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'''Reaktionsdiffusionsgleichungen''' (RD-Gleichungen) beschreiben Vorgänge, bei denen eine lokale Wechselwirkung und zusätzlich eine [[Diffusion]] auftritt. Ein Beispiel aus der Chemie sind etwa Modelle für die [[Belousov-Zhabotinsky-Reaktion]] (BZ-Reaktion), bei der räumliche Muster entstehen, weil eine lokal [[Oszillierende Reaktion|oszillierende chemische Reaktion]] mit einem Diffusionsvorgang gekoppelt ist. Ein Beispiel aus der Biologie sind räumliche Ausbreitungsprozesse von Tieren und Pflanzen. Hierbei hat der Interaktionsterm oft die Form einer logistischen [[Kolmogorov-Gleichung]]. | '''Reaktionsdiffusionsgleichungen''' (RD-Gleichungen) beschreiben Vorgänge, bei denen eine lokale Wechselwirkung und zusätzlich eine [[Diffusion]] auftritt. Ein Beispiel aus der Chemie sind etwa Modelle für die [[Belousov-Zhabotinsky-Reaktion]] (BZ-Reaktion), bei der räumliche Muster entstehen, weil eine lokal [[Oszillierende Reaktion|oszillierende chemische Reaktion]] mit einem Diffusionsvorgang gekoppelt ist. Ein Beispiel aus der Biologie sind räumliche Ausbreitungsprozesse von Tieren und Pflanzen. Hierbei hat der Interaktionsterm oft die Form einer logistischen [[Kolmogorov-Gleichung]]. | ||
Bei RD-Gleichungen handelt es sich um [[partielle Differentialgleichung]]en zweiten Grades, die der Form nach [[Ratengleichung]]en sind. Sie beschreiben also die zeitliche Änderung einer Größe X (z. B. [[Stoffmenge]], [[Abundanz (Ökologie)|Abundanz]], [[Konzentration (Chemie)|Konzentration]] o. Ä.): | Bei RD-Gleichungen handelt es sich um [[partielle Differentialgleichung]]en zweiten Grades, die der Form nach [[Ratengleichung]]en sind (Herleitung siehe dort). Sie beschreiben also die zeitliche Änderung einer Größe X (z. B. [[Stoffmenge]], [[Abundanz (Ökologie)|Abundanz]], [[Konzentration (Chemie)|Konzentration]] o. Ä.): | ||
:<math>\frac{\partial}{\partial t}u = f(u) + D \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2}u </math>. | :<math>\frac{\partial}{\partial t}u = f(u) + D \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2}u </math>. | ||
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* Die Funktionen <math>u</math> der Zeit <math>t</math> und des Ortes <math>x</math> bilden die Größen ab, deren Dynamik beschrieben wird. Dabei können mehrere Stoffe, die miteinander wechselwirken, berücksichtigt werden, indem man <math>u</math> eine Vektorform gibt und die Gleichung als Matrix-Gleichung auffasst. | * Die Funktionen <math>u</math> der Zeit <math>t</math> und des Ortes <math>x</math> bilden die Größen ab, deren Dynamik beschrieben wird. Dabei können mehrere Stoffe, die miteinander wechselwirken, berücksichtigt werden, indem man <math>u</math> eine Vektorform gibt und die Gleichung als Matrix-Gleichung auffasst. | ||
* Die Funktion <math>f(u)</math> beschreibt den Reaktionsanteil. Ohne den Reaktionsanteil hätte die RD-Gleichung die Form der [[Wärmeleitungsgleichung]]. | * Die Funktion <math>f(u)</math> beschreibt den Reaktionsanteil. Ohne den Reaktionsanteil hätte die RD-Gleichung die Form der [[Wärmeleitungsgleichung]]. | ||
* Der Term <math>D \cdot \tfrac{\partial^2}{\partial x^2}u</math> stammt aus dem [[Diffusion # | * Der Term <math>D \cdot \tfrac{\partial^2}{\partial x^2}u</math> stammt aus dem [[Diffusion #Zweites Fick’sches Gesetz (Diffusionsgleichung)|2. Fickschen Gesetz]] und beschreibt die Diffusion. | ||
** <math>D</math> ist der [[Diffusionskoeffizient]]. | ** <math>D</math> ist der [[Diffusionskoeffizient]]. | ||
Liegt außerdem ein gerichteter Transportprozess vor ([[Konvektion]]), so muss die obige Reaktions-Diffusionsgleichung um einen Konvektionsterm erweitert werden, analog zur [[Konvektions-Diffusions-Gleichung]]. | Liegt außerdem ein gerichteter Transportprozess vor ([[Konvektion]]), so muss die obige Reaktions-Diffusionsgleichung um einen Konvektionsterm erweitert werden, analog zur [[Konvektions-Diffusions-Gleichung]]. | ||
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In der [[Entwicklungsbiologie]] spielen Reaktionsdiffusionsgleichungen seit [[Alan Turing]] eine überragende Rolle bei der mathematischen Theorie der [[Morphogenese]], siehe [[Turing-Mechanismus]]. Systeme mit einer aktivierenden und zwei inhibierenden Komponenten spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung der [[Strukturbildung]]sprozesse [[Lokalisierung (Physik)|lokalisierter]] teilchenartiger Strukturen, sogenannter [[Dissipative Struktur|dissipativer]] [[Soliton]]en, die z. B. bei oszillierenden chemischen Reaktionen vom Typ der [[Belousov-Zhabotinsky-Reaktion]] und [[Halbleiter]]-[[Gasentladung]]ssystemen beobachtet werden. Auch [[Chemische Welle]]n und Ausbreitung von Nervenpulsen werden mit Reaktions-Diffusions-Gleichungen beschrieben. | In der [[Entwicklungsbiologie]] spielen Reaktionsdiffusionsgleichungen seit [[Alan Turing]] eine überragende Rolle bei der mathematischen Theorie der [[Morphogenese]], siehe [[Turing-Mechanismus]]. Systeme mit einer aktivierenden und zwei inhibierenden Komponenten spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung der [[Strukturbildung]]sprozesse [[Lokalisierung (Physik)|lokalisierter]] teilchenartiger Strukturen, sogenannter [[Dissipative Struktur|dissipativer]] [[Soliton]]en, die z. B. bei oszillierenden chemischen Reaktionen vom Typ der [[Belousov-Zhabotinsky-Reaktion]] und [[Halbleiter]]-[[Gasentladung]]ssystemen beobachtet werden. Auch [[Chemische Welle]]n und Ausbreitung von Nervenpulsen werden mit Reaktions-Diffusions-Gleichungen beschrieben. | ||
Je nach der Form des Reaktionsanteils werden Spezialversionen der RD-Gleichungen unterschieden:<ref> B. H. Gilding u.a. (Hrsg.), Travelling waves in nonlinear diffusion-convection equation reaction, Birkhäuser 2004, S. 2</ref> | == Spezielle Fälle == | ||
*<math>f(u)= u \cdot (1-u)</math> die Fisher-Gleichung, sie findet Anwendung in der Populationsdynamik (ohne den Diffusionsterm wäre es die Differentialgleichung für die [[Logistische Funktion]]). Eine etwas allgemeinere Variante ist die [[KPP-Gleichung]] bei der <math>f(1)=f(0)=0</math>, <math>f(u') >0</math> und <math>\frac {df}{du} (u') < \frac {df}{du} (0)</math> für <math>0< u' <1</math>. Die Fisher Gleichung und die Newell-Whitehead-Gleichung sind Spezialfälle der KPP-Gleichung. | Je nach der Form des Reaktionsanteils werden Spezialversionen der RD-Gleichungen unterschieden:<ref> B. H. Gilding u. a. (Hrsg.), Travelling waves in nonlinear diffusion-convection equation reaction, Birkhäuser 2004, S. 2</ref> | ||
*<math>f(u)= u^2 \cdot (1-u) </math>, [[Seldowitschgleichung]] (Zeldovich-Gleichung) zum Beispiel bei Verbrennungsvorgängen. | * <math>f(u)= u \cdot (1-u)</math> die Fisher-Gleichung, sie findet Anwendung in der Populationsdynamik (ohne den Diffusionsterm wäre es die Differentialgleichung für die [[Logistische Funktion]]). Eine etwas allgemeinere Variante ist die [[KPP-Gleichung]] bei der <math>f(1)=f(0)=0</math>, <math>f(u') >0</math> und <math>\frac {df}{du} (u') < \frac {df}{du} (0)</math> für <math>0< u' <1</math>. Die Fisher-Gleichung und die Newell-Whitehead-Gleichung sind Spezialfälle der KPP-Gleichung. | ||
*<math>f(u)= u (1-u^2)</math> Newell-Whitehead-Gleichung oder Amplituden-Gleichung, angewandt bei der [[Rayleigh-Bénard-Konvektion]]. | * <math>f(u)= u^2 \cdot (1-u) </math>, [[Seldowitschgleichung]] (Zeldovich-Gleichung) zum Beispiel bei Verbrennungsvorgängen. | ||
*<math>f(u)= u \cdot (1-u) \cdot (u-\alpha)</math> (mit einem Parameter <math>0<\alpha <1</math>) Nagumo-Gleichung für Ausbreitung von Nervenpulsen in einem Axon | * <math>f(u)= u (1-u^2)</math> Newell-Whitehead-Gleichung oder Amplituden-Gleichung, angewandt bei der [[Rayleigh-Bénard-Konvektion]]. | ||
* <math>f(u)= u \cdot (1-u) \cdot (u-\alpha)</math> (mit einem Parameter <math>0<\alpha <1</math>) Nagumo-Gleichung für Ausbreitung von Nervenpulsen in einem Axon | |||
Ein weiteres Beispiel ist die [[Poröse-Medien-Gleichung]] und die [[Burgersgleichung]]. | Ein weiteres Beispiel ist die [[Poröse-Medien-Gleichung]] und die [[Burgersgleichung]]. | ||
== Literatur == | == Teilchenmodelle == | ||
Eine detailgetreue Beschreibung von Reaktionsdiffusionssystemen kann mit [[Teilchenmodell]]en wie SRSim oder ReaDDy erfolgen.<ref>Simulation tools for particle-based reaction-diffusion dynamics in continuous space https://link.springer.com/article/10.1186/s13628-014-0011-5</ref> | |||
Beispielsweise mit Algorithmen wie Reversible interacting-particle reaction dynamics.<ref>Fröhner, Christoph, and Frank Noé. "Reversible interacting-particle reaction dynamics." The Journal of Physical Chemistry B 122.49 (2018): 11240–11250.</ref> | |||
== Siehe auch == | |||
* [[Belousov-Zhabotinsky-Reaktion]] | |||
* [[Morphogenese]] | |||
* [[Hantz-Reaktionen]] | |||
* [[Liesegangsche Ringe]] | |||
== Literatur == | |||
* Dilip Kondepudi, [[Ilya Prigogine]]: ''Modern Thermodynamics. From Heat Engines to Dissipative Structures.'' John Wiley & Sons, Chichester u. a. 1998, ISBN 0-471-97393-9. | * Dilip Kondepudi, [[Ilya Prigogine]]: ''Modern Thermodynamics. From Heat Engines to Dissipative Structures.'' John Wiley & Sons, Chichester u. a. 1998, ISBN 0-471-97393-9. | ||
* [[James D. Murray|J. D. Murray]]: ''Mathematical Biology.'' 2 Bände. 3. edition, corrected printing. Springer, New York NY u. a. 2008, ISBN 978-0-387-95223-9 (Bd. 1), ISBN 978-0-387-95228-4 (Bd. 2), (''Interdisciplinary applied mathematics'' 17–18). | * [[James D. Murray|J. D. Murray]]: ''Mathematical Biology.'' 2 Bände. 3. edition, corrected printing. Springer, New York NY u. a. 2008, ISBN 978-0-387-95223-9 (Bd. 1), ISBN 978-0-387-95228-4 (Bd. 2), (''Interdisciplinary applied mathematics'' 17–18). | ||
* Andreas W. Liehr: ''Dissipative Solitons in Reaction Diffusion Systems. Mechanism, Dynamics, Interaction.'' Volume 70 of Springer Series in Synergetics, Springer, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2. | * Andreas W. Liehr: ''Dissipative Solitons in Reaction Diffusion Systems. Mechanism, Dynamics, Interaction.'' Volume 70 of Springer Series in Synergetics, Springer, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2. | ||
* {{cite book |last=Grzybowski |first=B. A. |url=https://www.wiley.com/en-al/Chemistry+in+Motion%3A+Reaction+Diffusion+Systems+for+Micro+and+Nanotechnology-p-9780470030431 |date=2009 |title=Chemistry in Motion: Reaction-Diffusion Systems for Micro- and Nanotechnology}} | |||
==Einzelnachweise== | == Einzelnachweise == | ||
<references /> | <references /> | ||
[[Kategorie:Nichtgleichgewichtsthermodynamik]] | [[Kategorie:Nichtgleichgewichtsthermodynamik]] | ||
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[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]] | [[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]] | ||
Reaktionsdiffusionsgleichungen (RD-Gleichungen) beschreiben Vorgänge, bei denen eine lokale Wechselwirkung und zusätzlich eine Diffusion auftritt. Ein Beispiel aus der Chemie sind etwa Modelle für die Belousov-Zhabotinsky-Reaktion (BZ-Reaktion), bei der räumliche Muster entstehen, weil eine lokal oszillierende chemische Reaktion mit einem Diffusionsvorgang gekoppelt ist. Ein Beispiel aus der Biologie sind räumliche Ausbreitungsprozesse von Tieren und Pflanzen. Hierbei hat der Interaktionsterm oft die Form einer logistischen Kolmogorov-Gleichung.
Bei RD-Gleichungen handelt es sich um partielle Differentialgleichungen zweiten Grades, die der Form nach Ratengleichungen sind (Herleitung siehe dort). Sie beschreiben also die zeitliche Änderung einer Größe X (z. B. Stoffmenge, Abundanz, Konzentration o. Ä.):
Liegt außerdem ein gerichteter Transportprozess vor (Konvektion), so muss die obige Reaktions-Diffusionsgleichung um einen Konvektionsterm erweitert werden, analog zur Konvektions-Diffusions-Gleichung.
Reaktionsdiffusionsgleichungen finden in der Technischen Chemie und im Maschinenbau Anwendung. Dort werden verschiedene Systeme betrachtet, bei denen Reaktion, Diffusion und Konvektion zusammen auftreten (Makrokinetik). Beispiele sind die Auslegung von chemischen Reaktoren oder technische Verbrennungsvorgänge. In der Entwicklungsbiologie spielen Reaktionsdiffusionsgleichungen seit Alan Turing eine überragende Rolle bei der mathematischen Theorie der Morphogenese, siehe Turing-Mechanismus. Systeme mit einer aktivierenden und zwei inhibierenden Komponenten spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung der Strukturbildungsprozesse lokalisierter teilchenartiger Strukturen, sogenannter dissipativer Solitonen, die z. B. bei oszillierenden chemischen Reaktionen vom Typ der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion und Halbleiter-Gasentladungssystemen beobachtet werden. Auch Chemische Wellen und Ausbreitung von Nervenpulsen werden mit Reaktions-Diffusions-Gleichungen beschrieben.
Je nach der Form des Reaktionsanteils werden Spezialversionen der RD-Gleichungen unterschieden:[1]
Ein weiteres Beispiel ist die Poröse-Medien-Gleichung und die Burgersgleichung.
Eine detailgetreue Beschreibung von Reaktionsdiffusionssystemen kann mit Teilchenmodellen wie SRSim oder ReaDDy erfolgen.[2] Beispielsweise mit Algorithmen wie Reversible interacting-particle reaction dynamics.[3]