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Das '''Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem''' (kurz | Das '''Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem''' (kurz „'''KAM-Theorem'''“) ist ein Resultat aus der Theorie der [[Dynamisches System|dynamischen Systeme]], das Aussagen über das Verhalten eines solchen Systems unter kleinen Störungen macht. Das Theorem löst partiell das Problem der kleinen Teiler, das in der [[Störungsrechnung]] von dynamischen Systemen, insbesondere in der [[Himmelsmechanik]], auftaucht. | ||
Das KAM-Theorem entsprang der Fragestellung, ob eine kleine Störung eines [[Konservative Kraft| | Das KAM-Theorem entsprang der Fragestellung, ob eine kleine Störung eines [[Konservative Kraft|konservativen]] dynamischen Systems zu einer quasiperiodischen Bewegung führt. Der Durchbruch bei der Beantwortung dieser Frage gelang [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|Andrei Kolmogorow]] im Jahre 1954 in seinem Plenarvortrag auf dem [[Internationaler Mathematikerkongress|Internationalen Mathematikerkongress]] in Amsterdam 1954 (The general theory of dynamical systems and classical mechanics).<ref>Proc. Int. Congress Math. Amsterdam 1954, North Holland 1957, Band 1, S. 315–333 (Russisch), englische Übersetzung in Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin-Cummings 1978 (2. Auflage), Appendix</ref><ref>Kolmogorow veröffentlichte dazu auch: On the conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton's function (Russisch), Dokl. Akad. Nauka SSSR, Band 98, 1954, S. 525–530, englische Übersetzung Lecture notes in physics 93, 1975, S. 51–56</ref> Das Resultat wurde 1962 von [[Jürgen Moser (Mathematiker)|Jürgen Moser]] für sogenannte ''smooth twist maps''<ref>Moser, On invariant curves of area preserving maps of an annulus, Nachrichten Gött. Akad. Wiss., 1962, S. 1–20</ref> und 1963 von [[Wladimir Igorewitsch Arnold|Wladimir Arnold]] für [[Hamiltonsches System|hamiltonsche Systeme]] streng bewiesen.<ref>Arnold, Proof of a theorem by A.N. Kolmogorov on the invariance of quasi-periodic motions under small perturbations of the Hamiltonian, Usp. Math. Nauka, Band 18, 1963, S. 13–40 bzw. englisch Russian Mathematical Surveys, Band 18, 1963, S. 9–36</ref><ref> Arnold, Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics, Russian Math. Surveys, Band 18, 1963, S. 85–191, Korrekturen in Russisch Uspekhi Mat. Nauk., Band 23, 1968, S. 216</ref> | ||
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Falls ein ungestörtes System nicht entartet ist, dann werden für genügend kleine autonome hamiltonsche Störungen die meisten nicht resonanten [[Torus|Tori]] lediglich leicht deformiert, so dass auch im [[Phasenraum]] des gestörten Systems [[invariant]]e Tori existieren, die von den Phasenbahnen dicht und quasiperiodisch umsponnen werden, wobei die Frequenzen rational unabhängig sind. Diese invarianten Tori bilden die Mehrheit in dem Sinne, dass das Maß des [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]]s ihrer Vereinigung klein ist, wenn die Störung schwach ist. | |||
Falls ein ungestörtes System nicht entartet ist, dann werden für genügend kleine autonome hamiltonsche Störungen die meisten nicht resonanten [[Torus|Tori]] lediglich leicht deformiert, so dass auch im [[Phasenraum]] des gestörten Systems | |||
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== Literatur == | == Literatur == | ||
* {{cite journal | author = [[Jürgen Pöschel]] | title = A lecture on the classical KAM-theorem | journal = Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (AMS) | volume = 69 | year = 2001 | pages = 707–732 | url = https://arxiv.org/abs/0908.2234}} | |||
* {{cite journal | author = Jürgen Pöschel | title = A lecture on the classical KAM-theorem | journal = Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (AMS) | volume = 69 | year = 2001 | pages = 707–732 | url = | |||
* Rafael de la Llave: ''A tutorial on KAM theory''. 2001, [http://www.ma.utexas.edu/mp_arc-bin/mpa?yn=01-29 Onlinekopie]. | * Rafael de la Llave: ''A tutorial on KAM theory''. 2001, [http://www.ma.utexas.edu/mp_arc-bin/mpa?yn=01-29 Onlinekopie]. | ||
* [[Hendrik Broer]]: [http://www.ams.org/bull/2004-41-04/S0273-0979-04-01009-2/home.html ''KAM-Theory – the legacy of Kolmogorovs 1954 paper''.] Bulletin American Mathematical Society, 2004 | * [[Hendrik Broer]]: [http://www.ams.org/bull/2004-41-04/S0273-0979-04-01009-2/home.html ''KAM-Theory – the legacy of Kolmogorovs 1954 paper''.] Bulletin American Mathematical Society, 2004 | ||
*H. Scott Dumas: The KAM story. A friendly introduction to content, significance and history of Kolmogorov-Arnold-Moser theory, World Scientific 2014 | * H. Scott Dumas: The KAM story. A friendly introduction to content, significance and history of Kolmogorov-Arnold-Moser theory, World Scientific 2014 | ||
*[[Alessandra Celletti (Mathematikerin)|Alessandra Celletti]], [[Luigi Chierchia]]: KAM stability and celestial mechanics, Memoirs AMS 2007 | * [[Alessandra Celletti (Mathematikerin)|Alessandra Celletti]], [[Luigi Chierchia]]: KAM stability and celestial mechanics, Memoirs AMS 2007 | ||
*[http://www.scholarpedia.org/article/Kolmogorov-Arnold-Moser_theory Luigi Chierchia, John Mather: Kolmogorov-Arnold-Moser theory], Scholarpedia | |||
== Einzelnachweise == | |||
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[[Kategorie:Satz (Mathematik)]] | [[Kategorie:Satz (Mathematik)]] | ||
[[Kategorie:Stabilitätstheorie]] | [[Kategorie:Stabilitätstheorie]] | ||
Das Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem (kurz „KAM-Theorem“) ist ein Resultat aus der Theorie der dynamischen Systeme, das Aussagen über das Verhalten eines solchen Systems unter kleinen Störungen macht. Das Theorem löst partiell das Problem der kleinen Teiler, das in der Störungsrechnung von dynamischen Systemen, insbesondere in der Himmelsmechanik, auftaucht.
Das KAM-Theorem entsprang der Fragestellung, ob eine kleine Störung eines konservativen dynamischen Systems zu einer quasiperiodischen Bewegung führt. Der Durchbruch bei der Beantwortung dieser Frage gelang Andrei Kolmogorow im Jahre 1954 in seinem Plenarvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Amsterdam 1954 (The general theory of dynamical systems and classical mechanics).[1][2] Das Resultat wurde 1962 von Jürgen Moser für sogenannte smooth twist maps[3] und 1963 von Wladimir Arnold für hamiltonsche Systeme streng bewiesen.[4][5]
Das Hauptresultat der KAM-Theorie garantiert die Existenz von quasiperiodischen Lösungen für eine gewisse Klasse von Differentialgleichungen. Eine wichtige Unterklasse davon bilden die Differentialgleichungen für das sogenannte n-Körperproblem. Quasiperiodische Lösungen können nahe beieinander liegen, aber zwischen ihnen können instabile Bahnen liegen, so dass in der Praxis wegen beispielsweise endlicher Messgenauigkeit nicht entschieden werden kann, ob man sich auf einer stabilen oder instabilen Bahn befindet. Für das Planetensystem kann gezeigt werden, dass die instabilen Bahnen sehr viel seltener sind als die stabilen.
Falls ein ungestörtes System nicht entartet ist, dann werden für genügend kleine autonome hamiltonsche Störungen die meisten nicht resonanten Tori lediglich leicht deformiert, so dass auch im Phasenraum des gestörten Systems invariante Tori existieren, die von den Phasenbahnen dicht und quasiperiodisch umsponnen werden, wobei die Frequenzen rational unabhängig sind. Diese invarianten Tori bilden die Mehrheit in dem Sinne, dass das Maß des Komplements ihrer Vereinigung klein ist, wenn die Störung schwach ist.