Rollwiderstand: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 22. Februar 2022, 11:12 Uhr

Der Rollwiderstand (auch: Rollreibung oder rollende Reibung) ist die Kraft, die beim Abrollen eines Rades oder Wälzkörpers entsteht und der Bewegung entgegengerichtet ist. Da der Rollwiderstand ungefähr proportional zur Normalkraft ist, wird als Kennwert der Rollwiderstandskoeffizient $c_{\mathrm {R} }$ (auch: Rollwiderstandsbeiwert. Rollreibungsbeiwert usw.) wie folgt gebildet:

F_{\mathrm {R} }=c_{\mathrm {R} }\cdot F_{\mathrm {N} }

- Der Rollwiderstand entspricht dem Rollwiderstandskoeffizient multipliziert mit der Normalkraft

Bei vergleichbaren Rahmenbedingungen ist die Rollreibung erheblich kleiner als die Gleitreibung. Bei vielen Anwendungen verursachen daher Wälzlager wie Kugellager geringere Verluste als Gleitlager. Bei höheren Geschwindigkeiten und Belastungen sind Gleitlager in der Regel nur konkurrenzfähig, wenn durch konstante Zufuhr eines Schmiermittels ein direkter Kontakt von Feststoffen durch einen dazwischen befindlichen Flüssigkeitsfilm verhindert werden kann.

Der Rollwiderstandskoeffizient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_\mathrm{R} hängt neben der Materialpaarung auch von der Geometrie des Rollkörpers ab, insbesondere von seinem Radius.

Die Kraft, die überwunden werden muss, um einen runden Körper aus dem Stillstand in rotierende Bewegung zu versetzen, wird als Anfahrwiderstand bezeichnet. Bei Fahrzeugen ist der Rollwiderstand gemeinsam mit dem Losbrechwiderstand ein Teil des Fahrwiderstands.

Grundlagen

Asymmetrische Kontaktkraft

Kräfte während des Rollens

Beim Abrollen werden sowohl der rollende Körper (Wälzkörper) als auch die Unterlage (die Fahrbahn bzw. Wälzkörperbahn) verformt und zwar nahe dem Berührungspunkt bzw. der Berührungslinie. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um eine elastische Verformung, es kommen jedoch Vorgänge hinzu, die einen Energieverlust verursachen. Insbesondere handelt es sich dabei um Walkarbeit im Reifengummi.

Insbesondere, wenn in das rollende Objekt Antriebs-, Verzögerungs- oder Führungskräfte eingeleitet werden, können auch Gleitreibungsanteile beim Abrollen auftreten. Bei Reifen also verstärkt bei Kurvenfahrt, beim Beschleunigen und Bremsen.

Auf nachgiebigem Untergrund spielt die Verdrängungsarbeit eine herausragende Rolle, die auf plastischer Verformung und innerer Reibung des Bodenmaterials beruht. So etwa beim Fahren auf feuchtem Erdboden, Schnee, Sand oder Splitt. Ähnliche Vorgänge können auch im Schotter des Gleisbettes auftreten.

Stahlrad läuft auf Schiene bei der Eisenbahn.

In nebenstehendem Bild wird durch das Rad die Schienenoberfläche elastisch verformt, bei Bewegung wird das Schienenmaterial in Fahrtrichtung gestaucht. Dabei türmt sich vor dem Rad ein Berg auf. Da sich das Schienenmaterial nur geringförmig bewegt, wird fortlaufend der Berg durch das Rad gewalzt und ebnet sich hinter dem Rad wieder ein. Beim Durchrutschen wird infolge des großen Flächendrucks das Material stark gepresst. Je häufiger eine Schiene befahren wird, desto eher können infolge der Pressung und Entspannung Teile der Oberfläche ausbrechen, was durch matte oder raue Oberflächen erkennbar wird. Ein Nebeneffekt ist die in einem nachgiebigen Schotterbett liegende Schienen-Schwellen Kombination, die dämpfend wirkt. Da sich das Rad während der Fahrt in dem „Tal“ der Eindruckstelle befindet, muss dieses auch bei horizontaler Strecke ständig neu gebildet werden. Es wandert während der Fahrt mit, was einen entsprechenden Energieverlust bedeutet. Der Effekt ist jedoch kleiner als der oben genannte. Hinzu kommt Reibung bei Kurvenfahrt aufgrund der starren Achsen.

Reifen auf nachgiebigem Untergrund

Wenn ein gummibereiftes Fahrzeug auf weichem Untergrund, wie lockerem Sand, fährt, wird das Fahren umso beschwerlicher, je schmaler die Reifen sind. Schmale Reifen sinken in weichem Untergrund ein. Der Reifen muss das Material verdrängen und zusätzlich die Reibung an den Reifenflanken überwinden. Geländegängige Fahrzeuge wie Mountainbikes besitzen daher breite Reifen. Reifen mit kleinem Durchmesser schieben eher einen Keil des Materials vor sich her, während Reifen mit größerem Durchmesser das aufgeworfene Material seitlich verdrängen bzw. zerteilen.

Gummireifen auf festem Fahrbahnbelag

Auf hartem Belag ist die Verformung des Gummireifens deutlich größer als die des Untergrunds. Eine feste Gummimischung sowie ein hoher Luftdruck des Reifens mindern Walkarbeit, Rollwiderstand und Berührungsfläche. Fahrräder für ausschließlich befestigte Untergründe werden mit schmalen Reifen und hohem Reifeninnendruck gefahren. Der hohe Druck sowie die geringe Wandstärke und Profilierung von schmalen Rennrad-Reifen haben jedoch einen größeren Einfluss auf den Rollwiderstand als die Reifenbreite und -größe an sich. Reifenbreite und -größe beeinflussen zwar indirekt über Gewicht, Luftwiderstand und Abrollverhalten bei Unebenheiten den Fahrwiderstand, den Rollwiderstand selber hingegen nur in geringem Maße.

Medizinbälle

Das Rollen eines schweren und nachgiebigen Medizinballs erfordert eine größere Anstrengung, da die weiche Füllung des Balles sich beim Rollen beständig plastisch verformt.

Rollwiderstandskoeffizient

Durch die Verformung beim Abrollen verschiebt sich die Kontaktkraft zwischen Körper und Unterlage nach vorn (Abb. 1). Auf der zweiten Abbildung wurden die flächig wirkenden Kontaktkräfte durch die statisch äquivalente Normalkraft N ersetzt, die um die Strecke d gegenüber dem Aufstandspunkt verschoben ist, sowie durch die Reibungskraft F_R, die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt.

Aus den Gleichgewichtsbedingungen ergibt sich für Räder bzw. Rollen mit Radius R bei konstanter Geschwindigkeit

F_{\mathrm {R} }={\frac {d}{R}}\cdot F_{\mathrm {N} }

Der Quotient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{d}{R} ist der Rollwiderstandskoeffizient c_R (veraltet auch: Rollwiderstandsbeiwert oder Rollreibungsbeiwert):

c_{\mathrm {R} }={\frac {d}{R}}

Damit bekommt der Ausdruck für die Rollreibung F_R die Form

F_{\mathrm {R} }=c_{\mathrm {R} }\cdot F_{\mathrm {N} }

Mit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R als Radius des Rades und
$F_{\mathrm {N} }$ als Normalkraft.

Wenn man den Rollwiderstand als Drehmoment versteht, ist $$ d $$ der „Hebelarm“, an dem die Normalkraft angreift.

Der Rollwiderstandskoeffizient ist eine dimensionslose (einheitenfreie) Zahl, die von Materialeigenschaften und Geometrie des abrollenden Körpers abhängt (bei Reifen insbesondere auch vom Luftdruck). Typische Zahlenwerte des Rollwiderstandskoeffizienten liegen um ein bis über zwei Größenordnungen unter denen der niedrigsten Gleitreibungskoeffizienten.

Typische Rollwiderstandskoeffizienten c_R

c_R	Wälzkörper/Wälzkörperbahn
0,0005–0,001	Kugellager, Kugel und Lager aus gehärtetem Stahl⁴
0,001–0,002	Eisenbahnrad auf Schiene¹
0,015–0,02	Motorradreifen auf Asphalt
0,006–0,010	Autoreifen auf Asphalt, Lkw
0,011–0,015	Autoreifen auf Asphalt, Pkw
0,01–0,02	Autoreifen auf Beton²
0,02	Autoreifen auf Schotter
0,015–0,03	Autoreifen auf Kopfsteinpflaster²
0,03–0,06	Autoreifen auf Schlaglochstrecke²
0,045	Gleiskette (Kettenlaufwerk, Panzer Leopard 2) auf fester Fahrbahn
0,050	Autoreifen auf Erdweg
0,04–0,08	Autoreifen auf festgefahrenem Sand²
0,035–0,08	Gurtband (Raupenfahrwerk, Caterpillar Challenger und John Deere 8000T) auf Asphalt
0,2–0,4	Autoreifen auf losem Sand²^,³

¹ Gustav Niemann gibt für Eisenbahnräder folgende (aus Versuchen ermittelte) Formel an:

d=0{,}013\cdot {\sqrt {D}}

; d und D in mm. Bei 800 mm Raddurchmesser ergibt sich ca. 0,4 mm, was einem Koeffizienten von 0,001 entspricht.

² Quelle: Schmidt, Schlender 2003

³ Wer schon einmal versucht hat, am Strand Fahrrad zu fahren, kann diese hohen Zahlenwerte aus eigener Anschauung bestätigen

⁴ Quelle: Dubbel: Taschenbuch für den Maschinenbau

Grenzen der Theorie

Die oben beschriebene Beziehung $F_{\mathrm {R} }={\frac {d}{R}}\cdot F_{\mathrm {N} }=c_{\mathrm {R} }\cdot F_{\mathrm {N} }$ ist ein vereinfachtes Modell, welches für die meisten Berechnungen in der Technik ausreichend ist. Die Abhängigkeit der Rollreibung von weiteren Größen wie Kontaktkraft, Geschwindigkeit etc. wird hierbei nicht berücksichtigt (siehe auch Losbrechwiderstand).

Ferner betrachtet das beschriebene Modell nicht den möglichen Einfluss eines dritten Stoffes, der an der Grenzschicht zwischen Wälzkörper und Wälzkörperbahn vorhanden sein kann (Flüssigkeit oder Schmierstoff). Beispiele sind Schmierfett auf der Schiene oder Wasser auf der Straße. In einem solchen Fall wird von Mischreibung gesprochen.

Extreme Werte für Geschwindigkeiten und Temperaturen sowie eventuell chemische Einflüsse an den Kontaktstellen können mit diesem Modell nicht erfasst werden.

Literatur

Valentin L. Popov: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation. Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-540-88836-9.

Weblinks

Schmidt, Schlender: Reifenwechsel unter technischen und klimatischen Aspekten. (Memento vom 29. September 2007 im Internet Archive) (PDF; 1,62 MB; 109 S.)

it:Attrito#Attrito volvente ko:마찰력#구름 마찰력

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 {{Dieser Artikel|behandelt die physikalische Kraft bei Rollvorgängen; die Rollwiderstands-Effizienzklassen von Autoreifen, die auf dem Reifenlabel vorkommen, werden im Artikel [[Reifenlabel#Rollwiderstand|Reifenlabel]] erklärt.}}
-Der '''Rollwiderstand''' (auch: '''Rollreibung''' oder '''rollende Reibung''') ist die Kraft, die beim Ab[[rollen]] eines [[Rad]]es oder [[Wälzkörper]]s entsteht und der [[Bewegung (Physik)|Bewegung]] entgegengerichtet ist. Da der Rollwiderstand etwa proportional zur [[Normalkraft]] ist, wird als [[Kennwert]] der '''Rollwiderstandskoeffizient''' <math>c_\mathrm{R}</math> (auch: ''Rollwiderstandsbeiwert.'' ''Rollreibungsbeiwert'' usw.) gebildet.
+Der '''Rollwiderstand''' (auch: '''Rollreibung''' oder '''rollende Reibung''') ist die Kraft, die beim Ab[[rollen]] eines [[Rad]]es oder [[Wälzkörper]]s entsteht und der [[Bewegung (Physik)|Bewegung]] entgegengerichtet ist. Da der Rollwiderstand ungefähr proportional zur [[Normalkraft]] ist, wird als [[Kennwert]] der '''Rollwiderstandskoeffizient''' <math>c_\mathrm{R}</math> (auch: ''Rollwiderstandsbeiwert.'' ''Rollreibungsbeiwert'' usw.) wie folgt gebildet:
-:<math>F_\mathrm{R} = c_\mathrm{R} \cdot F_\mathrm{N}</math>&nbsp; – ''Rollwiderstand ist Rollwiderstandskoeffizient mal [[Normalkraft]]''
+: <math>F_\mathrm{R} = c_\mathrm{R} \cdot F_\mathrm{N}</math>&nbsp; - Der ''Rollwiderstand entspricht dem Rollwiderstandskoeffizient multipliziert mit der [[Normalkraft]]''
-Die Werte für die Rollwiderstandskoeffizienten sind verglichen mit den passenden Werten für [[Gleitreibung]] erheblich kleiner. Daher haben [[Wälzlager]] (z.&nbsp;B. [[Kugellager]]) gegenüber [[Gleitlager]]n in Bezug auf Reibung Vorteile.
+Bei vergleichbaren Rahmenbedingungen ist die Rollreibung erheblich kleiner als die [[Gleitreibung]]. Bei vielen Anwendungen verursachen daher [[Wälzlager]] wie [[Kugellager]] geringere Verluste als [[Gleitlager]]. Bei höheren Geschwindigkeiten und Belastungen sind Gleitlager in der Regel nur konkurrenzfähig, wenn durch konstante Zufuhr eines Schmiermittels ein direkter Kontakt von Feststoffen durch einen dazwischen befindlichen Flüssigkeitsfilm verhindert werden kann.
-Der Rollwiderstandskoeffizient <math>c_\mathrm{R}</math> hängt neben der Materialpaarung auch von der Geometrie (Radius des Rollkörpers) ab.
+Der Rollwiderstandskoeffizient <math>c_\mathrm{R}</math> hängt neben der Materialpaarung auch von der Geometrie des Rollkörpers ab, insbesondere von seinem Radius.
-Die Kraft, die überwunden werden muss, um einen Körper (beispielsweise ein Rad) aus dem Stillstand in rotierende Bewegung zu versetzen, wird als ''Anfahrwiderstand'' bezeichnet.
+Die Kraft, die überwunden werden muss, um einen runden Körper aus dem Stillstand in rotierende Bewegung zu versetzen, wird als ''Anfahrwiderstand'' bezeichnet.
+Bei Fahrzeugen ist der Rollwiderstand gemeinsam mit dem [[Losbrechwiderstand]] ein Teil des [[Fahrwiderstand]]s.
 == Grundlagen ==
 [[Datei:Roulement1.jpg|mini|Asymmetrische Kontaktkraft]]
 [[Datei:Roulement3.jpg|mini|Kräfte während des Rollens]]
-Beim Abrollen werden sowohl der rollende Körper als auch die Unterlage (die [[Hauptfahrbahn|Fahrbahn]]) verformt. Die [[Verformung]] erfolgt sowohl an dem Wälzkörper selbst als auch an der Wälzkörperbahn und zwar am Berührungspunkt oder an der Berührungslinie. Im Wesentlichen ist dies zwar eine elastische Verformung, es kommen jedoch Vorgänge hinzu, die einen Energieverlust verursachen. Das sind beispielsweise Gleitreibungsanteile beim Abrollen der außermittigen Reifenteile oder bei Kurvenfahrt, die [[Walkarbeit]] im Reifengummi oder plastische Vorgänge im Untergrund (Fahren auf Sand, Splitt oder Vorgänge im Schotter des Gleisbettes).
-Beispiele:
-* Kombination [[Eisenbahnrad|Stahlrad]]-[[Eisenbahnschiene|Schiene]] bei der Eisenbahn. In nebenstehenden Bild wird durch das Rad die Schienenoberfläche elastisch verformt, bei Bewegung wird das Schienenmaterial in Fahrtrichtung gestaucht. Dabei türmt sich vor dem Rad ein Berg auf. Da sich das Schienenmaterial nur geringförmig bewegt, wird fortlaufend der Berg durch das Rad gewalzt und ebnet sich hinter dem Rad wieder ein. Beim Durchrutschen wird infolge des großen Flächendrucks das Material stark gepresst. Je häufiger eine Schiene befahren wird, desto eher können infolge der Pressung und Entspannung Teile der Oberfläche ausbrechen, was durch matte oder raue Oberflächen erkennbar wird. Ein Nebeneffekt ist die in einem nachgiebigen Schotterbett liegende Schienen-Schwellen Kombination, die dämpfend wirkt. Da sich das Rad während der Fahrt in dem „Tal“ der Eindruckstelle befindet, muss dieses auch bei horizontaler Strecke ständig neu gebildet werden. Es wandert während der Fahrt mit, was einen entsprechenden Energieverlust bedeutet. Der Effekt ist jedoch kleiner als der oben genannte. Hinzu kommt Reibung bei Kurvenfahrt aufgrund der starren Achsen.
+Beim Abrollen werden sowohl der rollende Körper ([[Wälzkörper]]) als auch die Unterlage (die [[Hauptfahrbahn|Fahrbahn]] bzw. Wälzkörperbahn) [[Verformung|verformt]] und zwar nahe dem Berührungspunkt bzw. der Berührungslinie. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um eine elastische Verformung, es kommen jedoch Vorgänge hinzu, die einen Energieverlust verursachen. Insbesondere handelt es sich dabei um [[Walkarbeit]] im Reifengummi.
-* Auch wenn ein gummibereiftes Fahrzeug auf ''weichem'' Untergrund, z.&nbsp;B. lockerem Sand, fährt, wird das Fahren umso beschwerlicher, je schmaler die Reifen sind, d.&nbsp;h. je tiefer sie dadurch in den Sand einsinken. Geländegängige Fahrzeuge wie [[Mountainbike]]s usw. besitzen daher eher breite Reifen.
-* Kombination [[Autoreifen|Reifen]]-[[Fahrbahnbelag]], bei der umgekehrt die Verformung des Reifens meist sichtbar größer ist als die der (befestigten) Straße. Ein erhöhter Luftdruck im Reifen mindert den Rollwiderstand, weil er die Walkarbeit und die Berührungsfläche herabsetzt. Das erleichtert auch die Kurvenfahrt, hat jedoch negative Auswirkungen auf die Straßenlage und den Fahrkomfort, sodass meist ein Kompromiss nötig ist. Auch bei Fahrrädern ist der Rollwiderstand auf einer ''harten'' Unterlage, z.&nbsp;B. Asphalt, umso geringer, je härter man die Reifen aufpumpt. Fahrräder für feste Untergründe, z.&nbsp;B. [[Rennrad|Rennräder]], besitzen daher eher schmale Reifen und fahren mit ähnlich hohem Reifeninnendruck wie LKW.
+Insbesondere, wenn in das rollende Objekt Antriebs-, Verzögerungs- oder Führungskräfte eingeleitet werden, können auch Gleitreibungsanteile beim Abrollen auftreten. Bei Reifen also verstärkt bei Kurvenfahrt, beim Beschleunigen und Bremsen.
-* Das Rollen sogenannter [[Medizinball|Medizinbälle]] erfordert extra große Kraft. Das wird dadurch erreicht, dass diese eine nicht nur relativ schwere, sondern auch in gewissen Grenzen [[Plastische Verformung|plastische]] Füllung besitzen, die sich beim Abrollen beständig verformt und dazu zusätzlicher Energie bedarf.
-* Häufig kommt es infolge der Dauerbelastung zu einer [[Materialermüdung]] und Teile werden herausgelöst. Das ist die sogenannte [[Grübchenbildung]] (englisch: ''Pitting'').
+Auf nachgiebigem Untergrund spielt die Verdrängungsarbeit eine herausragende Rolle, die auf plastischer Verformung und innerer Reibung des Bodenmaterials beruht. So etwa beim Fahren auf feuchtem Erdboden, Schnee, Sand oder Splitt. Ähnliche Vorgänge können auch im Schotter des [[Gleisbett]]es auftreten.
+; [[Eisenbahnrad|Stahlrad]] läuft auf [[Eisenbahnschiene|Schiene]] bei der Eisenbahn.
+In nebenstehendem Bild wird durch das Rad die Schienenoberfläche elastisch verformt, bei Bewegung wird das Schienenmaterial in Fahrtrichtung gestaucht. Dabei türmt sich vor dem Rad ein Berg auf. Da sich das Schienenmaterial nur geringförmig bewegt, wird fortlaufend der Berg durch das Rad gewalzt und ebnet sich hinter dem Rad wieder ein. Beim Durchrutschen wird infolge des großen [[Flächendruck]]s das Material stark gepresst. Je häufiger eine Schiene befahren wird, desto eher können infolge der Pressung und Entspannung Teile der Oberfläche ausbrechen, was durch matte oder raue Oberflächen erkennbar wird. Ein Nebeneffekt ist die in einem nachgiebigen Schotterbett liegende Schienen-Schwellen Kombination, die dämpfend wirkt. Da sich das Rad während der Fahrt in dem „Tal“ der Eindruckstelle befindet, muss dieses auch bei horizontaler Strecke ständig neu gebildet werden. Es wandert während der Fahrt mit, was einen entsprechenden Energieverlust bedeutet. Der Effekt ist jedoch kleiner als der oben genannte. Hinzu kommt Reibung bei Kurvenfahrt aufgrund der starren Achsen.
+; [[Autoreifen|Reifen]] auf nachgiebigem Untergrund
+Wenn ein gummibereiftes Fahrzeug auf ''weichem'' Untergrund, wie lockerem Sand, fährt, wird das Fahren umso beschwerlicher, je schmaler die Reifen sind. Schmale Reifen sinken in weichem Untergrund ein. Der Reifen muss das Material verdrängen und zusätzlich die Reibung an den Reifenflanken überwinden. Geländegängige Fahrzeuge wie [[Mountainbike]]s besitzen daher breite Reifen. Reifen mit kleinem Durchmesser schieben eher einen Keil des Materials vor sich her, während Reifen mit größerem Durchmesser das aufgeworfene Material seitlich verdrängen bzw. zerteilen.
+; Gummireifen auf festem [[Fahrbahnbelag]]
+Auf hartem Belag ist die Verformung des Gummireifens deutlich größer als die des Untergrunds. Eine feste Gummimischung sowie ein hoher Luftdruck des Reifens mindern [[Walkarbeit]], Rollwiderstand und Berührungsfläche. Fahrräder für ausschließlich befestigte Untergründe werden mit schmalen Reifen und hohem Reifeninnendruck gefahren. Der hohe Druck sowie die geringe Wandstärke und Profilierung von schmalen [[Rennrad]]-Reifen haben jedoch einen größeren Einfluss auf den Rollwiderstand als die Reifenbreite und -größe an sich. Reifenbreite und -größe beeinflussen zwar indirekt über Gewicht, Luftwiderstand und Abrollverhalten bei Unebenheiten den [[Fahrwiderstand]], den Rollwiderstand selber hingegen nur in geringem Maße.
+; Medizinbälle
+Das Rollen eines schweren und nachgiebigen [[Medizinball]]s erfordert eine größere Anstrengung, da die weiche Füllung des Balles sich beim Rollen beständig [[Plastische Verformung|plastisch]] verformt.
+<!-- * Häufig kommt es infolge der Dauerbelastung zu einer [[Materialermüdung]] und Teile werden herausgelöst. Das ist die sogenannte [[Grübchenbildung]] (englisch: ''Pitting'').  <<  Der Zusammenhang zwischen Rollwiderstand und Pitting müsste erläutert werden, wenn hier darauf Bezug genommen werden soll. -->
 == Rollwiderstandskoeffizient ==
-Durch die Verformung beim Abrollen wird die Kontaktkraft zwischen Körper und Unterlage asymmetrisch (Fig.&nbsp;1). Der Ersatz der Kontaktkräfte durch statisch äquivalente Einzelkräfte ergibt eine Normalkraft ''F''<sub>N</sub>, welche um die Strecke ''d'' nach vorne verschoben ist, und eine Reibungskraft ''F''<sub>R</sub> entgegen der Bewegungsrichtung (Fig.&nbsp;2).
-Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt für Rollen mit Radius ''R'' bei konstanter Geschwindigkeit
+Durch die Verformung beim Abrollen verschiebt sich die Kontaktkraft zwischen Körper und Unterlage nach vorn (Abb.&nbsp;1). Auf der zweiten Abbildung wurden die flächig wirkenden Kontaktkräfte durch die statisch äquivalente Normalkraft ''N'' ersetzt, die um die Strecke ''d'' gegenüber dem Aufstandspunkt verschoben ist, sowie durch die Reibungskraft ''F''<sub>R</sub>, die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt.
-:<math>F_\mathrm{R} = \frac{d}{R} \cdot F_\mathrm{N}</math>
-Der Quotient <math> \frac{d}{R} </math> ist der ''Rollwiderstandskoeffizient'' ''c''<sub>R</sub> (veraltet auch: ''Rollwiderstandsbeiwert.'' ''Rollreibungsbeiwert''):
+Aus den Gleichgewichtsbedingungen ergibt sich für Räder bzw. Rollen mit Radius ''R'' bei konstanter Geschwindigkeit
-:<math>c_\mathrm{R} = \frac{d}{R} </math>
+: <math>F_\mathrm{R} = \frac{d}{R} \cdot F_\mathrm{N}</math>
+Der Quotient <math> \frac{d}{R} </math> ist der ''Rollwiderstandskoeffizient'' ''c''<sub>R</sub> (veraltet auch: ''Rollwiderstandsbeiwert'' oder ''Rollreibungsbeiwert''):
+: <math>c_\mathrm{R} = \frac{d}{R} </math>
 Damit bekommt der Ausdruck für die Rollreibung ''F''<sub>R</sub> die Form
-:<math>F_\mathrm{R} = c_\mathrm{R} \cdot F_\mathrm{N}</math>
+: <math>F_\mathrm{R} = c_\mathrm{R} \cdot F_\mathrm{N}</math>
-Der Rollwiderstandskoeffizient ist eine [[Dimension (Physik)|dimensionslose]] (einheitenfreie) Zahl, die von [[Werkstoff|Materialeigenschaften]] und Geometrie des abrollenden Körpers abhängt (Bei Reifen stark vom Luftdruck). Typische Zahlenwerte des Rollwiderstandskoeffizienten liegen um ein bis über zwei [[Größenordnung]]en unter denen des [[Gleitreibungskoeffizient]]en.
+Mit <br /> '''<math>R</math>''' als [[Radius]] des Rades und<br /> '''<math>F_\mathrm{N}</math>''' als [[Normalkraft]].
+Wenn man den Rollwiderstand als Drehmoment versteht, ist <math>d</math> der „Hebelarm“, an dem die Normalkraft angreift.
+Der Rollwiderstandskoeffizient ist eine [[Dimension (Physik)|dimensionslose]] (einheitenfreie) Zahl, die von [[Werkstoff|Materialeigenschaften]] und Geometrie des abrollenden Körpers abhängt (bei Reifen insbesondere auch vom Luftdruck). Typische Zahlenwerte des Rollwiderstandskoeffizienten liegen um ein bis über zwei [[Größenordnung]]en unter denen der niedrigsten [[Gleitreibungskoeffizient]]en.
 === Typische Rollwiderstandskoeffizienten c<sub>R</sub> ===
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 | [[Eisenbahnrad]] auf Schiene{{FN|1}}
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-|0,015-0,02
+|0,015–0,02
 | [[Motorradreifen]] auf [[Fahrbahndecke|Asphalt]]
 |-
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 |0,02
-| Autoreifen  auf [[Schotter]]
+| Autoreifen auf [[Schotter]]
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 |0,015–0,03
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 |}
-:{{FNZ|1|[[Gustav Niemann]] gibt für Eisenbahnräder folgende [[Empirische Formel|(aus Versuchen ermittelte) Formel]] an: <math>d = 0{,}013 \cdot \sqrt{D} </math>; ''d'' und ''D'' in mm. Bei 800&nbsp;mm Raddurchmesser ergibt sich ca. 0,4&nbsp;mm, was einem Koeffizienten von 0,001 entspricht.}}
+{{FNBox|
-:{{FNZ|2|Quelle: Schmidt, Schlender 2003}}
+{{FNZ|1|[[Gustav Niemann]] gibt für Eisenbahnräder folgende [[Empirische Formel|(aus Versuchen ermittelte) Formel]] an: <math>d = 0{,}013 \cdot \sqrt{D} </math>; ''d'' und ''D'' in mm. Bei 800&nbsp;mm Raddurchmesser ergibt sich ca. 0,4&nbsp;mm, was einem Koeffizienten von 0,001 entspricht.}}
-:{{FNZ|3|Wer schon einmal versucht hat, am Strand Fahrrad zu fahren, kann diese hohen Zahlenwerte aus eigener Anschauung bestätigen}}
+{{FNZ|2|Quelle: Schmidt, Schlender 2003}}
-:{{FNZ|4|Quelle: Dubbel: [[Taschenbuch für den Maschinenbau]]}}
+{{FNZ|3|Wer schon einmal versucht hat, am Strand Fahrrad zu fahren, kann diese hohen Zahlenwerte aus eigener Anschauung bestätigen}}
+{{FNZ|4|Quelle: Dubbel: ''[[Taschenbuch für den Maschinenbau]]''}}
+}}
 === Grenzen der Theorie ===
-Die oben beschriebene Beziehung <math>F_\mathrm{R}= \frac{d}{R} \cdot F_\mathrm{N} = c_\mathrm{R} \cdot F_\mathrm{N}  </math> ist ein vereinfachtes Modell, welches für die meisten Berechnungen in der Technik ausreichend ist. Die Abhängigkeit der Reibung von weiteren Größen (Kontaktkraft, Geschwindigkeit, etc.) wird hierbei nicht berücksichtigt.
+Die oben beschriebene Beziehung <math>F_\mathrm{R}= \frac{d}{R} \cdot F_\mathrm{N} = c_\mathrm{R} \cdot F_\mathrm{N}  </math> ist ein vereinfachtes Modell, welches für die meisten Berechnungen in der Technik ausreichend ist. Die Abhängigkeit der Rollreibung von weiteren Größen wie Kontaktkraft, Geschwindigkeit etc. wird hierbei nicht berücksichtigt (siehe auch [[Losbrechwiderstand]]).
 Ferner betrachtet das beschriebene Modell nicht den möglichen Einfluss eines dritten Stoffes, der an der Grenzschicht zwischen Wälzkörper und Wälzkörperbahn vorhanden sein kann (Flüssigkeit oder Schmierstoff). Beispiele sind Schmierfett auf der Schiene oder Wasser auf der Straße. In einem solchen Fall wird von Mischreibung gesprochen.
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 Nimmt man dennoch in Gedanken an, die Eisenbahnräder und die Schiene seien vollkommen starr. Dann kann der Zug ohne Reibung rollen. Beim Beschleunigen wird es schwierig, die Haftgrenze nicht zu überschreiten, da sonst die Räder durchdrehen - die Haftreibung ist aber auch in diesem Fall nicht Null, wie oft laienhaft postuliert wird.
-Fazit: Die Verformung an der Kontaktstelle bringt mehr Rollwiderstand, aber auch mehr Haftung. Aus diesem Grund sind die Reifen in der Formel 1 weich, die Kugeln in Kugellagern sehr hart.
+Fazit: Die Verformung an der Kontaktstelle bringt mehr Rollwiderstand, aber auch mehr Haftung. Aus diesem Grund sind die Reifen in der Formel&nbsp;1 weich, die Kugeln in Kugellagern sehr hart.
 --siehe Diskussion-->
-== Weiterführende Informationen ==
+== Literatur ==
-* Schmidt, Dr. Schlender: {{Webarchiv | url=http://www-verkehr.uni-wuppertal.de/dirk/Reifen_VO.pdf | wayback=20070929133206 | text=''Reifenwechsel unter technischen und klimatischen Aspekten.'' }} (Reifentechnik auf 109 Seiten aufbereitet; PDF; 1,62 MB)
 * Valentin L. Popov: ''Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation.'' Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-540-88836-9.
+== Weblinks ==
+* Schmidt, Schlender: {{Webarchiv|url=http://www-verkehr.uni-wuppertal.de/dirk/Reifen_VO.pdf | wayback=20070929133206 | text=''Reifenwechsel unter technischen und klimatischen Aspekten.''}} (PDF; 1,62 MB; 109 S.)
 [[Kategorie:Tribologie]]