Zeltabbildung: Unterschied zwischen den Versionen
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=== Fixpunkte und periodische Punkte === | === Fixpunkte und periodische Punkte === | ||
Für <math>\textstyle x \in \{0,\frac{2}{3}\}</math> bildet die Funktion den Eingabewert auf sich selbst ab. | Für <math>\textstyle x \in \{0,\frac{2}{3}\}</math> bildet die Funktion den Eingabewert auf sich selbst ab. | ||
Des Weiteren ergibt sich aus der Struktur der Funktion, dass alle <math>\textstyle x_0 \in \R</math>, die sich als <math>\textstyle x_0=\frac{a}{2^n}</math> mit <math>a\in \{0,1,\dotsc,2^n\}</math> darstellen lassen, nach spätestens <math> | Des Weiteren ergibt sich aus der Struktur der Funktion, dass alle <math>\textstyle x_0 \in \R</math>, die sich als <math>\textstyle x_0=\frac{a}{2^n}</math> mit <math>a\in \{0,1,\dotsc,2^n\}</math> darstellen lassen, nach spätestens <math>n + 1</math> Iterationen den Fixpunkt <math>\textstyle 0</math> erreichen. | ||
Außerdem gibt es für jedes <math>\textstyle n \in \N</math> periodische Punkte <math>\textstyle x_n</math> mit der Primperiode <math>\textstyle n</math>, bei denen die n-fach wiederholte Anwendung von <math>\textstyle T_2</math> zum Anfangswert <math>\textstyle x_n</math> führt<ref> {{Internetquelle |url=http://digitalcommons.trinity.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1059&context=math_faculty |titel=Periodic Points of the Family of Tent Maps |autor=Julio R. Hasfura-Buenaga, Phillip Lynch |sprache=en |format=pdf |zugriff=2017-03-23}}</ref> | Außerdem gibt es für jedes <math>\textstyle n \in \N</math> periodische Punkte <math>\textstyle x_n</math> mit der Primperiode <math>\textstyle n</math>, bei denen die <math>n</math>-fach wiederholte Anwendung von <math>\textstyle T_2</math> zum Anfangswert <math>\textstyle x_n</math> führt<ref> {{Internetquelle |url=http://digitalcommons.trinity.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1059&context=math_faculty |titel=Periodic Points of the Family of Tent Maps |autor=Julio R. Hasfura-Buenaga, Phillip Lynch |sprache=en |format=pdf |zugriff=2017-03-23}}</ref> | ||
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Wendet man die Zeltabbildung <math>\textstyle T_2(x)</math> <math>\textstyle n</math>-fach hintereinander auf einen Anfangswert <math>\textstyle x_0</math> an, erhält man eine neue Abbildung <math>\textstyle F_{x_0}</math>: | Wendet man die Zeltabbildung <math>\textstyle T_2(x)</math> <math>\textstyle n</math>-fach hintereinander auf einen Anfangswert <math>\textstyle x_0</math> an, erhält man eine neue Abbildung <math>\textstyle F_{x_0}</math>: | ||
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[[Datei:Schmetterlingseffekt bsp.svg|miniatur|Differenz der Werte von<math>\textstyle F_{x}(n)</math> für <math>\textstyle x_0 = 0{,}506</math> und <math>\textstyle x_0 = 0{,}506127</math> aufgetragen gegen die Anzahl der Iterationen <math>\textstyle n</math>. Schon nach wenigen Iterationen ist die Differenz der Ausgangszustände praktisch nicht mehr durch eine [[Störungstheorie (Klassische Physik)|störungstheoretische]] Betrachtung des kleinen Unterschieds im Anfangswert vorhersagbar.]] | [[Datei:Schmetterlingseffekt bsp.svg|miniatur|Differenz der Werte von <math>\textstyle F_{x}(n)</math> für <math>\textstyle x_0 = 0{,}506</math> und <math>\textstyle x_0 = 0{,}506127</math> aufgetragen gegen die Anzahl der Iterationen <math>\textstyle n</math>. Schon nach wenigen Iterationen ist die Differenz der Ausgangszustände praktisch nicht mehr durch eine [[Störungstheorie (Klassische Physik)|störungstheoretische]] Betrachtung des kleinen Unterschieds im Anfangswert vorhersagbar.]] | ||
Vergleicht man die Werte von <math>\textstyle F_{x}(n)</math> für zwei beliebig nahe beieinander liegende <math>\textstyle x</math>, findet man bei hinreichend großen <math>\textstyle n</math> innerhalb des Wertebereiches beliebig große Differenzen im Intervall <math>(0,1)</math>. | Vergleicht man die Werte von <math>\textstyle F_{x}(n)</math> für zwei beliebig nahe beieinander liegende <math>\textstyle x</math>, findet man bei hinreichend großen <math>\textstyle n</math> innerhalb des Wertebereiches beliebig große Differenzen im Intervall <math>(0,1)</math>. | ||
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Aktuelle Version vom 8. März 2020, 21:38 Uhr
Die Zeltabbildung $ \textstyle T_{2} $ ist eine mathematische Funktion mit dem Definitions- und Wertebereich $ \textstyle [0,1] $. Sie ist eine der einfachsten Funktionen, mit deren Hilfe sich die chaotische Dynamik nichtlinearer deterministischer Abbildungen untersuchen und insbesondere die Kernaussage des Schmetterlingseffekts verifizieren lässt, dass beliebig kleine Änderungen in den Anfangsparametern große Auswirkungen haben können.
Definition und Eigenschaften
Die Zeltabbildung ist definiert durch:
- $ T_{2}\colon [0,1]\rightarrow [0,1],\;x\mapsto {\begin{cases}2x,&{\text{wenn }}x\in [0,{\frac {1}{2}}]\\2-2x,&{\text{wenn }}x\in {]{\frac {1}{2}},1]}\end{cases}} $
Fixpunkte und periodische Punkte
Für $ \textstyle x\in \{0,{\frac {2}{3}}\} $ bildet die Funktion den Eingabewert auf sich selbst ab. Des Weiteren ergibt sich aus der Struktur der Funktion, dass alle $ \textstyle x_{0}\in \mathbb {R} $, die sich als $ \textstyle x_{0}={\frac {a}{2^{n}}} $ mit $ a\in \{0,1,\dotsc ,2^{n}\} $ darstellen lassen, nach spätestens $ n+1 $ Iterationen den Fixpunkt $ \textstyle 0 $ erreichen. Außerdem gibt es für jedes $ \textstyle n\in \mathbb {N} $ periodische Punkte $ \textstyle x_{n} $ mit der Primperiode $ \textstyle n $, bei denen die $ n $-fach wiederholte Anwendung von $ \textstyle T_{2} $ zum Anfangswert $ \textstyle x_{n} $ führt[1]
- $ x_{n}\in {\begin{cases}\{0,{\frac {2}{3}}\},&{\text{wenn }}n=1\\\{{\frac {2}{5}},{\frac {4}{5}}\},&{\text{wenn }}n=2\\\{{\frac {2}{9}},{\frac {2}{7}},{\frac {4}{9}},{\frac {4}{7}},{\frac {6}{7}},{\frac {8}{9}}\},&{\text{wenn }}n=3\\\{\dots \},&{\text{wenn }}n\in \mathbb {N} \\\end{cases}} $
Demonstration des Schmetterlingseffekts
Wendet man die Zeltabbildung $ \textstyle T_{2}(x) $ $ \textstyle n $-fach hintereinander auf einen Anfangswert $ \textstyle x_{0} $ an, erhält man eine neue Abbildung $ \textstyle F_{x_{0}} $:
- $ F_{x_{0}}\colon \mathbb {N} \rightarrow [0,1],\;n\mapsto T_{2}^{n}(x_{0}) $
Differenz der Werte von $ \textstyle F_{x}(n) $ für $ \textstyle x_{0}=0{,}506 $ und $ \textstyle x_{0}=0{,}506127 $ aufgetragen gegen die Anzahl der Iterationen $ \textstyle n $. Schon nach wenigen Iterationen ist die Differenz der Ausgangszustände praktisch nicht mehr durch eine störungstheoretische Betrachtung des kleinen Unterschieds im Anfangswert vorhersagbar.
Vergleicht man die Werte von $ \textstyle F_{x}(n) $ für zwei beliebig nahe beieinander liegende $ \textstyle x $, findet man bei hinreichend großen $ \textstyle n $ innerhalb des Wertebereiches beliebig große Differenzen im Intervall $ (0,1) $.
Siehe auch
Dreiecksfunktion
Einzelnachweise
- ↑ Julio R. Hasfura-Buenaga, Phillip Lynch: Periodic Points of the Family of Tent Maps. (pdf) Abgerufen am 23. März 2017 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).
Weblink
Lehrmaterial zur Zeltabbildung von der Uni Mainz, abgerufen am 17. Juli 2018