Zerfallsgesetz: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. Mai 2021, 21:07 Uhr

Exponentielle Abnahme einer Größe vom anfängliches Wert N – z. B. der Zahl radioaktiver Atomkerne in einer gegebenen Substanzprobe – mit der Zeit t.

Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl $N$ der zu einem Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe an. Diese Anzahl beträgt

N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ t}

,

wobei $N_{0}$ die Anzahl der am Anfang ( $t = 0$ ) vorhandenen Atomkerne und $λ$ die Zerfallskonstante des betreffenden Nuklids ist.

Herleitung

Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich $N_{0}$ Atomkernen und der Aktivität $A$ , so gilt für die Anzahl $N$ der in der Zeit $t$ noch nicht zerfallenen Kerne:

\begin{aligned} A & = - \frac{d N}{d t} mit A = λ \cdot N \\ - λ \cdot N & = \frac{d N}{d t} \\ - λ \cdot d t & = \frac{1}{N} \cdot d N \\ \int_{0}^{t} - λ \cdot d t^{'} & = \int_{N_{0}}^{N} \frac{1}{N^{'}} \cdot d N^{'} \\ - λ t - (- λ \cdot 0) & = \ln (N) - \ln (N_{0}) \\ - λ t & = \ln (\frac{N}{N_{0}}) \\ e^{- λ t} & = \frac{N}{N_{0}} \\ N (t) & = N_{0} \cdot e^{- λ t} \end{aligned}

Nach der Zeit $t$ sind also von $N_{0}$ Ausgangskernen noch $N (t)$ übrig.

Mittlere Lebensdauer

Die Zerfallskonstante $λ$ (Lambda) ist der Kehrwert der mittleren Lebensdauer $τ = 1 / λ$ , also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor $e = 2,718 28 \dots$ verringert hat. $τ$ (Tau) unterscheidet sich von der Halbwertszeit $T_{1 / 2}$ nur um den konstanten Faktor $\ln 2$ :

T_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ} = τ \cdot \ln 2 \approx 0,693 \cdot τ

Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:

N (t) = N_{0} \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{T_{1 / 2}} t}

Weblinks

Java-Animation des Zerfallsgesetzes

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-[[Datei:Exponential-decay.png|mini|Exponentielle Abnahme einer Größe vom anfängliches Wert ''N'' – z.B. der Zahl radioaktiver Atomkerne in einer gegebenen Substanzprobe – mit der Zeit ''t''. ]]
+[[Datei:Exponential-decay.png|mini|Exponentielle Abnahme einer Größe vom anfängliches Wert ''N'' – z.&nbsp;B. der Zahl radioaktiver Atomkerne in einer gegebenen Substanzprobe – mit der Zeit ''t''. ]]
-'''Zerfallsgesetz''' ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine [[Exponentieller Prozess#Exponentieller Zerfall|exponentielle zeitliche Abnahme]] von Größen beschreibt. In der [[Kernphysik]] gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl <math>N</math> der zu einem Zeitpunkt <math>t</math> noch nicht zerfallenen [[Atomkern]]e einer [[Radioaktivität|radioaktiven]] Substanzprobe an. Diese Anzahl beträgt
+'''Zerfallsgesetz''' ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine [[Exponentieller Prozess#Exponentielle Abnahme|exponentielle zeitliche Abnahme]] von Größen beschreibt. In der [[Kernphysik]] gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl <math>N</math> der zu einem Zeitpunkt <math>t</math> noch nicht zerfallenen [[Atomkern]]e einer [[Radioaktivität|radioaktiven]] Substanzprobe an. Diese Anzahl beträgt
 :<math>N(t)= N_0 \cdot \mathrm e^{-\lambda t}</math>,
 wobei <math>N_0</math> die Anzahl der am Anfang (<math>t = 0</math>) vorhandenen Atomkerne und <math>\lambda</math> die [[Zerfallskonstante]] des betreffenden [[Nuklid]]s ist.
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 Nach der Zeit <math>t</math> sind also von <math>N_0</math> Ausgangskernen noch <math>N(t)</math> übrig.
-==Mittlere Lebensdauer==
+== Mittlere Lebensdauer ==
 Die Zerfallskonstante <math>\lambda</math> ([[Lambda]]) ist der Kehrwert der mittleren [[Lebensdauer (Physik)|Lebensdauer]] <math>\tau = 1/\lambda</math>, also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor <math>\mathrm e = 2{,}71828\dotso</math> verringert hat. <math>\tau</math> ([[Tau (Buchstabe)|Tau]]) unterscheidet sich von der [[Halbwertszeit]] <math>T_{1/2}</math> nur um den konstanten Faktor <math>\ln 2</math>:
 :<math>T_{1/2} = \frac {\ln 2}{\lambda} = \tau \cdot \ln 2 \approx 0{,}693 \cdot \tau</math>
 Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:
-:<math> N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} </math>
+:<math> N(t) = N_0 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{T_{1/2}}t} </math>
 == Weblinks ==
-*[http://www.walter-fendt.de/ph14d/zerfallsgesetz.htm Java-Animation des Zerfallsgesetzes]
+* [https://www.walter-fendt.de/html5/phde/lawdecay_de.htm Java-Animation des Zerfallsgesetzes]
 [[Kategorie:Kernphysik]]