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| In der [[Festkörperphysik]] beschreibt das '''Einstein-Modell''' (nach [[Albert Einstein]]) eine Methode, um den Beitrag der [[Gitterschwingung]]en ([[Phonon]]en) zur [[Wärmekapazität]] eines [[kristall]]inen [[Festkörper]]s zu berechnen. Da sich das Einstein-Modell ausschließlich auf [[Phonon #Schwingungsmoden|optische Phononen]] anwenden lässt, ist es nicht so erfolgreich wie das [[Debye-Modell]], das auch [[Phonon #Schwingungsmoden|akustische Phononen]] beschreibt.
| | #WEITERLEITUNG [[Einsteinmodell]] |
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| == Grundlagen des Modells ==
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| Die Gitterschwingungen des Kristalls werden [[Quantelung|gequantelt]], d. h. der Festkörper kann [[Schwingungsenergie]] nur in [[diskret]]en [[Quant]]en <math>\hbar \cdot \omega_E</math> aufnehmen. Diese Quanten nennt man auch [[Phonon]]en. Man beschreibt den Festkörper dann als aus ''N'' [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)|quantenharmonischen Oszillatoren]] bestehend, die jeweils in drei Richtungen unabhängig schwingen können. Die Besetzungs[[wahrscheinlichkeit]] <math>\langle n \rangle</math> einer solchen [[Schwingungsmode]] (eines Phonons) hängt von der [[Temperatur]] ''T'' ab und folgt (da Phononen [[Boson]]en sind) der [[Bose-Einstein-Verteilung]]:
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| :<math>\langle n \rangle = \frac{1}{\exp \left( \frac{\hbar \cdot \omega_E}{k_B \cdot T} \right) - 1}</math>
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| mit
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| * <math>\hbar</math>: reduziertes [[Plancksches Wirkungsquantum]]
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| * <math>\omega_E</math>: [[Einstein-Frequenz]] ([[Kreisfrequenz]])
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| * <math>k_B</math>: [[Boltzmann-Konstante]].
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| Damit ergibt sich die [[innere Energie]] ''U'' im Festkörper zu (Es wurde die Quantisierungsbedingung des harmonischen Oszillators verwendet):
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| :<math>\begin{align}
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| U & = 3N \cdot \hbar \cdot \omega_E \cdot \left( \langle n \rangle + \frac{1}{2} \right)\\
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| & = 3N \cdot \hbar \cdot \omega_E\cdot \left[ \frac{1}{\exp \left( \frac{\hbar \cdot \omega_E}{k_B \cdot T} \right) - 1} + \frac{1}{2} \right]
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| \end{align}</math>
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| mit
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| * <math>N</math>: [[Teilchenzahl]].
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| Der Beitrag <math>\frac{\hbar \cdot \omega_E}{2}</math> gibt die [[Nullpunktenergie]] an.
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| Der Beitrag der Phononen zur Wärmekapazität ist dann:
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| :<math>C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{V={\rm const}} = 3N \cdot \frac{(\hbar \cdot \omega_E)^2}{k_B \cdot T^2} \cdot \frac{\exp \left( \frac{\hbar \cdot \omega_E}{k_B \cdot T} \right)}{\left[ \exp \left( \frac{\hbar \cdot \omega_E}{k_B \cdot T} \right) - 1 \right]^2}</math>
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| mit
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| * <math>V</math>: [[Volumen]].
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| Mit der Einstein-Temperatur <math>\Theta_E = \frac{\hbar \cdot \omega_E}{k_B}</math> ergibt sich eine einfachere Schreibweise:
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| :<math>C_V \left( T \right) = 3 N \cdot k_B \cdot \left( \frac{\Theta_E}{T} \right)^2 \cdot \frac{\exp \left( \frac{\Theta_E}{T} \right) }{\left[ \exp \left( \frac{\Theta_E}{T} \right) - 1 \right]^2}</math>
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| == Versagen bei tiefen Temperaturen ==
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| Wie das Debye-Modell liefert das Einstein-Modell das korrekte Hochtemperaturlimit nach dem [[Dulong-Petit-Gesetz]]:
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| :<math>T \rightarrow \infty:\ \ C_V \rightarrow 3 \cdot N \cdot k_B</math>
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| Im [[Grenzwert (Funktion)|Limes]] kleiner Temperaturen ergibt sich:
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| :<math>T \rightarrow 0:\ \ C_V \propto e^{-\Theta_E / T} \rightarrow 0</math>
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| Dieser Verlauf von ''C<sub>V</sub>(T)'' für kleine Temperaturen weicht allerdings erheblich von Messungen ab. Dies hängt mit der Annahme zusammen, alle harmonischen Oszillatoren im Festkörper würden mit einer einheitlichen Frequenz schwingen. Die Verhältnisse im realen Festkörper sind jedoch deutlich komplizierter.
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| == Literatur ==
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| * "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme", A. Einstein, Annalen der Physik, volume 22, pp. 180-190, 1907.
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| {{SORTIERUNG:Einsteinmodell}}
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| [[Kategorie:Festkörperphysik]]
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| [[Kategorie:Albert Einstein]]
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