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Das '''Nielsen-Ninomiya-Theorem''' | Das '''Nielsen-Ninomiya-Theorem''' aus der [[Gittereichtheorie]] besagt, dass bei einer [[Diskretisierung]] einer [[Feldtheorie (Physik)|Feldtheorie]] mit [[Fermion]]en die Anzahl [[Chiralität (Physik)|rechts- und linkshändiger]] Teilchen gleich ist. Voraussetzung sind lediglich einige allgemeine Annahmen über den [[Hamiltonoperator]]. Das Theorem ist nach [[Holger Bech Nielsen]] und [[Masao Ninomiya]] benannt und wurde 1981 aufgestellt. | ||
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Versucht man eine einfache Diskretisierung einer Feldtheorie mit | Versucht man eine einfache Diskretisierung einer Feldtheorie mit Fermionen, indem man in der [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] | ||
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die Ableitung durch Differentialquotienten ersetzt, so stellt man fest, dass dies zu einer Verdopplung der Teilchen für jede vorhandene Dimension führt. Die Anzahl | die [[Differentialrechnung #Ableitungsfunktion|Ableitung]] durch [[Differentialrechnung|Differentialquotienten]] ersetzt,<!-- bitte erklären: was ist der Unterschied zwischen Ableitung und Differentialquotient? --> so stellt man fest, dass dies zu einer Verdopplung der Teilchen für jede vorhandene Dimension führt. Die Anzahl links- und rechtshändiger Teilchen ist dabei gleich. | ||
== Formulierung == | == Formulierung == | ||
Nielsen und Ninomiya haben gezeigt, dass das Phänomen der Verdoppelung unter sehr allgemeinen Voraussetzungen auftritt: Für jede Quantenzahl existiert eine gleiche Anzahl links- und rechtshändiger Teilchen, falls der Hamiltonoperator translationsinvariant, lokal und [[Hermitescher Operator|hermitesch]] ist. | Nielsen und Ninomiya haben gezeigt, dass das Phänomen der Verdoppelung unter sehr allgemeinen Voraussetzungen auftritt: Für jede [[Quantenzahl]] existiert eine gleiche Anzahl links- und rechtshändiger Teilchen, falls der Hamiltonoperator [[Translationsinvarianz|translationsinvariant]], [[Lokalität (Physik)|lokal]] und [[Hermitescher Operator|hermitesch]] ist. | ||
== Fermionen auf dem Gitter == | == Fermionen auf dem Gitter == | ||
Für die Simulation von Fermionen auf dem Gitter gibt es verschiedene Ansätze. Die Idee von [[Kenneth Wilson|Wilson]] war alle „Doppler“ mit einer zusätzlichen Masse zu versehen, die im | Für die Simulation von Fermionen auf dem [[Gitter]] gibt es verschiedene Ansätze. | ||
Aber auch eine Erzeugung | Die Idee von [[Kenneth Wilson|Wilson]] war, alle „Doppler“ mit einer zusätzlichen Masse zu versehen, die im [[Kontinuum (Physik)|Kontinuum]]<nowiki/>limes gegen unendlich geht und so die Doppler zu entkoppeln.<ref>K.G. Wilson, ''Quarks and strings on a lattice'' New Phenomena in Subnuclear Physics Part A (1975) 69.</ref> | ||
Ein anderer Ansatz wurde von [[Leonard Susskind|Susskind]] verfolgt<ref>J. Kogut und L. Susskind, ''Hamilon formulation of Wilson’s lattice gauge theories'' Phys. Rev. D 11 (1975) 395.</ref><ref>T.Banks, J. Kogut und L. Susskind, ''Strong coupling calculations of lattice gauge theories: (1+1) dimensional exercises'' Phys. Rev. D 13 (1976) 1043.</ref>: Hier werden die Doppler als zusätzliche [[Flavour]] (Quantenzahl) behandelt. Diese Teilchen werden als [[Staggered-Fermion]]en bezeichnet. | |||
Aber auch eine Erzeugung chiraler Fermionen auf dem Gitter – beispielsweise für eine Simulation eines minimalen [[Standardmodell]]s – ist trotz des Nielsen-Ninomiya-Theorems möglich; hierzu muss lediglich eine Voraussetzungen des Theorems verletzt werden. Eine Variante ist die [[Symmetriebrechung|Brechung]] der Translationsinvarianz durch Einführung einer zusätzlichen Dimension, wie es bei den [[Domain-Wall-Fermion]]en geschieht. | |||
== Literatur == | == Literatur == | ||
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* H.B. Nielsen and M. Ninomiya, ''Absence of neutrinos on a lattice. 2. Intuitive topological proof'' Nucl. Phys. B193 (1981) 173. | * H.B. Nielsen and M. Ninomiya, ''Absence of neutrinos on a lattice. 2. Intuitive topological proof'' Nucl. Phys. B193 (1981) 173. | ||
* H.B. Nielsen and M. Ninomiya, ''No Go Theorem for Regularizing Chiral Fermions'' Phys. Lett. B105 (1981) 219. | * H.B. Nielsen and M. Ninomiya, ''No Go Theorem for Regularizing Chiral Fermions'' Phys. Lett. B105 (1981) 219. | ||
* D. Friedan, ''A proof of the Nielsen-Ninomiya theorem'' Comm. Math. Phys. 85 (1982) 481. | * D. Friedan, ''A proof of the Nielsen-Ninomiya theorem'' Comm. Math. Phys. 85 (1982) 481. | ||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
Das Nielsen-Ninomiya-Theorem aus der Gittereichtheorie besagt, dass bei einer Diskretisierung einer Feldtheorie mit Fermionen die Anzahl rechts- und linkshändiger Teilchen gleich ist. Voraussetzung sind lediglich einige allgemeine Annahmen über den Hamiltonoperator. Das Theorem ist nach Holger Bech Nielsen und Masao Ninomiya benannt und wurde 1981 aufgestellt.
Versucht man eine einfache Diskretisierung einer Feldtheorie mit Fermionen, indem man in der Wirkung
die Ableitung durch Differentialquotienten ersetzt, so stellt man fest, dass dies zu einer Verdopplung der Teilchen für jede vorhandene Dimension führt. Die Anzahl links- und rechtshändiger Teilchen ist dabei gleich.
Nielsen und Ninomiya haben gezeigt, dass das Phänomen der Verdoppelung unter sehr allgemeinen Voraussetzungen auftritt: Für jede Quantenzahl existiert eine gleiche Anzahl links- und rechtshändiger Teilchen, falls der Hamiltonoperator translationsinvariant, lokal und hermitesch ist.
Für die Simulation von Fermionen auf dem Gitter gibt es verschiedene Ansätze.
Die Idee von Wilson war, alle „Doppler“ mit einer zusätzlichen Masse zu versehen, die im Kontinuumlimes gegen unendlich geht und so die Doppler zu entkoppeln.[1]
Ein anderer Ansatz wurde von Susskind verfolgt[2][3]: Hier werden die Doppler als zusätzliche Flavour (Quantenzahl) behandelt. Diese Teilchen werden als Staggered-Fermionen bezeichnet.
Aber auch eine Erzeugung chiraler Fermionen auf dem Gitter – beispielsweise für eine Simulation eines minimalen Standardmodells – ist trotz des Nielsen-Ninomiya-Theorems möglich; hierzu muss lediglich eine Voraussetzungen des Theorems verletzt werden. Eine Variante ist die Brechung der Translationsinvarianz durch Einführung einer zusätzlichen Dimension, wie es bei den Domain-Wall-Fermionen geschieht.