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| {{Überarbeiten}}
| | #WEITERLEITUNG [[Lorentz-Oszillator]] |
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| Das klassische Modell des '''Lorentzoszillators''' (nach [[Hendrik Antoon Lorentz]]) beschreibt ein an den [[Atomrumpf]] gebundenes [[Elektron]], welches durch ein [[elektrisches Feld]] zu [[Harmonische Schwingung|harmonischen Oszillationen]] angeregt wird. Es ist eine Erweiterung des [[Drudemodell]]s.
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| Das Modell wird verwendet, um die frequenzabhängige [[Polarisation (Elektrizität)|elektrische Polarisation]] eines [[Festkörper]]s und damit seine [[dielektrische Funktion]] mathematisch zu beschreiben. Letztere beschreibt die Frequenzabhängigkeit ([[Dispersion (Physik)|Dispersion]])
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| :<math>\varepsilon = f(\omega)</math>
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| der Permittivität <math>\textstyle \varepsilon</math> und die damit zusammenhängenden [[Resonanz (Physik)|Resonanzen]], sie ist von großer Bedeutung für die [[optisch]]en Eigenschaften eines Stoffes.
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| == Mathematische Modellierung ==
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| === Grundlagen ===
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| [[Datei:Atom-spring.svg|mini|Elektronen sind analog zu verschieden starken Federn ([[Anisotropie]]) an den Atomkern gebunden]]
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| Die Dynamik von Elektronen, [[Ion]]en oder permanenten [[Dipol]]en in einem Festkörper kann vereinfacht durch einen [[Dämpfung|gedämpften]] [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillator]] beschrieben werden. Die folgende [[Bewegungsgleichung]] sei [[ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] für Elektronen aufgestellt. Für Ionen und permanente Dipole lassen sich analoge Gleichungen aufstellen. Modellhaft kann man sich vorstellen, die Elektronen in der Atomhülle seien im Lorentzmodell mit Federn am Atomkern befestigt. Haben die Federn aller Elektronen die gleiche Federkonstante entspräche das einem [[Isotropie|isotropen]] Medium. Als periodische Antriebskraft geht die Wechselwirkung mit einem [[monochromatisch]]en [[elektromagnetisch]]en [[Wechselfeld]], z. B. Licht, [[Radiowellen|Radio-]] oder [[Mikrowellen]], ein:
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| :<math>m \frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm dt^2} + m \beta \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + m \omega_0^2 x \; = \; -\mathrm{e} E^0_\mathrm{lokal}e^{-\mathrm i \omega t}</math>
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| wobei
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| * <math>m</math>: [[Masse (Physik)|Masse]] des Elektrons
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| * <math>x</math>: [[Auslenkung]] des Elektrons
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| * <math>t</math>: Zeit
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| * <math>\beta</math>: [[Dämpfung]]
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| * <math>\omega</math>: [[Kreisfrequenz]] des treibenden Feldes
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| * <math>\omega_0</math>: [[Eigenfrequenz]] des ungedämpften harmonischen Oszillators
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| * <math>\mathrm{e}</math>: [[Elementarladung]]
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| * <math>E^0_\mathrm{lokal}</math>: lokale [[Amplitude]] des treibenden elektrischen Wechselfeldes
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| Die stationäre Lösung dieser Bewegungsgleichung lautet:
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| :<math>
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| x(t) \; = \; -\frac{\mathrm{e}}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm i \beta \omega}E^0_\mathrm{lokal}e^{-\mathrm i \omega t}.
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| </math>
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| === Dielektrische Funktion ===
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| [[Datei:dielektr-funktion.png|mini|Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz des treibenden Feldes]]
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| [[Datei:Komplexe dielektrische Funktion von Silicium 300 K.svg|mini|Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion im visuellen Bereich für einen [[Halbleiter]] ([[Silicium]]) mit [[Bandstruktur|Bandübergängen]] in diesem Bereich; im Gegensatz zum oberen Bild ist hier als horiz. Achse die Wellenlänge <math>\lambda = 2 \pi \frac{c}{\omega}</math> aufgetragen]]
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| Mittels des Zusammenhangs zwischen [[Permittivität|dielektrischer Funktion]] <math>\varepsilon(\omega)</math> und der [[Polarisierbarkeit]] <math>\alpha(\omega)</math>:
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| :<math>\begin{align}
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| \varepsilon & = 1 + \frac{N_v}{\varepsilon_0 / \alpha(\omega) - N_v/3}\\
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| & = 1 + \frac{N_v}{\frac{\varepsilon_0 E^0_\mathrm{lokal} \cdot e^{-\mathrm i \omega t}}{\mathrm{e} x(t)} - N_v/3}
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| \end{align}</math>
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| erhält man:
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| {| class="wikitable"
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| |-
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| | <math> \varepsilon(\omega) = 1 + \frac{N_v \mathrm{e}^2}{\varepsilon_0 m} \cdot \frac{1}{\omega_1^2 - \omega^2 - \mathrm i \beta \omega} </math>
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| |}
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| mit
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| * <math>N_v</math>: Gitteratome pro Volumeneinheit ([[Teilchendichte]])
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| * <math>i</math>: [[imaginäre Einheit]]
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| * <math>\omega_1^2 \;=\; \omega_0^2-\frac{1}{3} N_v \frac{\mathrm{e}^2}{\varepsilon_0 m}</math>: verschobene Resonanzfrequenz.
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| Die dielektrische Funktion lässt sich wie folgt in [[Realteil]] <math>\varepsilon'</math> und [[Imaginärteil]] <math>\varepsilon''</math> trennen:
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| {| class="wikitable"
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| |-
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| | <math> \varepsilon(\omega) \equiv \varepsilon'(\omega) + \mathrm i \varepsilon''(\omega)</math>
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| | |
| mit <math>
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| \varepsilon'(\omega) \;=\; 1+ \frac{N_v \mathrm{e}^2}{\varepsilon_0 m} \frac{\omega_1^2 - \omega^2}{(\omega_1^2 - \omega^2)^2 + \beta^2 \omega^2}
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| </math>
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| | |
| :<math>
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| \varepsilon''(\omega) \;=\; \frac{N_v \mathrm{e}^2}{\varepsilon_0 m} \frac{\beta \omega}{(\omega_1^2 - \omega^2)^2 + \beta^2 \omega^2}
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| </math>
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| |}
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| == Bemerkungen ==
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| * Die Frequenzabhängigkeit der dielektrischen Funktion, des [[Brechungsindex]] sowie des [[Absorptionskoeffizient]]en werden im Wesentlichen korrekt wiedergegeben.
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| * Reale Materialien weisen stets mehr als nur eine [[Resonanzfrequenz]] auf, da mehrere elektronische Übergänge existieren; jeder von ihnen liefert gemäß seiner [[Oszillatorstärke]] einen Beitrag zur elektronischen Polarisierbarkeit
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| * Bei Festkörpern spielt die Aufspaltung in Energiebänder ([[Bandstruktur]]) eine wichtige Rolle bezüglich der möglichen Übergänge.
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| == Siehe auch ==
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| * [[Dielektrikum]]
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| * [[Drudemodell]]
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| * [[Oszillatormodell]]
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| == Literatur ==
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| * K. Kopitzki: ''Einführung in die Festkörperphysik'', Teubner Studienbücher 1993, ISBN 3-519-23083-6
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| [[Kategorie:Elektrodynamik]]
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| [[Kategorie:Festkörperphysik]]
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