imported>HilberTraum |
imported>Nabloodel |
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| Als '''[[Wirbel (Strömungslehre)|wirbel]]<nowiki/>frei''' bzw. '''[[Konservatives Feld|konservativ]]''' wird in der [[Physik]] und [[Potentialtheorie]] ein [[Vektorfeld]] <math>\vec X(\vec r)</math> bezeichnet, in dem das [[Kurvenintegral]]
| | #WEITERLEITUNG [[Gradientenfeld]] |
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| :<math>\oint_S \vec X(\vec r) \cdot \mathrm d\vec s = 0</math>
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| für beliebige in sich geschlossene Randkurven S stets den Wert null liefert. Deutet man <math>\vec X(\vec r)</math> als [[Kraftfeld (Physik)|Kraftfeld]], so ist das Ringintegral die gesamte längs der Randkurve S gegen die [[Kraft]] <math>\vec X(\vec r)</math> verrichtete [[Arbeit (Physik)|Arbeit]].
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| Wirbelfrei sind z. B. das ruhende [[elektrisches Feld|elektrische Feld]] und das [[Gravitationsfeld]], aber auch Felder wie das [[Geschwindigkeitsfeld]] einer [[Potentialströmung]].
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| Ist <math>\vec X(\vec r)</math> wirbelfrei, dann gilt
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| :<math>\mathrm{rot}\ \vec X(\vec r) = \vec 0</math>, d. h. die [[Rotation (Mathematik)|Rotation]] des Vektorfeldes ist gleich null (Namensgebung).
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| Ist der Definitionsbereich [[Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]], so gilt auch die Umkehrung.
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| Wirbelfreie Vektorfelder lassen sich stets als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] eines zugrundeliegenden [[Skalar (Mathematik)|skalaren]] Felds <math>\Phi(\vec r)\ </math> formulieren:
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| :<math>\vec X(\vec r) = \mathrm{grad}\ \Phi(\vec r) = \vec \nabla \, \Phi(\vec r)</math>,
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| so dass außerdem gilt:<ref>Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, [[Herbert Kästner]] (Hrsg.): ''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' Leipzig 1970, S. 549.</ref>
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| :<math>\mathrm{rot}\ (\mathrm{grad}\ \Phi(\vec r)) = \vec 0</math>.
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| == Siehe auch ==
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| * [[Quellfrei]]
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| * [[Satz von Stokes]]
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| * [[Poincaré-Lemma]]
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| == Einzelnachweise ==
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| <references />
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| [[Kategorie:Feldtheorie]] | | [[Kategorie:Feldtheorie]] |
| [[Kategorie:Vektoranalysis]] | | [[Kategorie:Vektoranalysis]] |
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| [[ca:Irrotacional]]
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| [[en:Irrotational]]
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| [[pl:Pole bezwirowe]]
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| [[ru:Потенциальное векторное поле]]
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