imported>Alturand K (+refs) |
imported>Orthographus K (Leerzeichen) |
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== Definition und Eigenschaften == | == Definition und Eigenschaften == | ||
[[File:Zeltabbildung.svg|mini|Grafische Darstellung der Zeltabbildung <math>\textstyle T_2</math>.]] | [[File:Zeltabbildung.svg|mini|Grafische Darstellung der Zeltabbildung <math>\textstyle T_2</math>.]] | ||
Die Zeltabbildung ist definiert durch | Die Zeltabbildung ist definiert durch: | ||
:<math> T_2\colon [0,1] \rightarrow [0,1],\; x \mapsto \begin{cases} | :<math> T_2\colon [0,1] \rightarrow [0,1],\; x \mapsto \begin{cases} | ||
2x, & \text{wenn }x \in [0,\frac{1}{2}]\ | 2x, & \text{wenn }x \in [0,\frac{1}{2}]\ | ||
2-2x, & \text{wenn }x \in {]\frac{1}{2},1]} | 2-2x, & \text{wenn }x \in {]\frac{1}{2},1]} | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
=== Fixpunkte und periodische Punkte === | === Fixpunkte und periodische Punkte === | ||
Für <math>\textstyle x \in \{0,\frac{2}{3}\}</math> bildet die Funktion den Eingabewert auf sich selbst ab. | Für <math>\textstyle x \in \{0,\frac{2}{3}\}</math> bildet die Funktion den Eingabewert auf sich selbst ab. | ||
Des Weiteren ergibt sich aus der Struktur der Funktion, dass alle <math>\textstyle x_0 \in \R</math>, die sich als <math>\textstyle x_0=\frac{a}{2^n}</math> mit <math>a\in \{0,1,\dotsc,2^n\}</math> darstellen lassen, nach spätestens <math> | Des Weiteren ergibt sich aus der Struktur der Funktion, dass alle <math>\textstyle x_0 \in \R</math>, die sich als <math>\textstyle x_0=\frac{a}{2^n}</math> mit <math>a\in \{0,1,\dotsc,2^n\}</math> darstellen lassen, nach spätestens <math>n + 1</math> Iterationen den Fixpunkt <math>\textstyle 0</math> erreichen. | ||
Außerdem gibt es für jedes <math>\textstyle n \in \N</math> periodische Punkte <math>\textstyle x_n</math> mit der Primperiode <math>\textstyle n</math>, bei denen die n-fach wiederholte Anwendung von <math>\textstyle T_2</math> zum Anfangswert <math>\textstyle x_n</math> führt<ref> {{Internetquelle |url=http://digitalcommons.trinity.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1059&context=math_faculty |titel=Periodic Points of the Family of Tent Maps |autor=Julio R. Hasfura-Buenaga, Phillip Lynch |sprache=en |format=pdf |zugriff=2017-03-23}}</ref> | Außerdem gibt es für jedes <math>\textstyle n \in \N</math> periodische Punkte <math>\textstyle x_n</math> mit der Primperiode <math>\textstyle n</math>, bei denen die <math>n</math>-fach wiederholte Anwendung von <math>\textstyle T_2</math> zum Anfangswert <math>\textstyle x_n</math> führt<ref> {{Internetquelle |url=http://digitalcommons.trinity.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1059&context=math_faculty |titel=Periodic Points of the Family of Tent Maps |autor=Julio R. Hasfura-Buenaga, Phillip Lynch |sprache=en |format=pdf |zugriff=2017-03-23}}</ref> | ||
:<math> | :<math> | ||
x_n \in \begin{cases} | x_n \in \begin{cases} | ||
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Wendet man die Zeltabbildung <math>\textstyle T_2(x)</math> <math>\textstyle n</math>-fach hintereinander auf einen Anfangswert <math>\textstyle x_0</math> an, erhält man eine neue Abbildung <math>\textstyle F_{x_0}</math>: | Wendet man die Zeltabbildung <math>\textstyle T_2(x)</math> <math>\textstyle n</math>-fach hintereinander auf einen Anfangswert <math>\textstyle x_0</math> an, erhält man eine neue Abbildung <math>\textstyle F_{x_0}</math>: | ||
:<math> F_{x_0}\colon \N \rightarrow [0,1],\; n \mapsto T_2^n(x_0)</math> | :<math> F_{x_0}\colon \N \rightarrow [0,1],\; n \mapsto T_2^n(x_0)</math> | ||
[[Datei:Schmetterlingseffekt bsp.svg|miniatur|Differenz der Werte von<math>\textstyle F_{x}(n)</math> für <math>\textstyle x_0 = 0{,}506</math> und <math>\textstyle x_0 = 0{,}506127</math> aufgetragen gegen die Anzahl der Iterationen <math>\textstyle n</math>. Schon nach wenigen Iterationen ist die Differenz der Ausgangszustände praktisch nicht mehr durch eine [[Störungstheorie (Klassische Physik)|störungstheoretische]] Betrachtung des kleinen Unterschieds im Anfangswert vorhersagbar.]] | [[Datei:Schmetterlingseffekt bsp.svg|miniatur|Differenz der Werte von <math>\textstyle F_{x}(n)</math> für <math>\textstyle x_0 = 0{,}506</math> und <math>\textstyle x_0 = 0{,}506127</math> aufgetragen gegen die Anzahl der Iterationen <math>\textstyle n</math>. Schon nach wenigen Iterationen ist die Differenz der Ausgangszustände praktisch nicht mehr durch eine [[Störungstheorie (Klassische Physik)|störungstheoretische]] Betrachtung des kleinen Unterschieds im Anfangswert vorhersagbar.]] | ||
Vergleicht man die Werte von <math>\textstyle F_{x}(n)</math> für zwei beliebig nahe beieinander liegende <math>\textstyle x</math>, findet man bei hinreichend großen <math>\textstyle n</math> innerhalb des Wertebereiches beliebig große Differenzen im Intervall <math>(0,1)</math>. | Vergleicht man die Werte von <math>\textstyle F_{x}(n)</math> für zwei beliebig nahe beieinander liegende <math>\textstyle x</math>, findet man bei hinreichend großen <math>\textstyle n</math> innerhalb des Wertebereiches beliebig große Differenzen im Intervall <math>(0,1)</math>. | ||
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
[[Dreiecksfunktion]] | |||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
<references /> | <references /> | ||
== Weblink == | == Weblink == | ||
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[[Kategorie:Mathematische Funktion]] | [[Kategorie:Mathematische Funktion]] | ||
[[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]] | [[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]] | ||
[[Kategorie:Dynamisches System]] | [[Kategorie:Dynamisches System]] |
Die Zeltabbildung
Die Zeltabbildung ist definiert durch:
Für
Wendet man die Zeltabbildung
Vergleicht man die Werte von
Dreiecksfunktion
Lehrmaterial zur Zeltabbildung von der Uni Mainz, abgerufen am 17. Juli 2018