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| [[Bild:Drum vibration mode01.gif|thumb|Drei monopolare Normalschwingungen einer kreisrunden [[Schwingungsmembran|Membran]].<br />Oben die (0,1)-Mode, ...]] | | #WEITERLEITUNG [[Eigenmode]] |
| [[Bild:Drum vibration mode02.gif|thumb|... in der Mitte die (0,2)-Mode ...]]
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| [[Bild:Drum vibration mode03.gif|thumb|... und unten die (0,3)-Mode.]]
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| Die '''Normalschwingungen''' in einem [[oszillierend]]en System sind voneinander [[linear unabhängig]]e Schwingungszustände. Dieses Konzept ist von zentraler Bedeutung in der [[Mechanik]], der [[Optik]], der [[Quantenmechanik]] und der [[Kristallographie]].
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| Jede [[harmonische Schwingung]] eines Systems, auch wenn es [[Impuls]]e abgibt (z. B. [[Modenkopplung|modengekoppelter]] [[Laser]]), kann z. B. mittels der [[Fouriertransformation]] aus einer [[Linearkombination]]en seiner Normalschwingungen beschrieben werden. Dazu wird das zugehörige gekoppelte mehrdimensionale Schwingungsproblem gelöst, indem man die [[Bewegungsgleichung]]en seiner gekoppelten [[Oszillator]]en zunächst in Form eines Systems von [[Differentialgleichung]]en
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| :<math>\ddot x_i = \sum_j A_{ij} \cdot x_j</math>
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| modelliert. Dadurch reduziert sich das Problem auf ein [[Eigenwertproblem]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Die Normalschwingungen sind dann durch die [[Eigenvektor]]en der [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> und die Normalfrequenzen durch die Eigenwerte gegeben.
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| {{Anker|Normalkoordinaten}}
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| Die '''Normalkoordinaten''' geben an, zu welchem Anteil eine Schwingung aus den durch die Eigenvektoren dargestellten Normalschwingungen besteht.
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| Zum Ermitteln der Normalschwingungen kann das Verhalten bei [[Anregung]] mit variablen [[Frequenz]]en untersucht werden.
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| == Normalschwingungen von Molekülen ==
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| Ein gewinkeltes N-atomiges [[Molekül]] hat <math>3N</math> [[Freiheitsgrad#Thermodynamik_und_statistische_Mechanik|Freiheitsgrade]] und davon sind <math>3N - 6</math> Normalschwingungen, ein lineares Molekül hat <math>3N - 5</math> Normalschwingungen. Die [[Symmetrie (Physik)|Symmetrien]] dieser [[Molekülschwingung]]en können durch die [[Gruppentheorie|gruppentheoretischen]] [[Charaktertafel]]n beschrieben werden. Eine Normalschwingung stellt eine [[Verknüpfungsbasis|Basis]] für eine [[irreduzible Darstellung]] der [[Punktgruppe]] des schwingenden Moleküls dar. Die Frequenz <math>f</math> bzw. die [[Wellenzahl]] <math>\nu</math> der jeweiligen Normalschwingung berechnet sich dem Modell des [[harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] nach:
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| :<math>f = \nu \cdot c = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{\mu}}</math>
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| wobei
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| * <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]]
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| * <math>k</math> die [[Kraftkonstante]] und
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| * <math>\mu</math> die [[reduzierte Masse]] darstellen.
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| === Normalkoordinaten ===
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| Wird z. B. die Bewegungsgleichung für die [[Molekülschwingung|Schwingungen der Atome in einem Molekül]] gelöst, so beschreiben die Normalkoordinaten diese Schwingungen als Abweichungen der [[Atom]]e von den [[Gleichgewichtslage]]n im Ruhesystem des Moleküls, wobei sich der [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] nicht verändert.
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| Durch die Transformation von [[kartesische Koordinaten|kartesischen]] zu Normalkoordinaten werden die Schwingungsgleichungen entkoppelt und zugleich gelöst. Im Gegenzug (Rücktransformation) können die Normalschwingungen bei einem ''N''-atomigen Molekül mit Hilfe eines ''3N''-dimensionalen kartesischen [[Vektor]]s dargestellt werden.
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| ==== Beispiele ====
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| * [[Kohlenmonoxid]] hat nur eine Schwingung, nämlich eine [[Streckschwingung]]: ↔ <sup>12</sup>C-<sup>16</sup>O ↔
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| Damit sich der Schwerpunkt des Moleküls nicht verschiebt, muss <sup>12</sup>C sich (16/12)-mal so weit wie <sup>16</sup>O von der Gleichgewichtsposition wegbewegen.
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| * Bei [[Wasserstoff]] können sich beide H-Atome nur gleich weit vom Schwerpunkt entfernen.
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| Wenn gerade die Hälfte eines Schwingungsvorgangs erfolgt ist, wäre Q = 1/2.
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| == Normalschwingungen in der Quantenmechanik ==
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| In der [[Quantenmechanik]] wird der Zustand eines Systems durch eine [[Wellenfunktion]] <math>\psi(x,t)</math> beschrieben, die eine Lösung der [[Schrödingergleichung]] darstellt. Das [[Betragsquadrat]] der Wellenfunktion
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| :<math>\ P(x,t) = |\psi (x,t)|^2</math>
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| ist die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]], das [[Teilchen]] an einem Ort ''x'' zur Zeit ''t'' wahrzunehmen.
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| Normalerweise wird, wenn man irgendeine Art von [[Potential (Physik)|Potential]] einführt, die Wellenfunktion in eine [[Superposition (Physik)|Superposition]] (Linearkombination) von [[Eigenzustand|Eigenzuständen]] zerlegt, wobei jeder Eigenzustand mit einer Frequenz <math> \omega = E_n / \hbar </math> oszilliert und einer Normalschwingung entspricht. Deshalb schreibt man
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| :<math>|\psi (t) \rang = \sum_n |n \rang \left \langle n | \psi (t=0) \right \rangle e^{-i E_n t/\hbar}</math>
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| mit
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| * der [[imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>i</math>
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| * dem reduzierten [[plancksches Wirkungsquantum|planckschen Wirkungsquantum]] <math>\hbar</math>.
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| == Siehe auch ==
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| * [[Schwingungsspektroskopie]]
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| * Begriffsklärung [[Normalkoordinaten]]
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| * [[Moden]]
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| == Literatur ==
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| * ''[[Bergmann-Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik]]'' Band IV Teil 1: ''Aufbau der Materie'' 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin, 1987, ISBN 3-11-008074-5
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| * D. M. Riffe, Utah State University: ''[http://www.physics.usu.edu/riffe/3750/Lecture%203.pdf Two Coupled Oscillators / Normal Modes]'' Vorlesungsscript (PDF, engl.; 328 kB)
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| [[Kategorie:Schwingung]]
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| [[Kategorie:Theoretische Chemie]]
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| [[Kategorie:Schwingungslehre]] | | [[Kategorie:Schwingungslehre]] |