imported>Horst Gräbner |
imported>Blaues-Monsterle |
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| Das '''Oszillatormodell''' ist ein Modell zur Beschreibung der [[Streuung (Physik)|Streuung]] von [[Licht]] an [[Atom]]en.
| | #WEITERLEITUNG [[Lorentz-Oszillator]] |
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| Dazu geht man von einem externen [[Harmonische_Schwingung|harmonischen]] [[elektrisches Feld|elektrischen Feld]] aus:
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| ::<math>\vec E(t) = \vec E_0 \cdot e^{-i\omega t}</math>
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| Auf ein [[Elektron]] im Atom wirkt dann die [[Kraft]]
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| ::<math>\begin{align}
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| \vec F & = q \cdot \vec E(t)\\
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| & = -e \cdot \vec E(t)
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| \end{align}</math>
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| mit der [[Elementarladung]] <math>e</math>.
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| Als [[Bewegungsgleichung]] setzt man die eines gedämpften [[harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] an:
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| :<math>m_e \cdot \ddot{\vec{r}} + m_e \cdot \Gamma \cdot \dot{\vec{r}} + m_e \cdot \omega_0^2 \cdot \vec r = -e \cdot \vec E(t)</math>
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| mit
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| * der Masse <math>m_e</math> des Elektrons
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| * der [[Dämpfung]] <math>\Gamma</math> (Atom[[Stoß (Physik)|stöße]], Strahlungsverluste etc.)
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| * der [[Eigenfrequenz]] <math>\omega_0</math>.
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| Nach einiger Zeit sind die [[Einschwingvorgang|Einschwingprozesse]] abgeklungen und die Elektronen schwingen mit der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> des erregenden externen Feldes. Für diese inhomogene Lösung machen wir den Ansatz:
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| ::<math>\vec r_\mathrm{inhom}(t) = \vec a \cdot e^{-i\omega t}</math>
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| mit der (konstanten) [[Komplexe Zahl|komplexen]] [[Amplitude]] <math>\vec a</math>.
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| Setzt man dies in die Bewegungsgleichung ein, so erhält man für das atomare [[Elektrisches Dipolmoment|Dipolmoment]]:
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| :<math>\begin{align}
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| \vec p(t) & = \alpha_e(\omega) \cdot \vec E(t)\\
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| & = \frac{e^2/m_e}{\omega_0^2 - \omega^2 - i \, \Gamma \, \omega} \cdot \vec E(t)
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| \end{align}</math>
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| mit der elektrischen [[Polarisierbarkeit]] <math>\alpha_e</math>.
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| == Wirkungsquerschnitte ==
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| Aus diesen Überlegungen erhält man den [[differentieller Wirkungsquerschnitt|differentiellen Wirkungsquerschnitt]] für die Streuung von Licht:
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| :<math>\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left( \frac{e^2}{m_e \, c^2} \right)^2 \cdot \frac{\omega^4}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2\omega^2} \cdot \sin^2\theta</math>
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| Hierbei ist <math>\theta</math> der Winkel zwischen Dipolmoment und Beobachtungspunkt. Dies hat die Form einer [[Resonanz (Physik)|Resonanzkurve]].
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| Daraus ergibt sich der [[totaler Wirkungsquerschnitt|totale Wirkungsquerschnitt]] zu:
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| :<math>\sigma(\omega) = \frac{8 \pi}{3} \cdot \left( \frac{e^2}{m_e \, c^2} \right)^2 \cdot \frac{\omega^4}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2\omega^2}</math>
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| Daraus ergeben sich folgende Grenzfälle:
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| * <math>\omega \gg \omega_0</math>: [[Thomson-Streuung]]
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| * <math>\omega = \omega_0</math>: [[Resonanzfluoreszenz]]
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| * <math>\omega \ll \omega_0</math>: [[Rayleigh-Streuung]].
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| == Siehe auch ==
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| * [[Lorentz-Oszillator]]
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| [[Kategorie:Optik]]
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