untergruppen zu verschiedenen Fixpunkten (das entspricht verschiedenen Inertialsystemen) sind zueinander konjugiert.

Die Lorentz-Gruppe besteht aus vier Zusammenhangskomponenten. Elemente derselben Zusammenhangskomponente gehen durch Anwendung von infinitesimalen Transformationen auseinander hervor. Im Gegensatz dazu stehen die diskreten Transformationen, die Elemente verschiedener Zusammenhangskomponenten miteinander verbinden: Spiegelungen, Raumspiegelungen, Zeitspiegelungen und Raum-Zeit-Spiegelungen. Die Untergruppe SO(3,1) der Elemente mit Determinante 1 heißt eigentliche Lorentz-Gruppe und enthält zwei der vier Zusammenhangskomponenten. Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist die Zusammenhangskomponente, die die Identität enthält.

Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist nicht einfach zusammenhängend, d. h. nicht jede geschlossene Kurve kann stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden. Die universelle einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe ist die komplexe spezielle lineare Gruppe SL(2,C) (diese Gruppe findet Anwendung in der Physik bei der Theorie der projektiven Darstellungen der O(3,1) in Quantentheorien).

Zerlegung

Jedes Element $ \Lambda $ der eigentlich orthochronen Lorentz-Gruppe lässt sich (auf eindeutige Weise) als Hintereinanderausführung einer räumlichen Rotation und einer speziellen Lorentz-Transformation (= Boost in Richtung $ {\vec {v}} $) schreiben:

$ \Lambda =L({\vec {v}}){\mathcal {R}}\quad {\text{mit}}\quad {\mathcal {R}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&R\end{pmatrix}}\,,\quad R\in SO(3) $

Dabei sind $ L({\vec {v}}) $ und $ {\mathcal {R}} $ wieder Elemente der eigentlich orthochronen Lorentz-Gruppe und konkret gegeben durch

$ v_{i}={\frac {\Lambda _{i0}}{\Lambda _{00}}}\qquad (i=1..3)\qquad $        und

$ R_{ij}=\Lambda _{ij}-{\frac {1}{1+\Lambda _{00}}}\Lambda _{i0}\Lambda _{0j}\,{\text{.}} $

Die Reihenfolge der Operationen lässt sich umkehren:

$ \Lambda ={\mathcal {R}}L(\mathbf {w} ) $

Dabei ist $ {\mathcal {R}} $ dieselbe Drehmatrix wie oben und

$ w_{i}={\frac {\Lambda _{0i}}{\Lambda _{00}}}\quad {\text{d.h.}}\quad \mathbf {w} =R^{-1}{\vec {v}}\,{\text{.}} $

Weiterhin kann man sich durch Hinzunahme einer weiteren Rotation auf eine spezielle Lorentz-Transformation in $ x $-Richtung beschränken:

$ \Lambda ={\mathcal {R}}_{1}L(v\mathbf {e} _{1}){\mathcal {R}}_{2} $

Lie-Algebra

Die sechsdimensionale Lie-Algebra der O(3,1) wird in der definierenden Darstellung durch die drei infinitesimalen Erzeuger der räumlichen Rotationen J_i und durch die drei infinitesimalen Erzeuger der Lorentz-Boosts K_i aufgespannt. Diese Lie-Algebra ist isomorph zur Lie-Algebra sl(2,C):

$ [J_{i},J_{j}]=\epsilon _{ijk}J_{k} $

$ [K_{i},K_{j}]=-\epsilon _{ijk}J_{k} $

$ [J_{i},K_{j}]=\epsilon _{ijk}K_{k} $

wobei die Erzeuger J_i der Rotationen eine Lie-Unteralgebra bilden, nämlich die so(3).

Beispiele

Siehe auch

• Lorentz-Transformation
• Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe