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Im vierdimensionalen [[Minkowski-Raum]] (3 Raumdimensionen plus die Zeit) bzw. in der [[Raumzeit]] ist der De-Sitter-Raum das Analogon zu einer [[Kugel]] im gewöhnlichen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]. | Im vierdimensionalen [[Minkowski-Raum]] (3 Raumdimensionen plus die Zeit) bzw. in der [[Raumzeit]] ist der De-Sitter-Raum das Analogon zu einer [[Kugel]] im gewöhnlichen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]. | ||
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[[ | [[Datei:Penrose Diagramm des De-Sitter-Raums.png|mini|300px|Penrose-Diagramm des De-Sitter-Raums. Die η-Koordinate kompaktifiziert die Zeit τ auf das Intervall [-π/2,π/2]. Der Winkel θ beschreibt im Intervall [-π/2,π/2] einen beliebigen Halbkreis zwischen zwei beliebigen Antipoden S und N (der zweite Halbkreis ist nicht dargestellt). Licht bewegt sich überall im Diagramm in diagonaler Richtung nach links oder rechts oben. Ein Beobachter am Nordpol (N) empfängt kein Signal von der linken oberen Hälfte (grau dargestellt).]] | ||
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Einige Autoren schlugen im Rahmen von Theorien der Quantengravitation anstelle des Minkowski-Raumes den De-Sitter-Raum als grundlegenden Raum für die [[spezielle Relativitätstheorie]] vor und nannten dies ''De-Sitter-Relativität''.<ref>[ | Einige Autoren schlugen im Rahmen von Theorien der Quantengravitation anstelle des Minkowski-Raumes den De-Sitter-Raum als grundlegenden Raum für die [[spezielle Relativitätstheorie]] vor und nannten dies ''De-Sitter-Relativität''.<ref>[https://arxiv.org/abs/0711.2274 R. Aldrovandi, J. G. Pereira, de Sitter Relativity: a New Road to Quantum Gravity?, arxiv.org, 2007]</ref> | ||
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* [[Anti-de-Sitter-Raum]] | * [[Anti-de-Sitter-Raum]] | ||
* [[Einstein-de-Sitter-Modell]] | * [[Einstein-de-Sitter-Modell]] |
In Mathematik und Physik ist ein $ n $-dimensionaler De-Sitter-Raum (nach Willem de Sitter), notiert $ dS_{n} $, die lorentzsche Mannigfaltigkeit analog zu einer n-Sphäre (mit ihrer kanonischen riemannschen Mannigfaltigkeit); er ist maximal symmetrisch, hat eine konstante positive Krümmung und ist einfach zusammenhängend für $ n\geq 3 $.
Im vierdimensionalen Minkowski-Raum (3 Raumdimensionen plus die Zeit) bzw. in der Raumzeit ist der De-Sitter-Raum das Analogon zu einer Kugel im gewöhnlichen euklidischen Raum.
In der Sprache der allgemeinen Relativitätstheorie ist der De-Sitter-Raum die maximal symmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit einer positiven (repulsiven) kosmologischen Konstanten $ \Lambda $ (entsprechend einer positiven Vakuumenergiedichte und negativem Druck) und damit ein kosmologisches Modell für das physikalische Universum; siehe De-Sitter-Modell.
Der De-Sitter-Raum wurde 1917 von Willem de Sitter entdeckt und gleichzeitig – unabhängig von de Sitter – von Tullio Levi-Civita.
Der De-Sitter-Raum kann definiert werden als Untermannigfaltigkeit eines Minkowski-Raumes einer höheren Dimension.
Betrachtet man also den Minkowski-Raum $ \mathbb {R} ^{1,n} $ mit dem üblichen metrischen Tensor
Dann ist der De-Sitter-Raum die Untermannigfaltigkeit, die durch das einschalige Hyperboloid
beschrieben wird, wobei $ \alpha $ eine positive Konstante ist mit der Dimension einer Länge. Der metrische Tensor des De-Sitter-Raumes ist derjenige, der vom metrischen Tensor des Minkowski-Raumes erzeugt wird. Man kann überprüfen, dass die erzeugte Metrik nicht-entartet ist und eine Signatur der Form (1,k,0) hat. (Wenn in obiger Definition $ \alpha ^{2} $ durch $ -\alpha ^{2} $ ersetzt wird, erhält man ein zweischaliges Hyperboloid. In diesem Fall ist die erzeugte Metrik positiv definit, und jede der beiden Schalen ist eine Kopie einer hyperbolischen n-Geometrie.)
Der De-Sitter-Raum kann auch definiert werden als Quotient $ {\tfrac {\mathrm {O} (1,n)}{\mathrm {O} (1,n-1)}} $ zweier Lorentz-Gruppen, was zeigt, dass er ein nicht-Riemannscher symmetrischer Raum ist.
Topologisch ist der De-Sitter-Raum von der Form $ \mathbb {R} \times S^{n-1} $.
Die Isometriegruppe des De-Sitter-Raumes ist die Lorentz-Gruppe $ \mathrm {O} (1,n) $. Daher hat die Metrik $ {\tfrac {n(n+1)}{2}} $ unabhängige Killing-Vektoren und ist maximal symmetrisch. Jeder maximal symmetrische Raum hat konstante Krümmung. Der Riemannsche Krümmungstensor $ R_{\rho \sigma \mu \nu } $ des De-Sitter-Raumes ist
Der De-Sitter-Raum ist eine Einstein-Mannigfaltigkeit, da der Ricci-Tensor $ R_{\mu \nu } $ proportional zur Metrik $ g_{\mu \nu } $ ist:
Das heißt, der De-Sitter-Raum ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante
Das Krümmungsskalar dieses Raumes ist
Für n = 4 ergibt sich Λ = 3/α2 und R = 4Λ = 12/α2.
Für den De-Sitter-Raum lassen sich statische Koordinaten (Zeit $ t $, Radius $ r $, …) wie folgt einführen:
wobei $ z_{i} $ die Standard-Einbettung der Sphäre $ S^{n-2} $ in Rn−1 darstellt.
In diesen Koordinaten nimmt die De-Sitter-Metrik folgende Form an:
Zu beachten: es gibt einen kosmologischen Horizont bei $ r=\alpha $.
Ansatz:
wobei $ r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}. $
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes in $ (t,y_{i}) $-Koordinaten:
mit $ dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2} $ der flachen Metrik auf $ y_{i} $.
Ansatz:
wobei die $ z_{i} $ eine $ S^{n-1} $-Sphäre beschreiben.
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:
Wird die Zeit-Variable $ t $ geändert in die konforme Zeit $ \eta $:
so erhält man eine Metrik, die konform äquivalent zum statischen Einstein-Universum ist:
Der De-Sitter-Raum und das Einstein-Universum haben deshalb das gleiche Penrose-Diagramm.
Ansatz:
wobei $ \sum _{i}z_{i}^{2}=1 $ eine Sphäre $ S^{n-2} $ formt mit der Standard-Metrik $ \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}. $
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes
mit $ dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi \cdot d\Omega _{n-2}^{2} $ der Metrik eines hyperbolischen euklidischen Raumes.
Ansatz:
wobei die $ z_{i} $ eine $ S^{n-3} $-Sphäre beschreiben.
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:
wobei
die Metrik eines $ n-1 $-dimensionalen De-Sitter-Raumes in offenen Slicing-Koordinaten ist, mit Krümmungsradius $ \alpha $.
Die hyperbolische Metrik lautet:
Dies ist die analytische Fortsetzung der offenen Slicing-Koordinaten
und außerdem der Tausch von $ x_{0} $ und $ x_{2} $, weil sie ihre zeit- bzw. raumartigen Eigenschaften verändern.
Einige Autoren schlugen im Rahmen von Theorien der Quantengravitation anstelle des Minkowski-Raumes den De-Sitter-Raum als grundlegenden Raum für die spezielle Relativitätstheorie vor und nannten dies De-Sitter-Relativität.[1]