Tetraederlücke: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 25. Februar 2022, 12:02 Uhr

Tetraederlücke

Die Tetraederlücke ist der Hohlraum in einem Tetraeder, der frei bleibt, wenn in die Ecken des Tetraeders sich berührende Kugeln gesetzt werden.

Viele Kristalle haben Strukturen, in denen die Atome lokal ein Tetraeder bilden. Zu diesen Strukturtypen gehören unter anderem die dichtesten Kugelpackungen, also vor allem das kubisch flächenzentrierte Gitter und die hexagonal dichteste Kugelpackung. Dichteste Kugelpackungen, zu denen das kubisch raumzentrierte Gitter nicht gehört, haben doppelt so viele Tetraederlücken wie Kugeln.^[1] So hat ein kubisch-flächenzentriertes Gitter 8 · 1/8 + 6 · 1/2 = 4 ganze Atome pro Elementarzelle und 2 · 4 = 8 Tetraederlücken.

In die Tetraederlücken können kleinere Fremdatome eingelagert werden, unregelmäßig als Fehlstellen oder regelmäßig als Verbindungspartner. Ein Beispiel für den regelmäßigen Einbau sind die Fluor-Atome in den Tetraederlücken des kubisch-flächenzentrierten Calcium-Gitters im Fluorit.

Neben den Tetraederlücken besitzen dichteste Kugelpackungen auch noch die größeren Oktaederlücken, die von sechs Atomen gebildet werden.

Größe

Im Modell der Kugelpackungen werden die Atome bzw. Ionen üblicherweise – entsprechend der Definition des Ionenradius – als (annähernd) starre Kugeln gedacht. Die Größe der Tetraederlücke kann dann angegeben werden durch den Radius r jener Kugel, die genau in die Lücke hineinpasst. Mit dem Radius R der großen Kugeln in den Ecken des Tetraeders, d. h. der halben Bindungslänge, erhält man folgende Werte.

Kubisch-flächenzentriertes Gitter

Tetraedederlücke im kfz-Gitter

Hier sind alle Seiten des Tetraeders gleich lang und alle seine Ecken gleich weit von seinem Zentrum entfernt, vgl. Abb.; es handelt sich um ein regelmäßiges Tetraeder:

r=r_{u}-R=\left({\sqrt {\frac {3}{2}}}-1\right)R\approx 0{,}224744871\cdot R

mit

der Seitenlänge k = 2 R des Tetraeders
dem Radius r_u der Umkugel des Tetraeders:

r_{u}={\frac {\sqrt {6}}{4}}k={\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {2}}}}\,k={\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}}\,R\approx 1{,}225\,R

der Seitenlänge $a={\sqrt {2}}\,k=2{\sqrt {2}}\,R\approx 2{,}828\,R$ der Elementarzelle.

Kubisch-raumzentriertes Gitter

Tetraedederlücke im krz-Gitter

Hier sind nicht alle Seiten des Tetraeders gleich lang, aber alle seine Ecken gleich weit von seinem Zentrum entfernt, vgl. Abb., es handelt sich um ein verzerrtes bzw. unregelmäßiges Tetraeder:

r=r_{u}-R=\left({\sqrt {\frac {5}{3}}}-1\right)R\approx 0{,}291\cdot R

mit

dem Radius r_u der Umkugel des Tetraeders:

r_{u}={\frac {\sqrt {5}}{4}}a={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {3}}}\,R\approx 1{,}29\,R

der Seitenlänge $a={\frac {4}{\sqrt {3}}}\,R\approx 2{,}31\,R$ der Elementarzelle.

Siehe auch

Commons: Tetraederlücke – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

↑ Charles E. Mortimer, Ulrich Müller: Chemie – Das Basiswissen der Chemie. Georg Thieme Verlag, 2003, ISBN 3-13-484308-0, S. 183.

[Mortimer-1] Charles E. Mortimer, Ulrich Müller: Chemie – Das Basiswissen der Chemie. Georg Thieme Verlag, 2003, ISBN 3-13-484308-0, S. 183.

[1]

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 Die '''Tetraederlücke''' ist der Hohlraum in einem [[Tetraeder]], der frei bleibt, wenn in die Ecken des Tetraeders sich berührende Kugeln gesetzt werden.
-Viele Kristalle haben [[Kristallstruktur|Strukturen]], in denen die Atome lokal ein Tetraeder bilden. Zu diesen [[Strukturtyp]]en gehören unter anderem die dichtesten Kugelpackungen, also vor allem das [[Kubisch flächenzentriertes Gitter|kubisch flächenzentrierte Gitter]] und die [[hexagonal dichteste Kugelpackung]]. Dichteste Kugelpackung haben immer doppelt so viele Tetraederlücken wie Kugeln.<ref name=Mortimer>Charles E. Mortimer, Ulrich Müller: ''Chemie – Das Basiswissen der Chemie.'' Georg Thieme Verlag, 2003, ISBN 3-13-484308-0, S. 183.</ref> Kleinere [[Fremdatom]]e können in diese Tetraederlücken eingelagert werden.
+Viele Kristalle haben [[Kristallstruktur|Strukturen]], in denen die Atome lokal ein Tetraeder bilden. Zu diesen [[Strukturtyp]]en gehören unter anderem die [[dichteste Kugelpackung|dichtesten Kugelpackungen]], also vor allem das [[Kubisch flächenzentriertes Gitter|kubisch flächenzentrierte Gitter]] und die [[hexagonal dichteste Kugelpackung]]. Dichteste Kugelpackungen, zu denen das [[kubisch raumzentriert]]e Gitter ''nicht'' gehört, haben doppelt so viele Tetraederlücken wie Kugeln.<ref name="Mortimer">Charles E. Mortimer, Ulrich Müller: ''Chemie – Das Basiswissen der Chemie.'' Georg Thieme Verlag, 2003, ISBN 3-13-484308-0, S. 183.</ref> So hat ein kubisch-flächenzentriertes Gitter 8&nbsp;·&nbsp;1/8&nbsp;+&nbsp;6&nbsp;·&nbsp;1/2&nbsp;=&nbsp;4 ganze Atome pro Elementarzelle und 2&nbsp;·&nbsp;4&nbsp;=&nbsp;8&nbsp;Tetraederlücken.
-Diese können dabei unregelmäßig als [[Gitterfehler|Fehlstellen]] oder regelmäßig als Verbindungspartner eingebaut werden. Ein Beispiel für den regelmäßigen Einbau sind die [[Fluor]]-Atome in den Tetraederlücken des kubisch-flächenzentrierten [[Calcium]]-Gitters im [[Fluorit]].
+In die Tetraederlücken können kleinere [[Fremdatom]]e [[Einlagerungsmischkristall|eingelagert]] werden, unregelmäßig als [[Gitterfehler|Fehlstellen]] oder regelmäßig als Verbindungspartner. Ein Beispiel für den regelmäßigen Einbau sind die [[Fluor]]-Atome in den Tetraederlücken des kubisch-flächenzentrierten [[Calcium]]-Gitters im [[Fluorit]].
-Im Modell der [[Kugelpackung]]en werden die Atome bzw. Ionen üblicherweise – entsprechend der Definition des [[Ionenradius]] – als (annähernd) starre Kugeln gedacht. Die Größe der Tetraederlücke kann dann angegeben werden durch den Radius ''r'' jener Kugel, die genau in die Lücke hineinpasst. Mit dem Umkugelradius ''r<sub>u</sub>'' des Tetraeders
+Neben den Tetraederlücken besitzen dichteste Kugelpackungen auch noch die größeren [[Oktaederlücke]]n, die von sechs Atomen gebildet werden.
-:<math>r_u = \frac{\sqrt{6}}{4} a</math>
-und dem Radius ''R'' der großen Kugeln in den Ecken des Tetraeders und der Seitenlänge ''a'' = 2 ''R'' des Tetraeders erhält man
+== Größe ==
-:<math>r = r_u - R = \frac{1}{2} \left( \sqrt{6}-2 \right) R \approx 0{,}22474487 \cdot R</math>.
+Im Modell der [[Kugelpackung]]en werden die Atome bzw. [[Ion]]en üblicherweise – entsprechend der Definition des [[Ionenradius]] – als (annähernd) starre Kugeln gedacht. Die Größe der Tetraederlücke kann dann angegeben werden durch den Radius&nbsp;''r'' jener Kugel, die genau in die Lücke hineinpasst. Mit dem Radius&nbsp;''R'' der großen Kugeln in den Ecken des Tetraeders, d.&nbsp;h. der halben [[Bindungslänge]], erhält man folgende Werte.
+=== Kubisch-flächenzentriertes Gitter ===
+[[Datei:FCC Tetrahedral Void.jpg|mini|Tetraedederlücke im kfz-Gitter]]
+Hier sind alle Seiten des Tetraeders gleich lang und alle seine Ecken gleich weit von seinem Zentrum entfernt, vgl. Abb.; es handelt sich um ein regelmäßiges Tetraeder:
+:<math>r = r_u - R = \left( \sqrt{\frac{3}{2}} - 1 \right) R \approx 0{,}224744871 \cdot R</math>
+mit
+* der Seitenlänge&nbsp;''k''&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;''R'' des Tetraeders
+* dem Radius&nbsp;''r<sub>u</sub>'' der [[Umkugel]] des Tetraeders:
+::<math>r_u = \frac{\sqrt{6}}{4} k = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \, k  = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \, R \approx 1{,}225 \, R</math>
+* der Seitenlänge <math>a = \sqrt{2} \, k = 2 \sqrt{2} \, R \approx 2{,}828 \, R</math> der Elementarzelle.
+=== Kubisch-raumzentriertes Gitter ===
+[[Datei:BCC Tetrahedral Void.jpg|mini|Tetraedederlücke im krz-Gitter]]
+Hier sind ''nicht'' alle Seiten des Tetraeders gleich lang, aber alle seine Ecken gleich weit von seinem Zentrum entfernt, vgl. Abb., es handelt sich um ein verzerrtes bzw. unregelmäßiges Tetraeder:
+:<math>r = r_u - R = \left( \sqrt{\frac{5}{3}} - 1 \right) R \approx 0{,}291 \cdot R</math>
+mit
+* dem Radius&nbsp;''r<sub>u</sub>'' der [[Umkugel]] des Tetraeders:
+::<math>r_u = \frac{\sqrt{5}}{4} a = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \, R \approx 1{,}29 \, R</math>
+* der Seitenlänge <math>a = \frac{4}{\sqrt{3}} \, R \approx 2{,}31 \, R</math> der Elementarzelle.
 == Siehe auch ==
 {{Commons|Tetraederlücke}}
-* [[Oktaederlücke]]
 == Einzelnachweise ==