Ewaldkugel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. Februar 2022, 15:14 Uhr

Ewaldkonstruktion

Mit Hilfe der Ewaldkugel (benannt nach Paul Peter Ewald) lässt sich die Laue-Bedingung für konstruktive Interferenz bei der Streuung an einem Kristall anschaulich darstellen. Die Konstruktion verknüpft dabei den (realen) Ortsraum und den reziproken Raum.

Konstruktion

Im Folgenden wird für das reziproke Gitter

die kristallographische Definition $|{\vec {k}}|={\frac {1}{\lambda }}$ verwendet
anstatt der in der Festkörperphysik üblichen $|{\vec {k}}|={\frac {2\pi }{\lambda }}$ ,

jeweils mit

der Wellenlänge λ des einfallenden Strahls (im Bild Röntgenstrahlung)
dem Wellenvektor ${\vec {k}}$ .

Die Kugel wird wie folgt konstruiert (vgl. die Abbildung): Im Zentrum der Ewaldkugel liegt der Ursprung des Realraums, in dem sich der zu messende Kristall befindet (im Bild grün gezeichnet). Der Radius der Ewaldkugel beträgt 1/λ. Daher liegen alle Wellenvektoren ${\vec {k}}$ auf der Oberfläche dieser Kugel (im Bild rot gezeichnet).

Der Ursprung des zu diesem Kristallgitter gehörenden reziproken Gitters (Punkte im Bild) wird in den Schnittpunkt der Ewaldkugel mit dem primären Röntgenstrahl gelegt, der durch den Kristall geht (im Bild blau gezeichnet). Der Röntgenstrahl läuft daher immer entlang eines Kugeldurchmessers.

Drehungen des Kristalls um den Ursprung des realen Raums führen zu einer entsprechenden Drehung des reziproken Gitters um den Ursprung des reziproken Raums. Reziprokes Gitter und Kristall behalten dabei dieselbe Orientierung. Wird der Kristall so gedreht, dass noch ein weiterer Punkt des reziproken Gitters auf der Oberfläche der Ewaldkugel liegt, so erfüllt der entsprechende Wellenvektor ${\vec {k_{s}}}$ zusätzlich die Bedingung

\Delta {\vec {k}}={\vec {k_{s}}}-{\vec {k_{i}}}={\vec {G}}

(ein Vektor des reziproken Gitters).

Dies ist die Laue-Bedingung. Genau in diesem Fall findet also elastische Streuung in Richtung von ${\vec {k_{s}}}$ statt.

Interpretation

Diese Konstruktion dient zur Veranschaulichung vieler Messverfahren in der Kristallographie. Aus ihr wird z. B. ersichtlich, dass nur die Punkte des reziproken Gitters die Laue-Bedingung erfüllen können, die in einer Entfernung kleiner $2|{\vec {k_{s}}}|$ vom Ursprung entfernt liegen (im Bild dargestellt durch den schwarzen Kreis, die Lagenkugel mit Radius 2/λ).

So wird auch anschaulich klar, warum bei großen Wellenlängen $\lambda$ (d. h. kleiner Wellenzahl $|{\vec {k}}|=k$ ) keine Beugung am Kristall stattfinden kann: Es gibt keine möglichen Vektoren ${\vec {G}}$ mehr, die die Laue-Bedingung erfüllen können, da die Ewald-Kugel zu klein wird.

Siehe auch

Literatur

P. P. Ewald: Zur Theorie der Interferenzen der Röntgenstrahlen in Kristallen. In: Physik. Z. Band 14, 1913, S. 465–472.
Martin J. Buerger: Kristallographie. 1. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1977, ISBN 3-11-004286-X.

Weblinks

Ewald sphere (IUCr, engl.)

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-[[File:Ewaldkugel.png|thumb|Ewaldkonstruktion]]
+[[Datei:Ewaldkugel.png|mini|Ewaldkonstruktion|350x350px]]
-Mit Hilfe der '''Ewald-Kugel''' (benannt nach [[Paul Peter Ewald]]) lässt sich die [[Laue-Bedingung]] für konstruktive Interferenz bei der Streuung an einem Kristall anschaulich darstellen. Die Konstruktion verknüpft dabei den realen und den [[Reziproker Raum | reziproken Raum]]. Im Folgenden wird die kristallographische Definition des reziproken Gitters verwendet (<math>|\vec{k}|=\frac{1}{\lambda}</math> anstatt der in der [[Festkörperphysik]] üblichen <math>|\vec{k}|=\frac{2\pi}{\lambda}</math>).
+Mit Hilfe der '''Ewaldkugel''' (benannt nach [[Paul Peter Ewald]]) lässt sich die [[Laue-Bedingung]] für [[konstruktive Interferenz]] bei der [[Streuung (Physik)|Streuung]] an einem [[Kristall]] anschaulich darstellen. Die Konstruktion verknüpft dabei den (realen) [[Ortsraum]] und den [[Reziproker Raum |reziproken Raum]].
+== Konstruktion ==
+Im Folgenden wird für das reziproke Gitter
+* die [[Kristallographie|kristallographisch]]e Definition <math>|\vec{k}| = \frac{1}{\lambda}</math> verwendet
+* anstatt der in der [[Festkörperphysik]] üblichen <math>|\vec{k}| = \frac{2\pi}{\lambda}</math>,
+jeweils mit
+* der [[Wellenlänge]]&nbsp;λ des einfallenden Strahls (im Bild [[Röntgenstrahlung]])
+* dem [[Wellenvektor]] <math>\vec{k}</math>.
 Die Kugel wird wie folgt konstruiert (vgl. die Abbildung):
-Im Zentrum der Ewaldkugel liegt der Ursprung des Realraums, in dem sich der zu messende Kristall befindet (im Bild grün gezeichnet). Der Radius der Ewaldkugel beträgt 1/λ, wobei λ die Wellenlänge des einfallenden Strahls ist (im Bild Röntgenstrahlung). Daher liegen alle Wellenvektoren <math>\vec {k} </math> mit <math>| \vec {k} | = \frac {1}{\lambda} </math> auf der Oberfläche dieser Kugel (im Bild rot gezeichnet).
+Im Zentrum der Ewaldkugel liegt der Ursprung des Realraums, in dem sich der zu messende Kristall befindet (im Bild grün gezeichnet). Der Radius der Ewaldkugel beträgt 1/λ. Daher liegen alle Wellenvektoren <math>\vec {k}</math> auf der Oberfläche dieser Kugel (im Bild rot gezeichnet).
-Der Ursprung des zu diesem Kristallgitter gehörenden reziproken Gitters (Punkte im Bild) wird in den Schnittpunkt der Ewaldkugel mit dem durch den Kristall gehenden primären Röntgenstrahl gelegt (im Bild blau gezeichnet). Der Röntgenstrahl läuft daher immer entlang eines Kugeldurchmessers.
-Drehungen des Kristalls um den Ursprung des realen Raums führen zu einer entsprechenden Drehung des reziproken Gitters um den Ursprung des reziproken Raums. Reziprokes Gitter und Kristall behalten dabei dieselbe Orientierung bei.
+Der Ursprung des zu diesem [[Kristallgitter]] gehörenden reziproken Gitters (Punkte im Bild) wird in den Schnittpunkt der Ewaldkugel mit dem primären Röntgenstrahl gelegt, der durch den Kristall geht (im Bild blau gezeichnet). Der Röntgenstrahl läuft daher immer entlang eines Kugeldurchmessers.
-Wird der Kristall so gedreht, dass noch ein weiterer Punkt des reziproken Gitters auf der Oberfläche der Ewaldkugel liegt, erfüllt der entsprechende Wellenvektor <math>\vec {k_s} </math> zusätzlich die Bedingung
+Drehungen des Kristalls um den Ursprung des realen Raums führen zu einer entsprechenden Drehung des reziproken Gitters um den Ursprung des reziproken Raums. Reziprokes Gitter und Kristall behalten dabei dieselbe Orientierung. Wird der Kristall so gedreht, dass noch ein weiterer Punkt des reziproken Gitters auf der Oberfläche der Ewaldkugel liegt, so erfüllt der entsprechende Wellenvektor <math>\vec {k_s}</math> zusätzlich die Bedingung
 :<math>\Delta \vec k = \vec {k_s}- \vec {k_i} = \vec G </math> (ein Vektor des reziproken Gitters).
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 Dies ist die Laue-Bedingung. Genau in diesem Fall findet also elastische Streuung in Richtung von <math>\vec {k_s} </math> statt.
+== Interpretation ==
 Diese Konstruktion dient zur Veranschaulichung vieler Messverfahren in der Kristallographie.
-Aus ihr wird zum Beispiel ersichtlich, dass nur die Punkte des reziproken Gitters, die in einer Entfernung kleiner <math>2 | \vec {k_s} |</math> vom Ursprung entfernt liegen, die Laue-Bedingung erfüllen können (im Bild durch den schwarzen Kreis, der Lagenkugel mit Radius 2/λ, dargestellt).  So wird auch anschaulich klar, warum bei großen Wellenlängen <math>\lambda</math> (d.h. kleiner [[Wellenzahl]] k) keine Beugung am Kristall stattfinden kann: Es gibt keine möglichen Vektoren <math>\vec G</math> mehr, die die Laue-Bedingung erfüllen können, da die Ewald-Kugel zu klein wird.
+Aus ihr wird z.&nbsp;B. ersichtlich, dass nur die Punkte des reziproken Gitters die Laue-Bedingung erfüllen können, die in einer Entfernung kleiner <math>2 | \vec {k_s} |</math> vom Ursprung entfernt liegen (im Bild dargestellt durch den schwarzen Kreis, die Lagenkugel mit Radius&nbsp;2/λ). <!-- Nämlich warum konkret? Bitte explizit erläutern, erschließt sich nicht ohne Weiters von selbst. -->
+So wird auch anschaulich klar, warum bei großen Wellenlängen <math>\lambda</math> (d.&nbsp;h. kleiner [[Wellenzahl]] <math>|\vec{k}| = k</math>) keine Beugung am Kristall stattfinden kann: Es gibt keine möglichen Vektoren <math>\vec G</math> mehr, die die Laue-Bedingung erfüllen können, da die Ewald-Kugel zu klein wird.
 == Siehe auch ==