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Die '''Swift-Hohenberg-Gleichung''' (nach den beiden US-amerikanischen Physikern Jack B. Swift und [[Pierre C. Hohenberg]]) ist eine mathematische [[Modell]]<nowiki/>gleichung zur Untersuchung von [[Musterbildung]]sprozessen.<ref>J. Swift, P. Hohenberg: ''Hydrodynamic fluctuations at the convective instability.'' In: ''Physical Review A.'' 15, 1977, S. 319, {{DOI|10.1103/PhysRevA.15.319}}.</ref> Eine mathematisch vereinfachte Form dieser Gleichung beschreibt das Muster der Faltenbildung von [[Papillarleiste]]n (''Dermatoglyphen'') an Fingern, also das Muster von [[Fingerabdruck|Fingerabdrücken]], sowie das Muster der Bildung von Rillen auf eintrocknenden [[Rosinen]].<ref>{{Internetquelle | url= | Die '''Swift-Hohenberg-Gleichung''' (nach den beiden US-amerikanischen Physikern Jack B. Swift und [[Pierre C. Hohenberg]]) ist eine mathematische [[Modell]]<nowiki/>gleichung zur Untersuchung von [[Musterbildung]]sprozessen.<ref>J. Swift, P. Hohenberg: ''Hydrodynamic fluctuations at the convective instability.'' In: ''Physical Review A.'' 15, 1977, S. 319, {{DOI|10.1103/PhysRevA.15.319}}.</ref> Eine mathematisch vereinfachte Form dieser Gleichung beschreibt das Muster der Faltenbildung von [[Papillarleiste]]n (''Dermatoglyphen'') an Fingern, also das Muster von [[Fingerabdruck|Fingerabdrücken]], sowie das Muster der Bildung von Rillen auf eintrocknenden [[Rosinen]].<ref>{{Internetquelle | url=https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematiker-erklaeren-muster-von-fingerabdruecken-a-1016501.html | titel=Mathematiker erklären Muster von Fingerabdrücken | autor=Holger Dambeck | hrsg=Spiegel Online | datum=2015-02-04 | zugriff=2015-02-05}}</ref><ref>Norbert Stoop, Romain Lagrange, Denis Terwagne, Pedro M. Reis, Jörn Dunkel: ''Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns.'' In: ''Nature Materials.'' 14, 2015, S. 337, {{DOI|10.1038/NMAT4202}}.</ref> | ||
== Die Gleichung == | == Die Gleichung == | ||
Es handelt sich um eine [[partielle Differentialgleichung]] auf einer [[reell]]en oder [[Komplexe Zahl|komplex]]en [[Skalar (Mathematik)|skalaren]] Funktion <math>\psi</math> mit zwei räumlichen und einem zeitlichen Argument: | Es handelt sich um eine [[partielle Differentialgleichung]] auf einer [[reell]]en oder [[Komplexe Zahl|komplex]]en [[Skalar (Mathematik)|skalaren]] Funktion <math>\psi</math> mit zwei räumlichen und einem zeitlichen Argument: | ||
:<math>\ | :<math>\partial_t \psi(x, y, t) = \left[ \epsilon - (\Delta + k_\text{crit}^2)^2 \right] \cdot \psi - R(\psi) </math>. | ||
Dabei sind | Dabei sind | ||
* <math>\ | * <math>\partial_t</math> die [[partielle Ableitung]] nach der Zeit | ||
* der Parameter <math>\epsilon</math> das Analogon zur Temperatur im [[Bénard-Experiment]] | * der Parameter <math>\epsilon</math> das Analogon zur Temperatur im [[Bénard-Experiment]] | ||
* <math>\Delta</math> der [[Laplaceoperator]] | * <math>\Delta</math> der [[Laplaceoperator]] | ||
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Das Verhalten um den kritischen Punkt <math>\epsilon = 0</math> wird nach einer [[Fouriertransformation]] des Linearanteils der Gleichung offensichtlich: | Das Verhalten um den kritischen Punkt <math>\epsilon = 0</math> wird nach einer [[Fouriertransformation]] des Linearanteils der Gleichung offensichtlich: | ||
:<math>\ | :<math>\partial_t \tilde{\psi}(k, t) = [\epsilon - (k_\text{crit}^2 - k^2)^2] \cdot \tilde{\psi}</math> | ||
* Im Fall <math>\epsilon < 0</math> [[Grenzwert (Funktion)|konvergieren]] die [[Amplitude]]n <math>\tilde{\psi}</math> zu allen Wellenzahlen gegen [[Null]], es bildet sich also kein Muster aus. | * Im Fall <math>\epsilon < 0</math> [[Grenzwert (Funktion)|konvergieren]] die [[Amplitude]]n <math>\tilde{\psi}</math> zu allen Wellenzahlen gegen [[Null]], es bildet sich also kein Muster aus. | ||
Die Swift-Hohenberg-Gleichung (nach den beiden US-amerikanischen Physikern Jack B. Swift und Pierre C. Hohenberg) ist eine mathematische Modellgleichung zur Untersuchung von Musterbildungsprozessen.[1] Eine mathematisch vereinfachte Form dieser Gleichung beschreibt das Muster der Faltenbildung von Papillarleisten (Dermatoglyphen) an Fingern, also das Muster von Fingerabdrücken, sowie das Muster der Bildung von Rillen auf eintrocknenden Rosinen.[2][3]
Es handelt sich um eine partielle Differentialgleichung auf einer reellen oder komplexen skalaren Funktion $ \psi $ mit zwei räumlichen und einem zeitlichen Argument:
Dabei sind
Von Interesse ist vor allem das Aussehen von $ \psi (x,y) $ nach einer hinreichend langen Zeit $ t $, d. h. die stabilen Lösungen der Gleichung, sofern solche jemals erreicht werden.
Für $ \epsilon <0 $ ergibt sich $ \psi \equiv 0 $ als stabile Lösung der Gleichung.
Das Verhalten um den kritischen Punkt $ \epsilon =0 $ wird nach einer Fouriertransformation des Linearanteils der Gleichung offensichtlich:
Das überkritische Verhalten für $ \epsilon >0 $ wird durch die Ausformung von $ R(\psi ) $ bestimmt. Ähnlich wie beim Bénard-Experiment sind die Lösungen typischerweise Rollen oder hexagonale Muster.