S-Dualität (Stringtheorie): Unterschied zwischen den Versionen
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== Die Störungsrechnung == | == Die Störungsrechnung == | ||
Um die S-Dualität verstehen zu können, muss der Begriff der String-Kopplungskonstante eingeführt werden. | Um die S-Dualität verstehen zu können, muss der Begriff der String-Kopplungskonstante eingeführt werden. | ||
Aufgrund der Komplexität der String-Gleichungen wird mit Näherungen gearbeitet, die zwar eine erhebliche Erleichterung darstellen, jedoch nur eine Näherung zu den exakten Gleichungen sind. Hierbei wird die sogenannte Störungsrechnung verwendet. | Aufgrund der Komplexität der String-Gleichungen wird mit Näherungen gearbeitet, die zwar eine erhebliche Erleichterung darstellen, jedoch nur eine Näherung zu den exakten Gleichungen sind. Hierbei wird die sogenannte Störungsrechnung verwendet. | ||
Strings wechselwirken miteinander, indem sie sich verschmelzen und aufteilen. Wenn man die Quantenfluktuationen, wonach spontan virtuelle String-Antistringpaare entstehen, in die Bewegungsgleichung miteinberechnet, so beeinflussen diese die Bewegungen und Wechselwirkungen des Strings enorm. | Strings wechselwirken miteinander, indem sie sich verschmelzen und aufteilen. Wenn man die Quantenfluktuationen, wonach spontan virtuelle String-Antistringpaare entstehen, in die Bewegungsgleichung miteinberechnet, so beeinflussen diese die Bewegungen und Wechselwirkungen des Strings enorm. | ||
Ähnlich wie in der Elementarteilchenphysik, welche mit Feynman-Diagrammen arbeitet, gibt es auch in der Stringtheorie Diagramme, in denen die Weltflächen der Strings (und dementsprechend auch deren Wechselwirkungen) dargestellt werden können, die sogenannten Schleifendiagramme. | Ähnlich wie in der Elementarteilchenphysik, welche mit Feynman-Diagrammen arbeitet, gibt es auch in der Stringtheorie Diagramme, in denen die Weltflächen der Strings (und dementsprechend auch deren Wechselwirkungen) dargestellt werden können, die sogenannten Schleifendiagramme. | ||
Da in der Quantenmechanik nun unendlich viele | Da in der Quantenmechanik nun unendlich viele Teilchen-Antiteilchen-Paare entstehen können, müsste man zu diesem Schleifendiagramm unendlich viele Wechselwirkungsprozesse hinzuaddieren. Die Störungsrechnung geht aber von einem homogenen Raum aus, indem keine Quantenfluktuationen stattfinden, was aber dann eine Näherung ist. Dies nennt man dann ein Nullschleifendiagramm.<ref>{{Literatur | ||
| Autor=Brian Greene | |||
| Titel=Das elegante Universum | |||
| Auflage=3 | |||
| Verlag=Goldmann | |||
| Ort=München | |||
| Datum=2006-01 | |||
| ISBN=978-3-442-15374-9 | |||
| Seiten=336 ff | |||
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== Die String-Kopplungskonstante == | == Die String-Kopplungskonstante == | ||
In der üblichen Elementarteilchenphysik wird vor allem mit Kopplungskonstanten gerechnet, die die Stärke der gegebenen Kraft definieren. In der Stringtheorie ist sie aber die Wahrscheinlichkeit, mit der sich ein String in ein virtuelles String-Antistringpaar aufteilt. Wenn der Wert kleiner als 1 ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit höher, je weniger Schleifen im Diagramm sind. Ist der Wert größer als 1, dann ist es genau umgekehrt. | In der üblichen Elementarteilchenphysik wird vor allem mit Kopplungskonstanten gerechnet, die die Stärke der gegebenen Kraft definieren. In der Stringtheorie ist sie aber die Wahrscheinlichkeit, mit der sich ein String in ein virtuelles String-Antistringpaar aufteilt. Wenn der Wert kleiner als 1 ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit höher, je weniger Schleifen im Diagramm sind. Ist der Wert größer als 1, dann ist es genau umgekehrt. | ||
Der Nullschleifenprozess ist also eine sehr gute Näherung zur tatsächlichen Wechselwirkung. | Der Nullschleifenprozess ist also eine sehr gute Näherung zur tatsächlichen Wechselwirkung. | ||
Eines der größten Probleme in der Stringtheorie ist die Bestimmung der genauen Kopplungskonstante, da sie erheblichen Einfluss auf die Störungsrechnung, die Massen und die Energien der Strings hat. | Eines der größten Probleme in der Stringtheorie ist die Bestimmung der genauen Kopplungskonstante, da sie erheblichen Einfluss auf die Störungsrechnung, die Massen und die Energien der Strings hat. | ||
Es ist in den meisten Fällen nur möglich, Aussagen über ein auf Strings basierendes Universums zu treffen, wenn man von dem Fall Kopplungskonstante ≤ 1 ausgeht. | Es ist in den meisten Fällen nur möglich, Aussagen über ein auf Strings basierendes Universums zu treffen, wenn man von dem Fall Kopplungskonstante ≤ 1 ausgeht. | ||
Allerdings ließ sich zeigen, dass sich unter gewissen Voraussetzungen bei Kopplung >1, Teilchen mit bestimmten Zuständen bestimmen lassen. | Allerdings ließ sich zeigen, dass sich unter gewissen Voraussetzungen bei Kopplung >1, Teilchen mit bestimmten Zuständen bestimmen lassen. | ||
Unter diesen Umständen erkennt man, dass es wesentlich einfacher ist, ein Universum zu beschreiben, welches auf Schwacher Kopplung basiert. | Unter diesen Umständen erkennt man, dass es wesentlich einfacher ist, ein Universum zu beschreiben, welches auf Schwacher Kopplung basiert. | ||
Edward Witten konnte 1995 zeigen, dass sich die physikalischen Eigenschaften der Stringtheorie des Typ I bei starker Kopplung und der O-heterotischen bei schwacher Kopplung gleichen. | Edward Witten konnte 1995 zeigen, dass sich die physikalischen Eigenschaften der Stringtheorie des Typ I bei starker Kopplung und der O-heterotischen bei schwacher Kopplung gleichen. Diese Dualität sowie die T-Dualität treten bei fast allen Superstringtheorien auf. | ||
Diese Dualität sowie die T-Dualität treten bei fast allen Superstringtheorien auf. | |||
== Herleitung zur M-Theorie == | == Herleitung zur M-Theorie == | ||
Dass zwei (Super-)Stringtheorien zueinander unter Umständen T- | Dass zwei (Super-)Stringtheorien zueinander unter Umständen T-dual oder S-dual sein können, veranlasste Witten 1995 zu der Annahme, dass sämtliche Stringtheorien sowie die Supergravitation nur ein Teil einer größeren, allumfassenderen Theorie seien, die er daraufhin versuchte, zu entwickeln. Außerdem entdeckte er, dass bei Erhöhung der Kopplungskonstante eines (e-heterotischen) Strings dieser zu einer 2-Mannigfaltigkeit, einer Membran, wird.<ref>{{Literatur |Autor=Edward Witten |Titel=String Theory Dynamics In Various Dimensions |Sammelwerk=Nucl.Phys |Band=B443 |Verlag=Cornell University |Datum=1995 |Seiten=85-126 |Sprache=en |arXiv=hep-th/9503124}}</ref> | ||
Die Theorie, die diese Sachverhalte beschreibt, ist die M-Theorie, die bis heute allerdings noch nicht vollständig verstanden ist. | Die Theorie, die diese Sachverhalte beschreibt, ist die M-Theorie, die bis heute allerdings noch nicht vollständig verstanden ist. | ||
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Aktuelle Version vom 10. Juli 2021, 16:31 Uhr
Die S-Dualität ist neben der T-Dualität in der Stringtheorie eine Herleitung zur M-Theorie, die versucht, die fünf Superstringtheorien miteinander zu vereinen. Die meisten Superstringtheorien weisen Dualitäten zueinander auf, weswegen sie 1995 von dem Mathematiker Edward Witten zu der M-Theorie zusammengefasst wurde.[1][2]
Die Störungsrechnung
Um die S-Dualität verstehen zu können, muss der Begriff der String-Kopplungskonstante eingeführt werden. Aufgrund der Komplexität der String-Gleichungen wird mit Näherungen gearbeitet, die zwar eine erhebliche Erleichterung darstellen, jedoch nur eine Näherung zu den exakten Gleichungen sind. Hierbei wird die sogenannte Störungsrechnung verwendet. Strings wechselwirken miteinander, indem sie sich verschmelzen und aufteilen. Wenn man die Quantenfluktuationen, wonach spontan virtuelle String-Antistringpaare entstehen, in die Bewegungsgleichung miteinberechnet, so beeinflussen diese die Bewegungen und Wechselwirkungen des Strings enorm.
Ähnlich wie in der Elementarteilchenphysik, welche mit Feynman-Diagrammen arbeitet, gibt es auch in der Stringtheorie Diagramme, in denen die Weltflächen der Strings (und dementsprechend auch deren Wechselwirkungen) dargestellt werden können, die sogenannten Schleifendiagramme.
Da in der Quantenmechanik nun unendlich viele Teilchen-Antiteilchen-Paare entstehen können, müsste man zu diesem Schleifendiagramm unendlich viele Wechselwirkungsprozesse hinzuaddieren. Die Störungsrechnung geht aber von einem homogenen Raum aus, indem keine Quantenfluktuationen stattfinden, was aber dann eine Näherung ist. Dies nennt man dann ein Nullschleifendiagramm.[3]
Die String-Kopplungskonstante
In der üblichen Elementarteilchenphysik wird vor allem mit Kopplungskonstanten gerechnet, die die Stärke der gegebenen Kraft definieren. In der Stringtheorie ist sie aber die Wahrscheinlichkeit, mit der sich ein String in ein virtuelles String-Antistringpaar aufteilt. Wenn der Wert kleiner als 1 ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit höher, je weniger Schleifen im Diagramm sind. Ist der Wert größer als 1, dann ist es genau umgekehrt. Der Nullschleifenprozess ist also eine sehr gute Näherung zur tatsächlichen Wechselwirkung. Eines der größten Probleme in der Stringtheorie ist die Bestimmung der genauen Kopplungskonstante, da sie erheblichen Einfluss auf die Störungsrechnung, die Massen und die Energien der Strings hat. Es ist in den meisten Fällen nur möglich, Aussagen über ein auf Strings basierendes Universums zu treffen, wenn man von dem Fall Kopplungskonstante ≤ 1 ausgeht. Allerdings ließ sich zeigen, dass sich unter gewissen Voraussetzungen bei Kopplung >1, Teilchen mit bestimmten Zuständen bestimmen lassen. Unter diesen Umständen erkennt man, dass es wesentlich einfacher ist, ein Universum zu beschreiben, welches auf Schwacher Kopplung basiert. Edward Witten konnte 1995 zeigen, dass sich die physikalischen Eigenschaften der Stringtheorie des Typ I bei starker Kopplung und der O-heterotischen bei schwacher Kopplung gleichen. Diese Dualität sowie die T-Dualität treten bei fast allen Superstringtheorien auf.
Herleitung zur M-Theorie
Dass zwei (Super-)Stringtheorien zueinander unter Umständen T-dual oder S-dual sein können, veranlasste Witten 1995 zu der Annahme, dass sämtliche Stringtheorien sowie die Supergravitation nur ein Teil einer größeren, allumfassenderen Theorie seien, die er daraufhin versuchte, zu entwickeln. Außerdem entdeckte er, dass bei Erhöhung der Kopplungskonstante eines (e-heterotischen) Strings dieser zu einer 2-Mannigfaltigkeit, einer Membran, wird.[4]
Die Theorie, die diese Sachverhalte beschreibt, ist die M-Theorie, die bis heute allerdings noch nicht vollständig verstanden ist.
Quellen
Einzelnachweise
- ↑ Edward Witten: Five-branes and M-Theory On An Orbifold. In: Nuclear Physics B. Band 463, Nr. 3, Januar 1996, S. 383–397, doi:10.1016/0550-3213(96)00032-6, arxiv:hep-th/9512219v1.
- ↑ John H. Schwarz: The Power of M Theory. In: Nuclear Physics B. Band 367, Nr. 1-4, Oktober 1995, S. 97–103, doi:10.1016/0370-2693(95)01429-2, arxiv:hep-th/9510086v1.
- ↑ Brian Greene: Das elegante Universum. 3. Auflage. Goldmann, München 2006, ISBN 978-3-442-15374-9, S. 336 ff.
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