Bellsche Ungleichung: Unterschied zwischen den Versionen

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Die '''bellsche Ungleichung''' wurde 1964 von [[John Stewart Bell|John Bell]] für die Korrelationen zwischen Messergebnissen von Beobachtungsgrößen (Observablen) angegeben. Sie ist für [[Lokalität (Physik)|lokale]] [[Klassische Physik|klassische]] Theorien erfüllt, sogenannte Theorien [[Verborgene Variablen|verborgener Variablen]] auf dem Gebiet der [[Interpretationen der Quantenmechanik]], aber in der [[Quantenmechanik]] im Allgemeinen nicht mehr erfüllt. In Experimenten wurde gezeigt, dass sie verletzt wird, was als Bestätigung der Quantenmechanik gilt.
Die '''bellsche Ungleichung''' (auch '''Bell'sche Ungleichung''') betrifft Messreihen an Teilchenpaaren. Sie wurde 1964 von [[John Stewart Bell]] veröffentlicht,<ref>{{Literatur |Autor=[[John Stewart Bell]] |Titel=On the Einstein Podolsky Rosen Paradox |Sammelwerk=Physics |Band=1 |Nummer=3 |Datum=1964 |Seiten=195–200 |Online=https://cds.cern.ch/record/111654/files/vol1p195-200_001.pdf |Format=PDF |KBytes=}}</ref> um den „lokalen Realismus“, ein Konzept [[Albert Einstein|Einsteins]], zu analysieren. Sie formuliert einen experimentell überprüfbaren Widerspruch zwischen den Konsequenzen des einsteinschen Konzepts und den Vorhersagen der [[Quantenmechanik]]. Zahlreiche Experimente haben seither die Verletzung der Ungleichung für [[Quantenverschränkung|verschränkte]] Teilchenpaare nachgewiesen und damit die Vorhersagen der Quantenmechanik bestätigt.


==Realismus und Lokalität==
Schon 1935 hatten [[Albert Einstein]], [[Boris Podolsky]] und [[Nathan Rosen]],<ref>{{Literatur |Autor=[[Albert Einstein]], [[Boris Podolsky]] und [[Nathan Rosen]] |Titel=Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? |Sammelwerk=[[Physical Review|Phys. Rev.]] |Band=47 |Datum=1935 |Seiten=777–780 |DOI=10.1103/PhysRev.47.777}}</ref> kurz [[Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon|EPR]], gezeigt, dass der lokal-realistische Standpunkt der [[Klassische Physik|klassischen Physik]] dazu zwingt, den Teilchen individuelle Eigenschaften zuzuschreiben, die ihr eigenes Verhalten bei Messungen steuern und damit den [[quantenmechanisch]]en Zufall vortäuschen. Die drei Autoren schlossen daraus, dass die [[Quantentheorie]] unvollständig sein musste.


Die bellsche Ungleichung zeigt insbesondere, dass aus der Gültigkeit bestimmter grundlegender Annahmen der Quantenmechanik ein Widerspruch mit gleichzeitigem Vorhandensein von [[Realismus (Philosophie)|Realismus]] und [[Lokalität (Physik)|Lokalität]] folgt:<ref>[http://www.scholarpedia.org/article/Bell%27s_theorem Bellsche Ungleichung bei scholarpedia.org (Englisch)]</ref>
Bell zeigte jedoch, dass, wenn man Einsteins Konzept folgt und gleichzeitig davon ausgeht, dass sich Information maximal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann, bei bestimmten Experimenten an Teilchenpaaren die Messergebnisse seine Ungleichung stets erfüllen müssten. Die Quantentheorie sagt aber in bestimmten Fällen für verschränkte Teilchen die Verletzung der Ungleichung voraus. Was 1964 bei Bell ein [[Gedankenexperiment]] war, wurde ab 1972 durch echte Experimente, zuerst<ref>{{Literatur |Autor=Alain Aspect |Titel=Bell’s inequality test: more ideal than ever |Sammelwerk=Nature |Band=398 |Datum=1999 |DOI=10.1038/18296}}</ref> von [[Stuart Freedman]] und [[John Clauser]], bestätigt.<ref name="FC72">{{Literatur |Autor=S. J. Freedman, J. F. Clauser |Titel=Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=28 |Nummer=14 |Datum=1972 |Seiten=938-941 |DOI=10.1103/PhysRevLett.28.938}}</ref>


# Eine physikalische Theorie ist ''[[Realismus (Philosophie)|realistisch]]'', wenn Messungen nur Eigenschaften ablesen, die unabhängig von der Messung vorliegen, wenn also das Ergebnis jeder denkbaren Messung feststeht, auch wenn es wegen ungenügender Kenntnis [[Verborgene Variable|verborgener Parameter]] nicht vorher bekannt ist.
Aufgrund der durchgeführten Experimente gilt Einsteins Konzept der individuellen Teilcheneigenschaften bei Informationsausbreitung mit höchstens Lichtgeschwindigkeit im strengen Sinne eines lokalen Realismus heute als widerlegt. Mindestens eines der beiden Prinzipien von [[Lokalität (Physik)|Lokalität]] (Es existieren keine Signale, die sich schneller als Licht ausbreiten) und [[Wissenschaftlicher Realismus|Realismus]] (Teilchen besitzen auch dann einen definierten Zustand wenn nicht gemessen wird) muss also bei der Betrachtung quantenphysikalischer Systeme aufgegeben werden.
# Eine physikalische Theorie ist ''[[Lokalität (Physik)|lokal]]'', wenn sich bei zwei Teilchen mit [[raumartig]]em Abstand im Sinn der speziellen Relativitätstheorie die Wahl dessen, was beim einen Teilchen gemessen wird, bei der Messung nicht unmittelbar auf das andere Teilchen auswirkt. Das liegt daran, dass sich die gegenseitigen Einflüsse nach der Relativitätstheorie maximal mit [[Lichtgeschwindigkeit]] auswirken können.  


Die Verwendung der Begriffe in der Analyse der Interpretation der Quantenmechanik stammt aus dem Aufsatz zum Gedankenexperiment von [[Albert Einstein]], [[Boris Podolsky]] und [[Nathan Rosen]] ([[Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon]]).
== Realismus und Lokalität ==
Die bellsche Ungleichung zeigt insbesondere, dass aus der Gültigkeit bestimmter grundlegender Annahmen der Quantenmechanik ein Widerspruch zur gleichzeitigen Annahme von [[Realismus (Philosophie)|Realismus]] und [[Lokalität (Physik)|Lokalität]] folgt:<ref>[http://www.scholarpedia.org/article/Bell%27s_theorem Bellsche Ungleichung] bei scholarpedia.org (englisch)</ref>


„Klassische“ Theorien wie die [[newtonsche Mechanik]] oder die [[Elektrodynamik|maxwellsche Elektrodynamik]] besitzen beide dieser Eigenschaften. Die bellsche Ungleichung ist damit in besonderer Weise dazu geeignet, um eine Gegenüberstellung oder einen Vergleich der Eigenschaften von [[Quantenmechanik]] und [[Klassische Physik|klassischer Physik]] durchzuführen.
# Eine physikalische Theorie ist ''[[Realismus (Philosophie)|realistisch]]'', wenn Messungen nur Eigenschaften ablesen, die unabhängig von der Messung vorliegen, wenn also das Ergebnis jeder denkbaren Messung (z.&nbsp;B. durch den Einfluss [[Verborgene Variable|verborgener Parameter]]) schon feststeht, bevor es durch die Messung bekannt wird.
# Eine physikalische Theorie ist nicht [[Lokalität (Physik)|lokal]], wenn bei Messungen, die (im Sinne der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]]) in [[raumartig]]er Relation an zwei Teilchen stattfinden, die Messergebnisse an den zwei Teilchen korreliert sind (eine dem Zufall widersprechende Beziehung zeigen). Ein Einfluss einer Messung auf die andere könnte höchstens mit Lichtgeschwindigkeit erfolgen und ist in raumartiger Situation nicht möglich.


Die Quantenmechanik ist keine realistische lokale Theorie. Die in der Quantenmechanik berechneten Mittelwerte verletzen die bellsche Ungleichung. Daher kann die Quantenmechanik – im Gegensatz zu einer Annahme [[Albert Einstein]]s – nicht durch Hinzufügen von verborgenen Variablen zu einer realistischen und lokalen Theorie vervollständigt werden.
Die Verwendung dieser Begriffe in der Analyse der Interpretation der Quantenmechanik stammt aus dem Aufsatz zum Gedankenexperiment von [[Albert Einstein]], [[Boris Podolsky]] und [[Nathan Rosen]] ([[Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon]] oder kurz EPR-Paradoxon). Die Arbeit von Bell kann als quantitative Version dieses Paradoxons aufgefasst werden, mit der die Alternativen experimentell überprüft werden können.


Bei [[Quantenverschränkung|verschränkten Photonenpaaren]] ist die Verletzung der bellschen Ungleichung gemessen worden. Ihre [[Polarisation]]seigenschaften stimmen mit der Quantenmechanik überein und sind nicht mit der Annahme von Realität und Lokalität verträglich. Dies bedeutet, dass ''nicht alle Messwerte vor der Messung feststehen'' oder dass die Messwerte ''nichtlokal'' von weit entfernten, unvorhersehbaren Entscheidungen abhängen oder dass man nicht beliebig wählen kann, welche Eigenschaft des Systems gemessen werden soll.
„Klassische“ Theorien wie die [[newtonsche Mechanik]] oder die [[Elektrodynamik|maxwellsche Elektrodynamik]] besitzen beide dieser Eigenschaften. Die bellsche Ungleichung ist damit in besonderer Weise dazu geeignet, eine Gegenüberstellung oder einen Vergleich der Eigenschaften von Quantenmechanik und klassischer Physik durchzuführen.


== Herleitung innerhalb der klassischen Physik==
Die Quantenmechanik ist keine realistische lokale Theorie. Bestimmte in der Quantenmechanik berechnete Mittelwerte verletzen die bellsche Ungleichung. Daher kann die Quantenmechanik – im Gegensatz zu einer Annahme Albert Einsteins – nicht durch Hinzufügen von verborgenen Variablen zu einer realistischen und lokalen Theorie vervollständigt werden.


Wir betrachten [[Polarisation]]smessungen an Paaren von [[Photon]]en, die von einer Quelle in entgegengesetzte Richtungen emittiert werden und an zwei Orten getrennt gemessen werden, wie oben erläutert innerhalb einer realistischen, lokalen Theorie.  
Bei verschränkten [[Photon]]en<nowiki />paaren ist die Verletzung der bellschen Ungleichung gemessen worden. Ihre beobachteten [[Polarisation]]s<nowiki />eigenschaften stimmen mit der Quantenmechanik überein und sind nicht mit der Annahme von Realität und Lokalität verträglich. Dies bedeutet, dass ''nicht alle Messwerte vor der Messung feststehen'' oder dass die Werte aus verschiedenen Messungen ''nichtlokal korreliert'' sein können, d.&nbsp;h. in Situationen, die etwa auf Grund der Entfernung den Einfluss einer auf die andere Messung ausschließen.


[[Polarisationsfilter]] polarisieren Photonen in einer zur Ausbreitungsrichtung senkrechten Richtung <math>\mathbf a\,.</math> Sie lassen Photonen, die in Richtung <math>\mathbf a</math> polarisiert sind, ungehindert durch und absorbieren mit Sicherheit Photonen, deren Polarisationsrichtung senkrecht zu <math>\mathbf a</math> steht. Dabei ist <math>\mathbf a</math> ein Einheitsvektor in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Photons.  
Bell hatte in der 1932 von [[John von Neumann]] veröffentlichten mathematischen Widerlegung der Theorie verborgener Variablen, die lange als unbestritten galt, einen elementaren Fehler in den Voraussetzungen gefunden (in der linearen [[Additivität]] der [[Erwartungswert]]e, von ihm 1966 veröffentlicht). In seinem Aufsatz von 1964, der die bellschen Ungleichungen einführte, wollte er zeigen, dass die eigentliche Grundannahme, an der Theorien verborgener Variablen scheitern, die Lokalität ist. Eine schon 1952 veröffentlichte [[De-Broglie-Bohm-Theorie|Theorie verborgener Variabler]] von [[David Bohm]] war stark nicht-lokal.


Dreht man den Filter in seiner Ebene, so erhält man einen Filter, der in gedrehter Richtung <math>\mathbf b</math> polarisiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon, das in Richtung <math>\mathbf a</math> polarisiert ist, ungehindert durch einen Filter geht, der in Richtung <math>\mathbf b</math> polarisiert, beträgt nach dem [[Gesetz von Malus]]
== Versuchsaufbau ==
:<math>w(\mathbf a, \mathbf b)=(\mathbf a\cdot\mathbf b)^ 2 = \cos^ 2 \theta_{ab}\,.</math>
[[Datei:Bell-test-photon-analyer.png|450px|mini|Schema des Bell-Tests: Die Quelle (Source) erzeugt ein verschränktes Photonenpaar. Die beiden Photonen interagieren jeweils mit einem Filter und passieren entweder den Filter oder werden reflektiert. Anschließend wird bei beiden Photonen detektiert, ob sie den Filter passiert haben oder reflektiert wurden.]]
Mit der Wahrscheinlichkeit <math>\, 1-\cos^2 \theta_{ab} =\sin^2 \theta_{ab}</math> wird es demnach absorbiert. <math>\, \theta_{ab}</math> ist dabei der von <math>\mathbf a</math> und <math>\mathbf b</math> eingeschlossene Winkel.


Die Polarisation der untersuchten Photonenpaare ist wegen ihrer Herkunft nicht unabhängig, sondern verschränkt. Stimmen die Richtungen der Polarisationsfilter an beiden Messorten überein, so wird das eine Photon genau dann absorbiert, wenn auch das andere Photon absorbiert wird.
Die ursprüngliche Überlegung war nur ein Gedankenexperiment, so dass der Versuchsaufbau bei Bell nur theoretisch war. Später wurde der Versuchsaufbau aber real umgesetzt, um die Überlegungen des Gedankenexperimentes experimentell zu bestätigen.


Bei Polarisationsmessungen an Photonen fordert die Realitätsannahme, dass bei allen Messungen und für alle Richtungen eindeutig feststeht, ob das Photon absorbiert wird, auch wenn in jedem Einzelfall der Polarisationsfilter nur in einer Richtung messen kann.<!--<ref name="Norsen2006">Eine kritische Betrachtung verschiedener gängiger Verwendungen des Begriffes „Realität“ im Zusammenhang mit der bellschen Ungleichung und verwandten Experimenten findet sich in Travis Norsen: ''Against `Realism.'' In: ''Foundations of Physics'' 37, S. 3, 2007, S. 311–340 ({{arxiv|quant-ph/0607057v2}})</ref> -->
In einer Quelle wird ein quantenverschränktes Photonenpaar erzeugt, wobei sich die Photonen in entgegengesetzte Richtungen fortbewegen. Die beiden Photonen treffen auf je einen Filter; die Filter sind unabhängig voneinander auf die Messrichtung <math>\mathbf a,\,\mathbf b</math> oder <math>\mathbf c</math> eingestellt.<ref name="FC72" /><ref name="Giustina15" /> Normalerweise werden für die Messrichtungen <math>\mathbf a,\,\mathbf b,\,\mathbf c</math> die folgenden Werte gewählt:
* Messrichtung <math>\mathbf a</math>: Filter lässt horizontal polarisierte Photonen durch. Vertikal polarisierte Photonen werden reflektiert.
* Messrichtung <math>\mathbf b</math>: Filter ist um <math>\pi/6=+30^\circ</math> ggü. Messrichtung <math>\mathbf a</math> gedreht.
* Messrichtung <math>\mathbf c</math>: Filter ist um <math>\pi/6=+30^\circ</math> ggü. Messrichtung <math>\mathbf b</math> gedreht. (Das heißt, er ist um <math>\pi/3=+60^\circ</math> ggü. Messrichtung <math>\mathbf a</math> gedreht.)


Bei den Messungen wird vorausgesetzt, dass die Richtung beider Polarisationsfilter beliebig gewählt werden kann. Welche Richtung des Polarisationsfilters gewählt wird, soll also nicht vom jeweiligen Photonenpaar abhängen.
Für beide Filter wird zufällig bestimmt, in welcher dieser drei Richtungen der Filter ausgerichtet ist. Dabei wird die zufällige Bestimmung für beide Filter unabhängig voneinander durchgeführt. Das heißt, aus der Richtung des ersten Filters lässt sich nicht auf die Richtung des zweiten Filters schließen.
Die Richtung des Filters wird festgelegt, nachdem das Photonenpaar erzeugt wurde, aber bevor es den Filter erreicht.


Lokalität bedeutet, dass sich die Richtung des einen Polarisationsfilters nicht auf das Absorptionsverhalten des Photons am anderen Filter auswirkt. Dies stellt man dadurch sicher, dass die Richtungen erst so spät zufällig gewählt werden, dass man von dieser Wahl selbst mit lichtschnellen Signalen bei der anderen Messung noch nichts wissen kann.
Anschließend wird für beide Photonen gemessen, ob sie den Filter passiert haben oder ob sie reflektiert wurden.


Man kann sich nun eine Reihe von wiederholten Messungen an Photonenpaaren vorstellen und diese fortlaufend mit <math>\,i=1,2, \ldots ,N</math> durchnummerieren. Wenn bei der <math>i</math>-ten Messung der eine Filter in Richtung <math>\mathbf a</math> polarisiert und das erste Photon des Photonenpaares durchkommt, schreibt man dieses Ergebnis als <math>\,a_{1i}=1</math> auf. Wird dieses erste Photon absorbiert, setzt man <math>\,a_{1i}=-1</math>. Mit <math>\,b_{1i}</math> bezeichnet man das Ergebnis, das sich bei der Messung Nummer <math>i</math> ergäbe, wenn am ersten Photon des Paares die Polarisation in Richtung <math>\mathbf b</math> gemessen würde, mit <math>\,b_{2i}</math> das entsprechende Ergebnis, wenn am zweiten Photon des Paares die Polarisation in Richtung <math>\mathbf b</math> gemessen würde. Entsprechend notiert man <math>\,c_{2i}=1</math> oder <math>\,c_{2i}=-1</math>, je nachdem ob das zweite Photon des Paares im Versuch mit der Nummer <math>i</math> durch den zweiten, in Richtung <math>\mathbf c</math> polarisierten Filter kommt oder nicht.
Dieses Experiment wird mehrere Male hintereinander ausgeführt. Die Durchgänge, in denen beide Filter zufällig in die gleiche Richtung ausgerichtet sind, werden ignoriert.
Für die Durchgänge, in denen beide Filter in unterschiedliche Richtungen ausgerichtet sind, wird gemessen, wie häufig die beiden Photonen des Photonenpaares sich gleich bzw. unterschiedlich verhalten haben.


Da die Ergebnisse <math>\,a_{1i}</math>, <math>\,b_{2i}</math> und <math>\,c_{2i}</math> nur die Werte 1 oder -1 haben können, gelten in allen Fällen die Ungleichungen
Insbesondere wird gemessen:
* <math>W(\mathbf a_h,\mathbf b_h)</math>: Anzahl der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung <math>\mathbf a</math> passiert und das andere Photon den Filter mit Messrichtung <math>\mathbf b</math> passiert hat.
* <math>W(\mathbf b_h,\mathbf c_v)</math>: Anzahl der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung <math>\mathbf b</math> passiert und das andere Photon vom Filter mit Messrichtung <math>\mathbf c</math> reflektiert wurde.
* <math>W(\mathbf a_h,\mathbf c_h)</math>: Anzahl der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung <math>\mathbf a</math> passiert und das andere Photon den Filter mit Messrichtung <math>\mathbf c</math> passiert hat.


:<math>a_{1i}\,(b_{2i}-c_{2i})\leq 1-b_{2i}c_{2i}\,.</math>
Je nachdem, ob man ein klassisches Modell (realistisch und lokal) oder ein quantentheoretisches Modell zugrunde legt, besteht im Gedankenexperiment eine unterschiedliche Beziehung zwischen diesen Werten.


Denn entweder ist <math>\,b_{2i}=c_{2i}</math>, dann sind beide Seiten gleich 0, oder es gilt <math>\,b_{2i}=-c_{2i}</math>, dann hat die rechte Seite den Wert 2 und die linke Seite den Wert 2 oder −2.  
Das tatsächliche Experiment zeigt dann, ob das klassische Modell (realistisch und lokal) oder das quantentheoretische Modell zutrifft.


Da bei gleicher Richtung beider Filter das eine Photon genau dann absorbiert wird, wenn auch das andere Photon absorbiert wird, gilt in allen Fällen
== Die Ungleichung bei Annahme von verborgenen Variablen ==
:<math>\,b_{2i}=b_{1i}\,.</math>
Ein aus mehreren Komponenten (α und β) zusammengesetztes System muss in der Quantentheorie häufig als ''ein'' Objekt (α,β) mit eigenen Zuständen behandelt werden. Unter den möglichen Zuständen gibt es dann stets auch solche, die ''nicht'' beschrieben werden können, indem man einen Zustand von α und einen von β benennt. In einem solchen Zustand des Systems heißen α und β miteinander [[Quantenverschränkung|verschränkt]]. So können zwei Photonen α und β derart miteinander verschränkt sein, dass bei einem Test an parallelen Polarisationsfiltern stets beide passieren oder beide absorbiert werden, und dies für jede beliebige Orientierung der (parallelen) Filter. Ein verschränktes System bleibt ''ein'' Quantenobjekt, auch, wenn die Komponenten räumlich voneinander getrennt werden. Die Tests an α und β können daher räumlich wie zeitlich beliebig entfernt voneinander stattfinden. Ob die zwei Photonen das eine oder das andere Schicksal haben, ist nicht vorhersehbar.
In dem hier betrachteten Experiment wird ein Strom von derart verschränkten Photonenpaaren erzeugt und davon jeweils ein Photon an das Labor von Alice, das andere an das davon entfernte Labor von Bob verschickt. Alice testet die lineare Polarisation ihrer Photonen in zufälliger Wahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einer von drei Messrichtungen <math>\mathbf a,\,\mathbf b,\,\mathbf c</math>. Bob misst ebenso zufällig in den gleichen Richtungen <math>\mathbf a,\,\mathbf b,\,\mathbf c</math>. Der gewählte Zustand bewirkt, dass Alices und Bobs Photonen gleich reagieren, wenn sie in der gleichen Richtung getestet werden.


In die Ungleichungen eingesetzt, ergibt sich
Die beiden möglichen mit einem Filter bestimmten Werte der linearen Polarisation werden in der Literatur üblicherweise mit <math>h</math> für ''horizontal'' und <math>v</math> für ''vertikal'' bezeichnet. Die Hypothese besteht in der Annahme, dass jedes Photon eine Art von individuellen Eigenschaften besitzt, die verborgenen Variablen, die ihm für jede Messrichtung vorgeben, ob es bei einem Test als horizontal oder vertikal polarisiert reagieren wird. Das korrelierte Verhalten verschränkter Photonen beruht nach dieser Hypothese darauf, dass ihre verborgenen Variablen entsprechend korreliert sind. Zu den drei Orientierungen <math>\mathbf a,\,\mathbf b,\,\mathbf c</math> der Filter in dem betrachteten Experiment hat demnach jedes der einlaufenden Photonen eine Voreinstellung auf ''horizontal'' oder ''vertikal'', in Zeichen <math>\mathbf a_h,\,\mathbf a_v,\,\dots\,\mathbf c_v</math>. Jede Messung offenbart die entsprechende Voreinstellung, und diese Voreinstellungen sind wegen der Verschränkung für Alices und Bobs Photon identisch.<ref>{{Literatur |Autor=[[Eugene P. Wigner]] |Titel=On hidden variables and quantum mechanical probabilities |Sammelwerk=[[Journal of Physics|J. Phys.]] |Band=38 |Nummer=1005 |Datum=1970 |DOI=10.1119/1.1976526}}</ref>


:<math>a_{1i}\,b_{2i} -a_{1i}\,c_{2i}+b_{1i}\,c_{2i}\leq 1\,.</math>
Für einen Moment sollen anschauliche Codeworte die mathematischen Zeichen ersetzen: groß/klein statt <math>\mathbf a_h,\, \mathbf a_v</math>, blond/dunkel für <math>\mathbf b_h,\,\mathbf b_v</math> und Frau/Mann für <math>\mathbf c_h,\,\mathbf c_v</math>. Bezüglich dieser drei Aspekte bilden Alices und Bobs Photonen je ein Paar von identischen Zwillingen. Beide sind z. B. groß, blond und weiblich. Jedes der beiden Photonen lässt sich nur in einer Messrichtung testen. Jede Messung ermittelt also entweder Größe, Haarfarbe oder Geschlecht eines Zwillings. Wenn nun Alice ihrem Photon eine und Bob seinem Photon eine andere Frage stellt, erfahren sie für das Paar zwei der interessierenden Eigenschaften. Deshalb lässt sich eine einfache kombinatorische Feststellung treffen. Unter den insgesamt von Alice und Bob vermessenen Photonen, bzw. Zwillingen ist die Anzahl der großen Blonden gleich der Anzahl der großen blonden Männer plus der Anzahl der großen blonden Frauen. Lässt man nun eine der drei genannten und einschränkenden Eigenschaften weg, so bleiben die gefundenen Anzahlen entweder gleich oder werden größer. Damit ist die Anzahl der großen Blonden also kleiner oder gleich der Anzahl an blonden Männern plus der Anzahl an großen Frauen. Mit dem Zeichen <math>N</math> für Anzahl und zurückübersetzt in die Formelzeichen ist das die hier passende Variante der bellschen Ungleichung:
:<math>N(\mathbf a_h,\mathbf b_h) \leq N(\mathbf b_h,\mathbf c_v) + N(\mathbf a_h,\mathbf c_h).</math>
Diese Ungleichung müssen die Messwerte des beschriebenen Experiments also erfüllen, wenn das Polarisationsverhalten verschränkter Photonen auf lokalen verborgenen Variablen beruht.


Der Mittelwert <math>\langle a_1\, b_2\rangle</math> der Produkte der Messergebnisse ist die Summe der Produkte <math>a_{1i}\,b_{2i}</math>, geteilt durch die Anzahl der Versuche,  
== Verletzung der Ungleichung in der Quantentheorie ==
Da Alice und Bob unabhängig voneinander die drei Orientierungen der Filter
jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit (=1/3) verwenden, wird jede der
Kombinationen <math>\mathbf a/\mathbf b,\,\mathbf b/\mathbf c,\,\mathbf
a/\mathbf c</math> mit geringen Fehlern in gleicher Häufigkeit <math>N_T</math>
getestet, wenn die Gesamtzahl der Messungen hinreichend groß ist. Mit wachsender Zahl von
Messungen nähern sich ferner die Quotienten <math>N(\mathbf a_h,\mathbf b_h)/N_T
</math> etc. nach der Formel (Anzahl Erfolge)/(Anzahl Versuche) beliebig genau der jeweiligen
Wahrscheinlichkeit <math>W(\mathbf a_h,\mathbf b_h)</math> etc.
Damit nimmt die Ungleichung die Form
:<math>W(\mathbf a_h,\mathbf b_h) \leq W(\mathbf b_h,\mathbf c_v) + W(\mathbf
a_h,\mathbf c_h)</math>
an.


:<math>\langle a_1\, b_2\rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N a_{1i}\,b_{2i}\,.</math>
Für die quantentheoretisch berechnete Wahrscheinlichkeit für ein Paar von Messergebnissen an den zwei hier betrachteten Photonen ist es nun egal, ob im Experiment zwei Photonen eines speziell verschränkten Zustands mit zwei Filtern verwendet werden oder ein einzelnes Photon nach zwei hintereinander geschalteten Polarisationsfiltern nachgewiesen wird. Für die Rechnung ist der Fall eines einzelnen Photons hinter zwei Filtern aber leichter zu beschreiben und soll nun gezeigt werden.


Entsprechend erhält man die Mittelwerte der Messergebnisse <math>\langle a_1\, c_2\rangle</math> und <math>\langle b_1\, c_2\rangle</math>.
Ein einzelnes linear polarisiertes Photon kann nun von einem [[Polarisationsfilter]] entweder transmittiert oder reflektiert werden. Die zugehörige [[Observable]] der Polarisation besitzt damit genau zwei Eigenzustände, die im Folgenden mit <math>|t\rangle</math> und <math>|r\rangle</math> bezeichnet werden können. Ein transmittiertes Photon wird an einem zweiten um 90° gedrehten Polarisationsfilter immer reflektiert. Wird der zweite Polarisationsfilter dagegen um einen Winkel <math>\theta</math> gedreht, so kann der Zustand des ursprünglich transmittierten Photons als [[Superposition (Physik)|Superposition]] der beiden genannten Eigenzustände wie folgt beschrieben werden<ref>[https://iopscience.iop.org/book/978-0-7503-2179-2/chapter/bk978-0-7503-2179-2ch1 Quantum Mechanics for Nuclear Structure, Volume 1, A theory of polarized photons]</ref>:
:<math>|\theta \rangle = \cos \theta \;|t \rangle + \sin \theta \;|r \rangle</math>


Summiert man die Ungleichungen und teilt man das Ergebnis durch die Anzahl der Versuche, so erhält man die ''bellsche Ungleichung''<ref>{{Literatur|Autor=J. S. Bell|Titel=On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox|Sammelwerk=Physics|Band=1|Nummer=3|Jahr=1964|Seiten=195-200|Online=[http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/bell_physics_1_195_64.pdf PDF]}}</ref> für Mittelwerte von Produkten von Polarisationswerten
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Photon am zweiten Polarisationsfilter transmittiert wird, berechnet sich nun gemäß der [[Bornsche Regel|bornschen Regel]] und in Übereinstimmung mit dem klassisch begründeten [[Gesetz von Malus]] gemäß
:<math>W(\mathbf b_h) = \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b)</math>
Das Photon wird entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit <math>\sin^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b)</math> reflektiert.


:<math>\langle a_1\,b_2\rangle-\langle a_1\,c_2\rangle+\langle b_1\,c_2\rangle \leq 1\,.</math>
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein einzelnes unpolarisiertes Photon an beiden Polarisationsfiltern transmittiert wird, ist also
:<math>W(\mathbf a_h,\mathbf b_h) = W(\mathbf a_h) \cdot W(\mathbf b_h)= 0{,}5 \cdot \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b)</math>


Bei der Herleitung der bellschen Ungleichung wurde vorausgesetzt, dass in jedem Versuch die Ergebnisse der Polarisationsmessungen in den drei Richtungen von <math>\mathbf a,\,\,\mathbf b</math> und  <math>\mathbf c</math> festliegen, obwohl tatsächlich nur in jeweils einer Richtung gemessen werden kann. Es wurde ferner davon ausgegangen, dass die Ergebnisse bei einem Photon nicht davon abhängen, in welcher Richtung am anderen Photon gemessen wird. Die Ergebnisse <math>a_{1i}</math> am ersten Photon sollen also nicht von der Richtung des zweiten Filters also <math>a_{2i}</math> oder <math>b_{2i}</math> oder <math>c_{2i}</math> abhängen. Schließlich wurde vorausgesetzt, dass der Mittelwert über alle gedachten Versuchsergebnisse mit dem Mittelwert über alle tatsächlich ausgeführten Versuche übereinstimmt und dass keine Eigenschaft des Photonenpaares die zufällige Wahl der Messrichtungen beeinträchtigt.
Damit können nun wiederum alle benötigten Terme der bellschen Ungleichung berechnet werden.


== Quantenmechanische Mittelwerte ==
Es gilt <math>W(\mathbf a_h,\mathbf b_h)= 0{,}5 \cdot \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b)</math> und <math>W(\mathbf a_h,\mathbf c_h) = 0{,}5 \cdot \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf c)</math>. Dagegen ist <math>W(\mathbf b_h,\mathbf c_v) = 0{,}5 \cdot \sin^2\!\!\angle(\mathbf b,\mathbf c),</math> denn <math>\mathbf c_v</math> bedeutet, dass das Photon reflektiert wurde.
In der Quantenmechanik ergibt sich für den Mittelwert der Polarisationsmessungen


:<math>\langle {a}_1\, {b}_2\rangle = \cos(2\,\theta_{ab})\,.</math>
Insgesamt ergibt sich
:<math>0{,}5 \cdot \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b)\,\,\leq\,\,0{,}5\cdot\sin^2\!\!\angle(\mathbf b,\mathbf c)
+ 0{,}5\cdot\cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf c)</math>.
:<math>\Leftrightarrow \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b)\,\,\leq\,\,\sin^2\!\!\angle(\mathbf b,\mathbf c)
+ \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf c)</math>.


Dies folgt aus:
Tatsächlich gilt dies nun aber nicht für beliebige <math>\mathbf a,\,\mathbf b,\,\mathbf c</math>. Wählt man <math>\angle(\mathbf a,\mathbf b) = \angle(\mathbf b,\mathbf c) = \pi/6 = 30^\circ</math>, <math>\angle(\mathbf a,\mathbf c) = \pi/3 = 60^\circ</math> mit &nbsp;<math>\cos^2(\pi/6) = 3/4,\,\sin^2(\pi/6) = \cos^2(\pi/3)= 1/4</math>, so ergäbe sich
:<math>\frac34\,\,\le\,\,\frac14 + \frac14,</math>
was offenbar falsch ist.


:<math>\langle {a}_1\, {b}_2\rangle = \langle {a}_1\, {b}_1\rangle\,,</math> 
Gemäß der Quantentheorie gilt die bellsche Ungleichung also nicht immer.
:<math>P({a}_1\ {b}_1 = 1) = \cos^ 2 \theta_{ab}\,,</math>
:<math>P({a}_1\ {b}_1 = -1) = \sin^ 2 \theta_{ab}\,,</math>
:<math>\langle {a}_1\, {b}_2\rangle = (1) \cos^ 2 \theta_{ab}\ + (-1) \sin^ 2 \theta_{ab}\ =\cos(2\ \theta_{ab})\,.</math> 
 
Es ist aber die Linearkombination der Mittelwerte, wie sie in der bellschen Ungleichung vorkommt,
 
:<math>\cos(2\,\theta_{ab})-\cos(2\,\theta_{ac})+\cos(2\,\theta_{bc})\,,</math>
 
''nicht'' für alle Richtungen kleiner als 1. Wählt man beispielsweise <math>\mathbf b</math> als Winkelhalbierende zwischen <math>\mathbf a</math> und <math>\mathbf c\,,</math> die 60 Grad einschließen,
 
:<math>\theta_{ab}=\theta_{bc}=\frac{\pi}{6}</math> und <math>\theta_{ac}=\frac{\pi}{3},</math>
 
so ergibt sich für die Linearkombination der quantenmechanischen Mittelwerte
 
:<math>\underbrace{\cos(2\,\theta_{ab})}_\frac{1}{2}-\underbrace{\cos(2\,\theta_{ac})}_{-\frac{1}{2}}
+\underbrace{\cos(2\, \theta_{bc})}_\frac{1}{2}=\frac 3 2\,,</math>
 
in deutlichem Widerspruch zur bellschen Ungleichung für lokale, realistische Theorien.
 
Die quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten können also – im Gegensatz zur Annahme Albert Einsteins – ''nicht'' von einer vollständigeren, lokalen Theorie infolge der Unkenntnis verborgener Parameter herrühren, die den Ausgang jeder denkbaren Messung festlegen. Der Grund für die Abweichung in der Korrelationsabschätzung liegt darin begründet, dass in der bellschen Ungleichung vier unabhängige (lokale) Elemente drei Korrelationen ausbilden wohingegen in der Quantenmechanik drei unabhängige (nichtlokale) Wellenfunktionen drei Korrelationen ausbilden.


== Experimentelle Untersuchungen ==
== Experimentelle Untersuchungen ==
=== Anforderungen ===
=== Anforderungen ===
Um die Verletzung der bellschen Ungleichung überzeugend nachzuweisen, muss das Experiment folgende Anforderungen erfüllen:<ref name="Kofler15" />


Um die Verletzung der bellschen Ungleichung überzeugend nachzuweisen, muss das Experiment folgende Anforderungen erfüllen:
# Die Messungen an den beiden Photonen jedes Paares müssen [[raumartig]] voneinander getrennt sein: Es muss ausgeschlossen sein, dass die Wahl der einen Messrichtung bei der Wahl der anderen bekannt ist. Dies wurde erstmals von [[Gregor Weihs]] und Mitarbeitern in der Gruppe von [[Anton Zeilinger]] sichergestellt,<ref name="Weihs98" /><ref group="A">Ein früheres, sehr einflussreiches Experiment von [[Alain Aspect]] und Mitarbeitern (Aspect ''et al.'' 1982) ''änderte'' zwar die Einstellung der Messungen schnell genug für raumartige Trennung, allerdings folgte die Änderung an beiden Detektoren je einem deterministischen (periodischen) Prozess und war damit im Prinzip vorhersagbar, sodass das Schlupfloch nicht strikt geschlossen wurde.</ref> indem die Richtungen erst so spät zufällig gewählt wurden, dass man von dieser Wahl selbst mit lichtschnellen Signalen bei der anderen Messung noch nichts wissen konnte. Es darf also kein ''Lokalitätsschlupfloch'' bezüglich unterlichtschneller oder lichtschneller Signale geben.
 
# Bei den Photonexperimenten gibt es aber noch ein zweites Problem: Jeder Photodetektor weist nur einen Bruchteil der Photonen nach (im Experiment von Weihs nur 5 Prozent). Man muss zusätzlich annehmen, dass die nicht nachgewiesenen Photonen dieselben Eigenschaften wie die nachgewiesenen haben. Das ist das sogenannte ''Nachweis-'' oder ''[[Repräsentativität|Fair-Sampling]]-Schlupfloch''. Es wird beim Experiment von Rowe geschlossen.<ref name="Rowe01" />
# Die Messungen an den beiden Photonen jedes Paares müssen raumzeitlich getrennt sein: es muss ausgeschlossen sein, dass die Wahl der einen Messrichtung bei der anderen Messung bekannt ist. Dies stellten Aspect und Weihs in ihren Experimenten dadurch sicher, dass die Richtungen erst so spät zufällig gewählt wurden, dass man von dieser Wahl selbst mit lichtschnellen Signalen bei der anderen Messung noch nichts wissen konnte. Es darf also kein ''Lokalitätsschlupfloch'' bezüglich unterlichtschneller oder lichtschneller Signale geben.
# Ein drittes Schlupfloch, das erst spät identifiziert wurde, ist das ''Wahlfreiheitsschlupfloch''. Es bezieht sich darauf, dass bei der Ableitung der bellschen Ungleichung angenommen wird, dass die Einstellungen der Detektoren bei jeder Messung unabhängig voneinander und unabhängig von möglichen verborgenen Variablen gewählt werden können. Falls dagegen die verborgenen Variablen auch die Detektoreinstellungen vorherbestimmen, lässt sich leicht ein lokal-realistisches Modell mit Verletzung der Bellschen Ungleichung konstruieren.<ref name="Kofler15" /> Strenggenommen lässt sich dieses Schlupfloch nicht schließen, da man „Superdeterminismus“ (die Annahme, dass alles von Anfang an vorherbestimmt ist) nicht ausschließen kann. Stattdessen versucht man, den Zeitpunkt, zu dem diese Vorherbestimmung stattgefunden haben müsste, immer weiter hinauszuschieben. Die bisher erreichte Grenze liegt bei 7,8 Milliarden Jahren.<ref>{{Literatur |Autor=D. Rauch, J. Handsteiner ''et al.'' |Titel=Cosmic Bell Test using Random Measurement Settings from High-Redshift Quasars |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=121 |Datum=2018 |Seiten=080403 |arXiv=1808.05966}}</ref>
# Falls es aber überlichtschnelle Signale gäbe, dann wäre denkbar, dass die Entscheidung, in welche Richtung am einen Ort die Polarisation gemessen wird, sich auf das Ergebnis am anderen Ort auswirkt und die bellsche Ungleichung deshalb verletzt ist. Für solch ein ''Lokalitätsschlupfloch'' bzgl. überlichtschneller Signale gibt es allerdings keinen Hinweis.
# Gelegentlich werden noch weitere, technische Schlupflöcher (wie das ''Koinzidenz-Schlupfloch'' oder das ''Speicher-Schlupfloch'') diskutiert,<ref name="Kofler15" /> die sich aber durch geeignete Bestimmung des Zeitfensters bei der Detektion und Auswahl der statistischen Auswertungsmethoden schließen lassen.
# Bei den Photonexperimenten gibt es aber noch ein drittes Problem: Jeder Photodetektor weist nur einen Bruchteil der Photonen nach (im Experiment von Weihs nur 5 Prozent). Man muss zusätzlich annehmen, dass die nicht nachgewiesenen Photonen dieselben Eigenschaften haben wie die nachgewiesenen. Das ist das sogenannte ''Nachweisschlupfloch''. Es wird beim Experiment von Rowe geschlossen.


=== Widerlegungsexperimente ===
=== Widerlegungsexperimente ===
Seit Ende der 1960er-Jahre wurden viele Experimente durchgeführt, um die Verletzung einer bellschen Ungleichung nachzuweisen:


Seit Ende der 1960er-Jahre wurden viele Experimente durchgeführt, um  die Verletzung einer bellschen Ungleichung nachzuweisen:
* C. A. Kocher und [[Eugene Commins]] (1967) beobachteten Korrelationen in Photonenpaaren, die von angeregten Kalziumatomen ausgesandt werden.<ref>{{Literatur |Autor=C. A. Kocher, E. D. Commins |Titel=Polarization Correlation of Photons Emitted in an Atomic Cascade |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=18 |Nummer=15 |Datum=1967 |Seiten=575-577 |DOI=10.1103/PhysRevLett.18.575}}</ref>
 
* [[Stuart J. Freedman]] und [[John Clauser]] (1972) benutzten diesen Prozess, um eine erste Verletzung einer bellschen Ungleichung zu demonstrieren.<ref name="FC72" />
* C. A. Kocher und [[Eugene Commins]] (1967) beobachteten Korrelationen in Photonenpaaren, die von angeregten Kalziumatomen ausgesandt werden.<ref>{{Literatur|Autor=C. A. Kocher, E. D. Commins|Titel=Polarization Correlation of Photons Emitted in an Atomic Cascade|Sammelwerk=Physical Review Letters|Band=18|Nummer=15|Jahr=1967|Seiten=575-577|DOI= 10.1103/PhysRevLett.18.575}}</ref>
* [[Alain Aspect|Aspect]], [[Jean Dalibard|Dalibard]] und [[Gérard Roger|Roger]] (1982) benutzten einen anderen Prozess im Kalziumatom, der höhere Zählraten und dadurch eine signifikantere Verletzung ergab. Außerdem waren beide Polarisationsfilter 12&nbsp;m entfernt, und die Wahl ihrer Messrichtungen erfolgte durch zwei unabhängige, aber deterministische Prozesse zu von der Messung (am jeweils anderen Dektektor) raumartig getrennten (d.&nbsp;h., kausal nicht verbundenen) Zeitpunkten.<ref name="Aspect82">{{Literatur |Autor=Alain Aspect, Jean Dalibard, Gérard Roger |Titel=Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time-Varying Analyzers |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=49 |Nummer=25 |Datum=1982 |Seiten=1804-1807 |DOI=10.1103/PhysRevLett.49.1804}}</ref>
*[[Stuart J. Freedman]] und [[John Clauser]] (1972) benutzten diesen Prozess, um eine erste Verletzung einer bellschen Ungleichung zu demonstrieren.<ref>{{Literatur|Autor=S. J. Freedman, J. F. Clauser|Titel=Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories|Sammelwerk=Physical Review Letters|Band=28|Nummer=14|Jahr=1972|Seiten=938-941|DOI=10.1103/PhysRevLett.28.938}}</ref>
* [[Anton Zeilinger]] und Mitarbeiter (1998) benutzten polarisationsverschränkte Photonen, die durch spontane parametrische Fluoreszenz erzeugt worden waren. Die Polarisationsfilter waren 400&nbsp;m entfernt, und die Polarisationsrichtung wurde mittels unabhängiger physikalischer [[Zufallszahlengenerator]]en so kurz vor der Messung festgelegt, dass eine Informationsübertragung über die Messrichtung wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeit nicht möglich war.<ref name="Weihs98">{{Literatur |Autor=[[Gregor Weihs]], [[Thomas Jennewein]], [[Christoph Simon]], [[Harald Weinfurter]] und [[Anton Zeilinger]] |Titel=Violation of Bell's Inequality under Strict Einstein Locality Conditions |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=81 |Nummer=23 |Datum=1998 |Seiten=5039-5043 |arXiv=quant-ph/9810080v1 |DOI=10.1103/PhysRevLett.81.5039}}</ref>
* [[Alain Aspect|Aspect]], [[Jean Dalibard|Dalibard]] und [[Gérard Roger|Roger]] (1982) benutzten einen anderen Prozess im Kalziumatom, der höhere Zählraten und dadurch eine signifikantere Verletzung ergab. Außerdem waren beide Polarisationsfilter 12 m entfernt und die Wahl ihrer Messrichtungen erfolgte durch einen schnellen Zufallsgenerator erst nachdem beide Photonen die Quelle verlassen hatten.<ref>{{Literatur|Autor=Alain Aspect, Jean Dalibard, Gérard Roger|Titel=Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time- Varying Analyzers|Sammelwerk=Physical Review Letters|Band=49|Nummer=25|Jahr=1982|Seiten=1804-1807|DOI= 10.1103/PhysRevLett.49.1804 }}</ref>
* [[David Wineland]] und Mitarbeitern (2001) gelang es, eine Verletzung der Ungleichung anhand von Messungen an Ionen in einer Falle zu demonstrieren. Dabei konnten alle Ereignisse detektiert werden (siehe: [[#Anforderungen|Anforderungen an das Experiment]]).<ref name="Rowe01">{{Literatur |Autor=M. A. Rowe, D. Kielpinski, V. Meyer, C. A. Sackett, W. M. Itano, C. Monroe, D. J. Wineland |Titel=Experimental violation of a Bell's inequality with efficient detection. |Sammelwerk=Nature |Band=409 |Nummer=6822 |Datum=2001 |Seiten=791-4 |DOI=10.1038/35057215}}</ref>
* Weihs und Mitarbeiter (1998) benutzten polarisationsverschränkte Photonen, die durch spontane parametrische Fluoreszenz erzeugt worden waren. Die Polarisationsfilter waren 400&nbsp;m entfernt, so dass eine Informationsübertragung über die Messrichtung wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeit nicht möglich war.<ref>{{Literatur|Autor=G. Weihs, T. Jennewein, C. Simon, H. Weinfurter, A. Zeilinger|Titel=Violation of Bell's Inequality under Strict Einstein Locality Conditions|Sammelwerk=Physical Review Letters|Band=81|Nummer=23|Jahr=1998|Seiten=5039-5043|DOI= 10.1103/PhysRevLett.81.5039|arxiv=quant-ph/9810080v1 }}</ref>
* [[Ronald Hanson]] und Mitarbeitern (August 2015)<ref name="Hensen15">{{Literatur |Autor=B. Hensen, H. Bernien, R. Hanson ''et al.'' |Titel=Experimental loophole-free violation of a Bell inequality using entangled electron spins separated by 1.3km |Sammelwerk=Nature |Band=526 |Datum=2015 |Seiten=682–686 |arXiv=1508.05949}}</ref> und kurz darauf Zeilinger ''et al.''<ref name="Giustina15">{{Literatur |Autor=M. Giustina, M. A. M. Versteegh, A. Zeilinger ''et al.'' |Titel=Significant-Loophole-Free Test of Bell’s Theorem with Entangled Photons |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=115 |Datum=2015 |Seiten=250401 |arXiv=1511.03190}}</ref> und [[Sae Woo Nam]] ''et al.''<ref name="Shalm15">{{Literatur |Autor=L. K. Shalm, E. Meyer-Scott, Sae Woo Nam ''et al.'' |Titel=Strong Loophole-Free Test of Local Realism |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=115 |Datum=2015 |Seiten=250402 |arXiv=1511.03189}}</ref> (beide November 2015) gelang es, in ihren Experimenten gleichzeitig das Locality und das Fair-sampling Schlupfloch zu schließen<ref name="Kofler15">{{Literatur |Autor=Johannes Kofler |Titel=Endspiel für den lokalen Realismus |Sammelwerk=[[Physik in unserer Zeit]] |Band=46 |Nummer=6 |Datum=2015 |Seiten=288 |Sprache=de |DOI=10.1002/piuz.201501412}}</ref> und keine „Schlupfloch-Interpretationen“ mit ihren extrem kleinen p-Werten mehr zu gestatten.<ref>{{Literatur |Autor=O. Gühne |Titel=Keine Ausreden mehr |Sammelwerk=[[Physik Journal]] |Band=15 |Nummer=2 |Datum=2016 |Seiten=18–19 |Sprache=de}}</ref> Hanson, Sae Woo Nam und Zeilinger erhielten dafür 2017 den [[John Stewart Bell Prize]].
* Rowe und Mitarbeitern (2001) gelang es, eine Verletzung der Ungleichung anhand von Messungen an Ionen in einer Falle zu demonstrieren. Dabei konnten alle Ereignisse detektiert werden (siehe: [[#Anforderungen|Anforderungen an das Experiment]]).<ref>{{Literatur|Autor=M. A. Rowe, D. Kielpinski, V. Meyer, C. A. Sackett, W. M. Itano, C. Monroe, D. J. Wineland|Titel=Experimental violation of a Bell's inequality with efficient detection.|Sammelwerk=Nature|Band=409|Nummer=6822|Jahr=2001|Seiten=791-4|DOI=10.1038/35057215}}</ref>
* [[Wigners Freund#Weiterentwicklung des Experiments|Weiterentwickeltes Theorem basierend auf dem Gedankenexperiment „Wigners Freund“]] (2020)<ref name="SA-20200817">{{cite news |last=Merali |first=Zeeya |title=This Twist on Schrödinger's Cat Paradox Has Major Implications for Quantum Theory – A laboratory demonstration of the classic „Wigner's friend“ thought experiment could overturn cherished assumptions about reality |url=https://www.scientificamerican.com/article/this-twist-on-schroedingers-cat-paradox-has-major-implications-for-quantum-theory/ |date=2020-08-17 |work=[[Scientific American]] |accessdate=2020-08-17 }}</ref><ref name="SM-20200817">{{cite news |last=Musser |first=George |title=Quantum paradox points to shaky foundations of reality |url=https://www.sciencemag.org/news/2020/08/quantum-paradox-points-shaky-foundations-reality |date=2020-08-17 |work=[[Science]] |accessdate=2020-08-17 }}</ref><ref name="NAT-20200817">{{cite journal |author=Kok-Wei Bong, et al. |title=A strong no-go theorem on the Wigner's friend paradox |url=https://www.nature.com/articles/s41567-020-0990-x |date=2020-08-17 |journal=[[Nature Physics]] |volume=27 |doi=10.1038/s41567-020-0990-x |accessdate=2020-08-17 }}</ref>
 
Das Resultat des jeweiligen  Experiments – dass die bellsche Ungleichung verletzt ist – zeigt explizit, dass die relevante Physik, die der beteiligten Quantenphänomene, ''nichtklassisch'' ist.


Neue Experimente, über die im Februar 2016 im Physik-Journal berichtet wird&nbsp;<ref>O. Gühne: ''Keine Ausreden mehr'', in: [[Physik Journal]] 15 (2), S. 18–19 (2016)</ref> lassen „Schlupfloch-Interpretationen“ mit ihren extrem kleinen p-Werten keine Berechtigung mehr.
Das Resultat des jeweiligen Experiments – dass die bellsche Ungleichung verletzt ist – zeigt explizit, dass die relevante Physik – die der beteiligten Quantenphänomene – in einem nicht-superdeterministischen Universum ''nicht lokal-realistisch'' ist.


=== Folgerungen ===
=== Folgerungen ===
Man kann die Quantenmechanik nicht einfach als falsch abtun. Sie stimmt mit den experimentellen Befunden überein.
Man kann die Quantenmechanik nicht einfach als falsch abtun. Sie stimmt mit den experimentellen Befunden überein.


Man kann stattdessen Einsteins Postulate, insbesondere die Vorstellung ''verborgener Variablen'', aufgeben und hinnehmen, dass die Wellenfunktion nur die ''Wahrscheinlichkeit'' der Messwerte festlegt, nicht aber, welcher Messwert in jedem Einzelfall auftritt. Dies ist die [[Kopenhagener Interpretation|Kopenhagener Deutung]] der Quantenmechanik, die unter Physikern vorherrscht. So aufgefasst ist die Quantenmechanik ''nicht-real'', im Gegensatz zu den Vorstellungen von Einstein, Podolski und Rosen (siehe [[Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon]]), weil eine Messung nicht einfach eine Eigenschaft ''abliest'', sondern ''feststellt'' (präziser: ''herstellt''), was zuvor nicht feststand.
Man kann stattdessen Einsteins Postulate, insbesondere die Vorstellung ''verborgener Variablen'', aufgeben und hinnehmen, dass die Wellenfunktion nur die ''Wahrscheinlichkeit'' der Messwerte festlegt, nicht aber, welcher Messwert in jedem Einzelfall auftritt. Dies ist die [[Kopenhagener Interpretation|Kopenhagener Deutung]] der Quantenmechanik, die unter Physikern vorherrscht. So aufgefasst ist die Quantenmechanik entweder ''nicht-real'', im Gegensatz zu den Vorstellungen von Einstein, Podolski und Rosen (siehe [[Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon]]), weil eine Messung nicht einfach eine Eigenschaft ''abliest'', sondern ''feststellt'' (präziser: ''herstellt''), was zuvor nicht feststand. Oder die Quantenmechanik ist ''nicht-lokal'', weil sich der quantenmechanische Zustand des Photonenpaares über beide Messplätze erstreckt.
Zudem ist die Quantenmechanik auch ''nicht-lokal'', weil sich der quantenmechanische Zustand des Photonenpaares über beide Messplätze erstreckt.


In ihrer Kopenhagener Deutung genügt die Quantenmechanik also ''nicht'' Einsteins Forderungen an eine vollständige, reale und lokale Beschreibung der Physik. Dies hatte Einstein erkannt und bemängelt. Aber er irrte in der Annahme, die Quantenmechanik könne durch Hinzufügen ''verborgener Variablen'' real und lokal werden.
In ihrer Kopenhagener Deutung genügt die Quantenmechanik also ''nicht'' Einsteins Forderungen an eine vollständige, reale und lokale Beschreibung der Physik. Dies hatte Einstein erkannt und bemängelt. Aber er irrte in der Annahme, die Quantenmechanik könne durch Hinzufügen ''verborgener Variablen'' real und lokal zugleich werden.


Man kann die [[Lokalität (Physik)|Lokalität]] aufgeben und an der Realität festhalten, wie beispielsweise in der [[Bohmsche Mechanik|bohmschen Mechanik]]. Bohm deutet die Wellenfunktion als nicht-lokales Führungsfeld klassischer Teilchen. Ob diese Deutung zu physikalischen Einsichten führt, ist unter Physikern strittig.
Man kann die [[Lokalität (Physik)|Lokalität]] aufgeben und an der Realität festhalten, wie beispielsweise in der [[Bohmsche Mechanik|bohmschen Mechanik]]. Bohm deutet die Wellenfunktion als nicht-lokales Führungsfeld klassischer Teilchen. Ob diese Deutung zu physikalischen Einsichten führt, ist unter Physikern strittig.


== Verwandtes ==
== Verwandtes ==
Die CHSH-Ungleichung (1969 von John Clauser, Michael Horne, [[Abner Shimony]] und Richard Holt entwickelt<ref>{{Literatur |Autor=J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt |Titel=Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=23 |Nummer=15 |Datum=1969 |Seiten=880-884 |DOI=10.1103/PhysRevLett.23.880}}</ref>) verallgemeinert die bellsche Ungleichung auf beliebige [[Observable]]. Sie ist experimentell einfacher zu überprüfen.


Die CHSH-Ungleichung (1969 von John Clauser, Michael Horne, [[Abner Shimony]] und Richard Holt entwickelt<ref>{{Literatur|Autor=J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt|Titel=Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories|Sammelwerk=Physical Review Letters|Band=23|Nummer=15|Jahr=1969|Seiten=880-884|DOI= 10.1103/PhysRevLett.23.880}}</ref>) verallgemeinert die bellsche Ungleichung auf beliebige [[Observable]]. Sie ist experimentell einfacher zu überprüfen.
[[Daniel Mordechai Greenberger|D. M. Greenberger]], [[Michael Horne|M. A. Horne]] und [[Anton Zeilinger|A. Zeilinger]] beschrieben 1989 einen Versuchsaufbau, das [[GHZ-Zustand|GHZ-Experiment]] mit drei Beobachtern und drei Elektronen, um mit einer einzigen Gruppe von Messungen die Quantenmechanik von einer quasi-klassischen Theorie mit verborgenen Variablen zu unterscheiden.<ref>{{Literatur |Autor=M. Kafatos |Titel=Bell's Theorem, Quantum Theory and Conceptions of the Universe |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag GmbH |Datum=1989 |ISBN=0-7923-0496-9}}</ref>
 
[[Daniel Mordechai Greenberger|D. M. Greenberger]], [[Michael Horne|M. A. Horne]] und [[Anton Zeilinger|A. Zeilinger]] beschrieben 1989 einen Versuchsaufbau, das [[GHZ-Zustand|GHZ-Experiment]] mit drei Beobachtern und drei Elektronen, um mit einer einzigen Gruppe von Messungen die Quantenmechanik von einer quasi-klassischen Theorie mit verborgenen Variablen zu unterscheiden.<ref>{{Literatur|Autor=M. Kafatos|Titel=Bell's Theorem, Quantum Theory and Conceptions of the Universe|Verlag=Springer-Verlag GmbH|ISBN=0792304969|Auflage=2.|Jahr=1989}}</ref>


Hardy untersuchte 1993 eine Situation, mit der theoretisch Nicht-Lokalität gezeigt werden kann.
L. Hardy untersuchte 1993 eine Situation, mit der theoretisch Nicht-Lokalität gezeigt werden kann.


Die Experimente zur Verletzung der bellschen Ungleichung lassen offen, ob (wie in der ''Kopenhagener Interpretation'') neben der Annahme der Lokalität auch die Annahme einer „objektiven Realität“ aufgegeben werden muss. [[Anthony James Leggett|Leggett]] formulierte 2003 eine Ungleichung, die unabhängig von der Annahme der Lokalität gilt und die Annahme objektiver Realität zu überprüfen erlauben soll.<ref name="Leggett2003">A. J. Leggett: ''Nonlocal Hidden-Variable Theories and Quantum Mechanics: An Incompatibility Theorem.'' In: ''Foundations of Physics'' 33, Nr. 10, 2003, S. 1469–1493 ({{DOI|10.1023/A:1026096313729}}, [http://cosmology.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/leggett_fp_33_1469_03.pdf PDF])</ref> Aktuelle Experimente von Gröblacher et al. deuten darauf hin, dass die Leggettsche Ungleichung verletzt wird.<ref name="Gröblacher2006">Simon Gröblacher, Tomasz Paterek, Rainer Kaltenbaek, Caslav Brukner, Marek Zukowski, Markus Aspelmeyer, [[Anton Zeilinger]]: ''An experimental test of non-local realism.'' In: ''Nature.'' 446, Nr. 7138, 2007, S. 871–875. ({{DOI|10.1038/nature05677}}, {{arxiv|0704.2529}})</ref> Die Deutung der Ergebnisse ist jedoch strittig.<ref>Alain Aspect: ''To be or not to be local''. In: ''Nature'' 446, Nr. 7137, 2006, S. 866 ({{DOI|10.1038/446866a}}).</ref><ref>Ulf von Rauchhaupt: ''[http://www.faz.net/aktuell/wissen/physik-chemie/weltbild-der-physik-die-wirklichkeit-die-es-nicht-gibt-1436113.html Weltbild der Physik. Die Wirklichkeit, die es nicht gibt]'' Auf: ''faz.net'' 22. April 2007 (Zitat von Tim Maudlin)</ref><ref>Brian Weatherson : ''[http://tar.weatherson.org/2007/04/25/testing-realism/ Testing Realism?].'' 25. April 2007 (Bezug auf Tim Maudlin)
Die Experimente zur Verletzung der bellschen Ungleichung lassen offen, ob (wie in der ''Kopenhagener Interpretation'') neben der Annahme der Lokalität auch die Annahme einer „objektiven Realität“ aufgegeben werden muss. [[Anthony James Leggett|Leggett]] formulierte 2003 eine Ungleichung, die unabhängig von der Annahme der Lokalität gilt und die Annahme objektiver Realität zu überprüfen erlauben soll.<ref name="Leggett2003">{{Literatur |Autor=A. J. Leggett |Titel=Nonlocal Hidden-Variable Theories and Quantum Mechanics: An Incompatibility Theorem |Sammelwerk=Foundations of Physics |Band=33 |Nummer=10 |Datum=2003 |Seiten=1469–1493 |DOI=10.1023/A:1026096313729}}</ref> Aktuelle Experimente von Gröblacher et al. deuten darauf hin, dass die leggettsche Ungleichung verletzt wird.<ref name="Gröblacher2006">Simon Gröblacher, Tomasz Paterek, Rainer Kaltenbaek, Caslav Brukner, Marek Zukowski, Markus Aspelmeyer, [[Anton Zeilinger]]: ''An experimental test of non-local realism.'' In: ''Nature.'' 446, Nr. 7138, 2007, S. 871–875. ([[doi:10.1038/nature05677]], {{arXiv|0704.2529}})</ref> Die Deutung der Ergebnisse ist jedoch strittig.<ref>{{Literatur |Autor=Alain Aspect |Titel=To be or not to be local |Sammelwerk=Nature |Band=446 |Nummer=7137 |Datum=2006 |Seiten=866 |DOI=10.1038/446866a}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=[[Ulf von Rauchhaupt]] |url=http://www.faz.net/aktuell/wissen/physik-chemie/weltbild-der-physik-die-wirklichkeit-die-es-nicht-gibt-1436113.html |titel=Weltbild der Physik: Die Wirklichkeit, die es nicht gibt |werk=[[FAZ]] |datum=2007-04-22 |abruf=2019-10-24 |kommentar=Zitat von Tim Maudlin}}</ref>
</ref>


== Sonstiges ==
== Sonstiges ==
2001 veröffentlichten [[Karl Hess (Physiker)|Karl Hess]] und der Mathematiker [[Walter Philipp]] Aufsätze, in denen sie auf ein mögliches Schlupfloch im bellschen Theorem hinwiesen.<ref>Hess, Philipp: ''A possible loophole in the theorem of Bell'', Proc. Nat. Acad. Sci. (PNAS), Band 98, 2001, S. 14224–14227, ''Bell's theorem and the problem of decidability between the views of Einstein and Bohr'', PNAS, Band 98, 2001, S. 14228–14233, ''Breakdown of Bell's theorem for certain objective local parameter spaces'', Proc. Nat. Acad. Science, Band 101, 17. Februar 2004, S. 1799</ref> Ihr Argument und ihr Modell ist von Zeilinger und anderen kritisiert worden.<ref>[http://arxiv.org/abs/quant-ph/0208187 Gill, Weihs, Zeilinger, Zukowski ''No time loophole in Bell's theorem; the Hess-Philipp model is non-local'', PNAS, Band 99, 2002, 14632]</ref>
2001 veröffentlichten [[Karl Hess (Physiker)|Karl Hess]] und der Mathematiker [[Walter Philipp]] Aufsätze, in denen sie auf ein mögliches Schlupfloch im bellschen Theorem hinwiesen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Karl Hess (Physiker)|Karl Hess]], [[Walter Philipp]] |Titel=A possible loophole in the theorem of Bell |Sammelwerk= [[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|Proc. Nat. Acad. Sci. (PNAS)]] |Band=98 |Datum=2001 |Seiten=14224–14227 |DOI=10.1073/pnas.251524998}}<br />
{{Literatur |Autor=Karl Hess, Walter Philipp |Titel=Bell's theorem and the problem of decidability between the views of Einstein and Bohr |Sammelwerk=PNAS |Band=98 |Datum=2001 |Seiten=14228–14233 |DOI=10.1073/pnas.251525098}}<br />
{{Literatur |Autor=Karl Hess, Walter Philipp |Titel=Breakdown of Bell's theorem for certain objective local parameter spaces |Sammelwerk=PNAS Science |Band=101 |Datum=2004 |Seiten=1799 |DOI=10.1073/pnas.0307479100}}</ref> Ihr Argument und ihr Modell ist von Zeilinger und anderen kritisiert worden.<ref>{{Literatur |Autor=Richard D. Gill, Gregor Weihs, Anton Zeilinger, Marek Zukowski |Titel=No time loophole in Bell's theorem; the Hess-Philipp model is non-local |Sammelwerk=ONAS |Band=99 |Datum=2002 |arXiv=quant-ph/0208187}}</ref>


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* [[Kochen-Specker-Theorem]]
* [[Kochen-Specker-Theorem]]


== Literatur ==
== Literatur ==
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<!-- sortiert nach Relevanz oder unsortiert?-->
* J. S. Bell: ''Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics'', 2. Aufl, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 978-0521523387 (mit einer Einführung von Alain Aspect, bündelt Bells Originalaufsätze, dt. Übersetzung: ''Quantenmechanik, Sechs mögliche Welten und weitere Artikel'', de Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-044790-3).
* J. S. Bell: ''Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics'', 2. Aufl., Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 978-0-521-52338-7 (mit einer Einführung von Alain Aspect, bündelt Bells Originalaufsätze, dt. Übersetzung: ''Quantenmechanik, Sechs mögliche Welten und weitere Artikel'', de Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-044790-3).
* L. Hardy: ''Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states.'' In: ''Physical Review Letters.'' 71, Nr. 11, 1993, S. 1665–1668 ({{DOI| 10.1103/PhysRevLett.71.1665 }}).
* L. Hardy: ''Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states.'' In: ''Physical Review Letters.'' 71, Nr. 11, 1993, S. 1665–1668 ([[doi:10.1103/PhysRevLett.71.1665]]).
* A. Aspect: [http://www-ece.rice.edu/~kono/ELEC565/Aspect_Nature.pdf ''Bell's inequality test: more ideal than ever.''] (PDF; 222&nbsp;kB) In: ''Nature.'' 398, Nr. 6724, 1999, S. 189–190 ({{DOI|10.1038/18296}}).
* A. Aspect: [http://www-ece.rice.edu/~kono/ELEC565/Aspect_Nature.pdf ''Bell's inequality test: more ideal than ever.''] (PDF; 222&nbsp;kB) In: ''Nature.'' 398, Nr. 6724, 1999, S. 189–190 ([[doi:10.1038/18296]]).
* James T. Cushing (Hrsg.): ''Philosophical consequences of quantum theory: reflections on Bell's theorem.'' Univ. of Notre Dame Press, Notre Dame, Ind. 1989, ISBN 0-268-01578-3.
* James T. Cushing (Hrsg.): ''Philosophical consequences of quantum theory: reflections on Bell's theorem.'' Univ. of Notre Dame Press, Notre Dame, Ind. 1989, ISBN 0-268-01578-3.
* Michael Redhead: ''Incompleteness, nonlocality and realism a prolegomenon to the philosophy of quantum mechanics.'' Clarendon Pr., Oxford 1987, ISBN 0-19-824937-3.
* Michael Redhead: ''Incompleteness, nonlocality and realism a prolegomenon to the philosophy of quantum mechanics.'' Clarendon Pr., Oxford 1987, ISBN 0-19-824937-3.
* M. Kafatos (Hrsg.): ''Bell’s Theorem. Quantum Theory and Conceptions of the Universe.'' Kluwer, Dordrecht-Boston-London 1989, ISBN 0-7923-0496-9.
* M. Kafatos (Hrsg.): ''Bell’s Theorem. Quantum Theory and Conceptions of the Universe.'' Kluwer, Dordrecht-Boston-London 1989, ISBN 0-7923-0496-9.
* T. Maudlin: ''Quantum Non-Locality and Relativity''. Blackwell, Oxford U.&nbsp;K. and Cambridge MA, 1993, ISBN 0-631-18609-3.
* T. Maudlin: ''Quantum Non-Locality and Relativity''. Blackwell, Oxford U.&nbsp;K. and Cambridge MA, 1993, ISBN 0-631-18609-3.
* A. Peres: ''All the Bell inequalities.'' In: ''Foundations of Physics'' 29 (1999), S. 589–614, (Preprint: {{arxiv|quant-ph/9807017}}).
* A. Peres: ''All the Bell inequalities.'' In: ''Foundations of Physics'' 29 (1999), S. 589–614, (Preprint: {{arXiv|quant-ph/9807017}}).
* A. Ekert: Feature [http://www.arturekert.org/miscellaneous/lessreality.pdf ''Less Reality, More Security''] (PDF; 3.8&nbsp;MB) In: ''Physics World'' September 2009, S. 29–32  
* A. Ekert: Feature [http://www.arturekert.org/miscellaneous/lessreality.pdf ''Less Reality, More Security''] (PDF; 3,8&nbsp;MB) In: ''Physics World'' September 2009, S. 29–32.


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* ''[http://www.quantumlab.de/ Bellsche Ungleichung mit verschränkten Photonen am interaktiven Experiment].'' Uni Erlangen 2009.
* ''[http://www.quantumlab.de/ Bellsche Ungleichung mit verschränkten Photonen am interaktiven Experiment].'' Uni Erlangen 2009.
* Thomas Hausmaninger: ''[http://thomas.hausmaninger.at/fba.htm Polarisierte Photonen]'' (enthält eine Gültigkeitsdiskussion der bellschen Ungleichung.)
* Thomas Hausmaninger: ''[http://thomas.hausmaninger.at/fba.htm Polarisierte Photonen]'' (enthält eine Gültigkeitsdiskussion der bellschen Ungleichung.)
* Amos Drobisch: [http://llp.ilt.fhg.de/skripten/hausarbeit_drobisch.pdf Das EPR-Gedankenexperiment, die Bellsche Ungleichung und der experimentelle Nachweis von Quantenkorrelationen] (PDF; 2,9&nbsp;MB), RWTH Aachen 2009
* Amos Drobisch: [https://web.archive.org/web/20160514015319/http://llp.ilt.fhg.de/skripten/hausarbeit_drobisch.pdf Das EPR-Gedankenexperiment, die Bellsche Ungleichung und der experimentelle Nachweis von Quantenkorrelationen] (PDF; 2,9&nbsp;MB), RWTH Aachen 2009.
* Franz Embacher: ''[http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Quantentheorie/EPR/ EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung].'' Ms. Wien 2000.
* Franz Embacher: ''[http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Quantentheorie/EPR/ EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung].'' Ms. Wien 2000.
* Norbert Dragon: ''[http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/qm.pdf Anmerkungen zur Quantenmechanik] (PDF; 933&nbsp;kB)'' (Das Skript enthält eine ausführliche Herleitung der bellschen Ungleichung für Spin-Messungen an Elektronpaaren).
* Norbert Dragon: ''[https://www.itp.uni-hannover.de/fileadmin/arbeitsgruppen/dragon/qm.pdf Anmerkungen zur Quantenmechanik] (PDF; 1,1&nbsp;MB)'' (Das Skript enthält eine ausführliche Herleitung der bellschen Ungleichung für Spin-Messungen an Elektronpaaren).
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/bell-theorem/}}
* {{IEP|http://www.iep.utm.edu/e/epr.htm|The Einstein-Podolsky-Rosen Argument and the Bell Inequalities|László E. Szabó}}
* {{IEP|http://www.iep.utm.edu/e/epr.htm|The Einstein-Podolsky-Rosen Argument and the Bell Inequalities|László E. Szabó}}
* John Bell: ''[http://cdsweb.cern.ch/record/1049544/ Indeterminism and Nonlocality]'' (Englischsprachiges Video, 1990)
* John Bell: ''[http://cdsweb.cern.ch/record/1049544/ Indeterminism and Nonlocality]'' (Englischsprachiges Video, 1990).
* ''[http://www.pro-physik.de/details/news/3004791/Heute_messen_morgen_entscheiden.html Heute messen, morgen entscheiden]'' (pro-physik.de 1. November 2012)
* ''[http://www.pro-physik.de/details/news/3004791/Heute_messen_morgen_entscheiden.html Heute messen, morgen entscheiden]'' (pro-physik.de 1. November 2012).
* {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/bell-theorem/|Bell's Theorem|[[Abner Shimony]]}}.
 
== Anmerkungen ==
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== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==
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[[Kategorie:Quantenphysik]]
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[[Kategorie:Ungleichung]]
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Aktuelle Version vom 4. März 2022, 04:56 Uhr

Die bellsche Ungleichung (auch Bell'sche Ungleichung) betrifft Messreihen an Teilchenpaaren. Sie wurde 1964 von John Stewart Bell veröffentlicht,[1] um den „lokalen Realismus“, ein Konzept Einsteins, zu analysieren. Sie formuliert einen experimentell überprüfbaren Widerspruch zwischen den Konsequenzen des einsteinschen Konzepts und den Vorhersagen der Quantenmechanik. Zahlreiche Experimente haben seither die Verletzung der Ungleichung für verschränkte Teilchenpaare nachgewiesen und damit die Vorhersagen der Quantenmechanik bestätigt.

Schon 1935 hatten Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen,[2] kurz EPR, gezeigt, dass der lokal-realistische Standpunkt der klassischen Physik dazu zwingt, den Teilchen individuelle Eigenschaften zuzuschreiben, die ihr eigenes Verhalten bei Messungen steuern und damit den quantenmechanischen Zufall vortäuschen. Die drei Autoren schlossen daraus, dass die Quantentheorie unvollständig sein musste.

Bell zeigte jedoch, dass, wenn man Einsteins Konzept folgt und gleichzeitig davon ausgeht, dass sich Information maximal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann, bei bestimmten Experimenten an Teilchenpaaren die Messergebnisse seine Ungleichung stets erfüllen müssten. Die Quantentheorie sagt aber in bestimmten Fällen für verschränkte Teilchen die Verletzung der Ungleichung voraus. Was 1964 bei Bell ein Gedankenexperiment war, wurde ab 1972 durch echte Experimente, zuerst[3] von Stuart Freedman und John Clauser, bestätigt.[4]

Aufgrund der durchgeführten Experimente gilt Einsteins Konzept der individuellen Teilcheneigenschaften bei Informationsausbreitung mit höchstens Lichtgeschwindigkeit im strengen Sinne eines lokalen Realismus heute als widerlegt. Mindestens eines der beiden Prinzipien von Lokalität (Es existieren keine Signale, die sich schneller als Licht ausbreiten) und Realismus (Teilchen besitzen auch dann einen definierten Zustand wenn nicht gemessen wird) muss also bei der Betrachtung quantenphysikalischer Systeme aufgegeben werden.

Realismus und Lokalität

Die bellsche Ungleichung zeigt insbesondere, dass aus der Gültigkeit bestimmter grundlegender Annahmen der Quantenmechanik ein Widerspruch zur gleichzeitigen Annahme von Realismus und Lokalität folgt:[5]

  1. Eine physikalische Theorie ist realistisch, wenn Messungen nur Eigenschaften ablesen, die unabhängig von der Messung vorliegen, wenn also das Ergebnis jeder denkbaren Messung (z. B. durch den Einfluss verborgener Parameter) schon feststeht, bevor es durch die Messung bekannt wird.
  2. Eine physikalische Theorie ist nicht lokal, wenn bei Messungen, die (im Sinne der speziellen Relativitätstheorie) in raumartiger Relation an zwei Teilchen stattfinden, die Messergebnisse an den zwei Teilchen korreliert sind (eine dem Zufall widersprechende Beziehung zeigen). Ein Einfluss einer Messung auf die andere könnte höchstens mit Lichtgeschwindigkeit erfolgen und ist in raumartiger Situation nicht möglich.

Die Verwendung dieser Begriffe in der Analyse der Interpretation der Quantenmechanik stammt aus dem Aufsatz zum Gedankenexperiment von Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen (Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon oder kurz EPR-Paradoxon). Die Arbeit von Bell kann als quantitative Version dieses Paradoxons aufgefasst werden, mit der die Alternativen experimentell überprüft werden können.

„Klassische“ Theorien wie die newtonsche Mechanik oder die maxwellsche Elektrodynamik besitzen beide dieser Eigenschaften. Die bellsche Ungleichung ist damit in besonderer Weise dazu geeignet, eine Gegenüberstellung oder einen Vergleich der Eigenschaften von Quantenmechanik und klassischer Physik durchzuführen.

Die Quantenmechanik ist keine realistische lokale Theorie. Bestimmte in der Quantenmechanik berechnete Mittelwerte verletzen die bellsche Ungleichung. Daher kann die Quantenmechanik – im Gegensatz zu einer Annahme Albert Einsteins – nicht durch Hinzufügen von verborgenen Variablen zu einer realistischen und lokalen Theorie vervollständigt werden.

Bei verschränkten Photonenpaaren ist die Verletzung der bellschen Ungleichung gemessen worden. Ihre beobachteten Polarisationseigenschaften stimmen mit der Quantenmechanik überein und sind nicht mit der Annahme von Realität und Lokalität verträglich. Dies bedeutet, dass nicht alle Messwerte vor der Messung feststehen oder dass die Werte aus verschiedenen Messungen nichtlokal korreliert sein können, d. h. in Situationen, die etwa auf Grund der Entfernung den Einfluss einer auf die andere Messung ausschließen.

Bell hatte in der 1932 von John von Neumann veröffentlichten mathematischen Widerlegung der Theorie verborgener Variablen, die lange als unbestritten galt, einen elementaren Fehler in den Voraussetzungen gefunden (in der linearen Additivität der Erwartungswerte, von ihm 1966 veröffentlicht). In seinem Aufsatz von 1964, der die bellschen Ungleichungen einführte, wollte er zeigen, dass die eigentliche Grundannahme, an der Theorien verborgener Variablen scheitern, die Lokalität ist. Eine schon 1952 veröffentlichte Theorie verborgener Variabler von David Bohm war stark nicht-lokal.

Versuchsaufbau

Schema des Bell-Tests: Die Quelle (Source) erzeugt ein verschränktes Photonenpaar. Die beiden Photonen interagieren jeweils mit einem Filter und passieren entweder den Filter oder werden reflektiert. Anschließend wird bei beiden Photonen detektiert, ob sie den Filter passiert haben oder reflektiert wurden.

Die ursprüngliche Überlegung war nur ein Gedankenexperiment, so dass der Versuchsaufbau bei Bell nur theoretisch war. Später wurde der Versuchsaufbau aber real umgesetzt, um die Überlegungen des Gedankenexperimentes experimentell zu bestätigen.

In einer Quelle wird ein quantenverschränktes Photonenpaar erzeugt, wobei sich die Photonen in entgegengesetzte Richtungen fortbewegen. Die beiden Photonen treffen auf je einen Filter; die Filter sind unabhängig voneinander auf die Messrichtung $ \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} $ oder $ \mathbf {c} $ eingestellt.[4][6] Normalerweise werden für die Messrichtungen $ \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} $ die folgenden Werte gewählt:

  • Messrichtung $ \mathbf {a} $: Filter lässt horizontal polarisierte Photonen durch. Vertikal polarisierte Photonen werden reflektiert.
  • Messrichtung $ \mathbf {b} $: Filter ist um $ \pi /6=+30^{\circ } $ ggü. Messrichtung $ \mathbf {a} $ gedreht.
  • Messrichtung $ \mathbf {c} $: Filter ist um $ \pi /6=+30^{\circ } $ ggü. Messrichtung $ \mathbf {b} $ gedreht. (Das heißt, er ist um $ \pi /3=+60^{\circ } $ ggü. Messrichtung $ \mathbf {a} $ gedreht.)

Für beide Filter wird zufällig bestimmt, in welcher dieser drei Richtungen der Filter ausgerichtet ist. Dabei wird die zufällige Bestimmung für beide Filter unabhängig voneinander durchgeführt. Das heißt, aus der Richtung des ersten Filters lässt sich nicht auf die Richtung des zweiten Filters schließen. Die Richtung des Filters wird festgelegt, nachdem das Photonenpaar erzeugt wurde, aber bevor es den Filter erreicht.

Anschließend wird für beide Photonen gemessen, ob sie den Filter passiert haben oder ob sie reflektiert wurden.

Dieses Experiment wird mehrere Male hintereinander ausgeführt. Die Durchgänge, in denen beide Filter zufällig in die gleiche Richtung ausgerichtet sind, werden ignoriert. Für die Durchgänge, in denen beide Filter in unterschiedliche Richtungen ausgerichtet sind, wird gemessen, wie häufig die beiden Photonen des Photonenpaares sich gleich bzw. unterschiedlich verhalten haben.

Insbesondere wird gemessen:

  • $ W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h}) $: Anzahl der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung $ \mathbf {a} $ passiert und das andere Photon den Filter mit Messrichtung $ \mathbf {b} $ passiert hat.
  • $ W(\mathbf {b} _{h},\mathbf {c} _{v}) $: Anzahl der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung $ \mathbf {b} $ passiert und das andere Photon vom Filter mit Messrichtung $ \mathbf {c} $ reflektiert wurde.
  • $ W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {c} _{h}) $: Anzahl der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung $ \mathbf {a} $ passiert und das andere Photon den Filter mit Messrichtung $ \mathbf {c} $ passiert hat.

Je nachdem, ob man ein klassisches Modell (realistisch und lokal) oder ein quantentheoretisches Modell zugrunde legt, besteht im Gedankenexperiment eine unterschiedliche Beziehung zwischen diesen Werten.

Das tatsächliche Experiment zeigt dann, ob das klassische Modell (realistisch und lokal) oder das quantentheoretische Modell zutrifft.

Die Ungleichung bei Annahme von verborgenen Variablen

Ein aus mehreren Komponenten (α und β) zusammengesetztes System muss in der Quantentheorie häufig als ein Objekt (α,β) mit eigenen Zuständen behandelt werden. Unter den möglichen Zuständen gibt es dann stets auch solche, die nicht beschrieben werden können, indem man einen Zustand von α und einen von β benennt. In einem solchen Zustand des Systems heißen α und β miteinander verschränkt. So können zwei Photonen α und β derart miteinander verschränkt sein, dass bei einem Test an parallelen Polarisationsfiltern stets beide passieren oder beide absorbiert werden, und dies für jede beliebige Orientierung der (parallelen) Filter. Ein verschränktes System bleibt ein Quantenobjekt, auch, wenn die Komponenten räumlich voneinander getrennt werden. Die Tests an α und β können daher räumlich wie zeitlich beliebig entfernt voneinander stattfinden. Ob die zwei Photonen das eine oder das andere Schicksal haben, ist nicht vorhersehbar. In dem hier betrachteten Experiment wird ein Strom von derart verschränkten Photonenpaaren erzeugt und davon jeweils ein Photon an das Labor von Alice, das andere an das davon entfernte Labor von Bob verschickt. Alice testet die lineare Polarisation ihrer Photonen in zufälliger Wahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einer von drei Messrichtungen $ \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} $. Bob misst ebenso zufällig in den gleichen Richtungen $ \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} $. Der gewählte Zustand bewirkt, dass Alices und Bobs Photonen gleich reagieren, wenn sie in der gleichen Richtung getestet werden.

Die beiden möglichen mit einem Filter bestimmten Werte der linearen Polarisation werden in der Literatur üblicherweise mit $ h $ für horizontal und $ v $ für vertikal bezeichnet. Die Hypothese besteht in der Annahme, dass jedes Photon eine Art von individuellen Eigenschaften besitzt, die verborgenen Variablen, die ihm für jede Messrichtung vorgeben, ob es bei einem Test als horizontal oder vertikal polarisiert reagieren wird. Das korrelierte Verhalten verschränkter Photonen beruht nach dieser Hypothese darauf, dass ihre verborgenen Variablen entsprechend korreliert sind. Zu den drei Orientierungen $ \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} $ der Filter in dem betrachteten Experiment hat demnach jedes der einlaufenden Photonen eine Voreinstellung auf horizontal oder vertikal, in Zeichen $ \mathbf {a} _{h},\,\mathbf {a} _{v},\,\dots \,\mathbf {c} _{v} $. Jede Messung offenbart die entsprechende Voreinstellung, und diese Voreinstellungen sind wegen der Verschränkung für Alices und Bobs Photon identisch.[7]

Für einen Moment sollen anschauliche Codeworte die mathematischen Zeichen ersetzen: groß/klein statt $ \mathbf {a} _{h},\,\mathbf {a} _{v} $, blond/dunkel für $ \mathbf {b} _{h},\,\mathbf {b} _{v} $ und Frau/Mann für $ \mathbf {c} _{h},\,\mathbf {c} _{v} $. Bezüglich dieser drei Aspekte bilden Alices und Bobs Photonen je ein Paar von identischen Zwillingen. Beide sind z. B. groß, blond und weiblich. Jedes der beiden Photonen lässt sich nur in einer Messrichtung testen. Jede Messung ermittelt also entweder Größe, Haarfarbe oder Geschlecht eines Zwillings. Wenn nun Alice ihrem Photon eine und Bob seinem Photon eine andere Frage stellt, erfahren sie für das Paar zwei der interessierenden Eigenschaften. Deshalb lässt sich eine einfache kombinatorische Feststellung treffen. Unter den insgesamt von Alice und Bob vermessenen Photonen, bzw. Zwillingen ist die Anzahl der großen Blonden gleich der Anzahl der großen blonden Männer plus der Anzahl der großen blonden Frauen. Lässt man nun eine der drei genannten und einschränkenden Eigenschaften weg, so bleiben die gefundenen Anzahlen entweder gleich oder werden größer. Damit ist die Anzahl der großen Blonden also kleiner oder gleich der Anzahl an blonden Männern plus der Anzahl an großen Frauen. Mit dem Zeichen $ N $ für Anzahl und zurückübersetzt in die Formelzeichen ist das die hier passende Variante der bellschen Ungleichung:

$ N(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})\leq N(\mathbf {b} _{h},\mathbf {c} _{v})+N(\mathbf {a} _{h},\mathbf {c} _{h}). $

Diese Ungleichung müssen die Messwerte des beschriebenen Experiments also erfüllen, wenn das Polarisationsverhalten verschränkter Photonen auf lokalen verborgenen Variablen beruht.

Verletzung der Ungleichung in der Quantentheorie

Da Alice und Bob unabhängig voneinander die drei Orientierungen der Filter jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit (=1/3) verwenden, wird jede der Kombinationen $ \mathbf {a} /\mathbf {b} ,\,\mathbf {b} /\mathbf {c} ,\,\mathbf {a} /\mathbf {c} $ mit geringen Fehlern in gleicher Häufigkeit $ N_{T} $ getestet, wenn die Gesamtzahl der Messungen hinreichend groß ist. Mit wachsender Zahl von Messungen nähern sich ferner die Quotienten $ N(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})/N_{T} $ etc. nach der Formel (Anzahl Erfolge)/(Anzahl Versuche) beliebig genau der jeweiligen Wahrscheinlichkeit $ W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h}) $ etc. Damit nimmt die Ungleichung die Form

$ W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})\leq W(\mathbf {b} _{h},\mathbf {c} _{v})+W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {c} _{h}) $

an.

Für die quantentheoretisch berechnete Wahrscheinlichkeit für ein Paar von Messergebnissen an den zwei hier betrachteten Photonen ist es nun egal, ob im Experiment zwei Photonen eines speziell verschränkten Zustands mit zwei Filtern verwendet werden oder ein einzelnes Photon nach zwei hintereinander geschalteten Polarisationsfiltern nachgewiesen wird. Für die Rechnung ist der Fall eines einzelnen Photons hinter zwei Filtern aber leichter zu beschreiben und soll nun gezeigt werden.

Ein einzelnes linear polarisiertes Photon kann nun von einem Polarisationsfilter entweder transmittiert oder reflektiert werden. Die zugehörige Observable der Polarisation besitzt damit genau zwei Eigenzustände, die im Folgenden mit $ |t\rangle $ und $ |r\rangle $ bezeichnet werden können. Ein transmittiertes Photon wird an einem zweiten um 90° gedrehten Polarisationsfilter immer reflektiert. Wird der zweite Polarisationsfilter dagegen um einen Winkel $ \theta $ gedreht, so kann der Zustand des ursprünglich transmittierten Photons als Superposition der beiden genannten Eigenzustände wie folgt beschrieben werden[8]:

$ |\theta \rangle =\cos \theta \;|t\rangle +\sin \theta \;|r\rangle $

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Photon am zweiten Polarisationsfilter transmittiert wird, berechnet sich nun gemäß der bornschen Regel und in Übereinstimmung mit dem klassisch begründeten Gesetz von Malus gemäß

$ W(\mathbf {b} _{h})=\cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ) $

Das Photon wird entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit $ \sin ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ) $ reflektiert.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein einzelnes unpolarisiertes Photon an beiden Polarisationsfiltern transmittiert wird, ist also

$ W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})=W(\mathbf {a} _{h})\cdot W(\mathbf {b} _{h})=0{,}5\cdot \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ) $

Damit können nun wiederum alle benötigten Terme der bellschen Ungleichung berechnet werden.

Es gilt $ W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})=0{,}5\cdot \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ) $ und $ W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {c} _{h})=0{,}5\cdot \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ) $. Dagegen ist $ W(\mathbf {b} _{h},\mathbf {c} _{v})=0{,}5\cdot \sin ^{2}\!\!\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ), $ denn $ \mathbf {c} _{v} $ bedeutet, dass das Photon reflektiert wurde.

Insgesamt ergibt sich

$ 0{,}5\cdot \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\,\,\leq \,\,0{,}5\cdot \sin ^{2}\!\!\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )+0{,}5\cdot \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ) $.
$ \Leftrightarrow \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\,\,\leq \,\,\sin ^{2}\!\!\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )+\cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ) $.

Tatsächlich gilt dies nun aber nicht für beliebige $ \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} $. Wählt man $ \angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\pi /6=30^{\circ } $, $ \angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )=\pi /3=60^{\circ } $ mit  $ \cos ^{2}(\pi /6)=3/4,\,\sin ^{2}(\pi /6)=\cos ^{2}(\pi /3)=1/4 $, so ergäbe sich

$ {\frac {3}{4}}\,\,\leq \,\,{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}, $

was offenbar falsch ist.

Gemäß der Quantentheorie gilt die bellsche Ungleichung also nicht immer.

Experimentelle Untersuchungen

Anforderungen

Um die Verletzung der bellschen Ungleichung überzeugend nachzuweisen, muss das Experiment folgende Anforderungen erfüllen:[9]

  1. Die Messungen an den beiden Photonen jedes Paares müssen raumartig voneinander getrennt sein: Es muss ausgeschlossen sein, dass die Wahl der einen Messrichtung bei der Wahl der anderen bekannt ist. Dies wurde erstmals von Gregor Weihs und Mitarbeitern in der Gruppe von Anton Zeilinger sichergestellt,[10][A 1] indem die Richtungen erst so spät zufällig gewählt wurden, dass man von dieser Wahl selbst mit lichtschnellen Signalen bei der anderen Messung noch nichts wissen konnte. Es darf also kein Lokalitätsschlupfloch bezüglich unterlichtschneller oder lichtschneller Signale geben.
  2. Bei den Photonexperimenten gibt es aber noch ein zweites Problem: Jeder Photodetektor weist nur einen Bruchteil der Photonen nach (im Experiment von Weihs nur 5 Prozent). Man muss zusätzlich annehmen, dass die nicht nachgewiesenen Photonen dieselben Eigenschaften wie die nachgewiesenen haben. Das ist das sogenannte Nachweis- oder Fair-Sampling-Schlupfloch. Es wird beim Experiment von Rowe geschlossen.[11]
  3. Ein drittes Schlupfloch, das erst spät identifiziert wurde, ist das Wahlfreiheitsschlupfloch. Es bezieht sich darauf, dass bei der Ableitung der bellschen Ungleichung angenommen wird, dass die Einstellungen der Detektoren bei jeder Messung unabhängig voneinander und unabhängig von möglichen verborgenen Variablen gewählt werden können. Falls dagegen die verborgenen Variablen auch die Detektoreinstellungen vorherbestimmen, lässt sich leicht ein lokal-realistisches Modell mit Verletzung der Bellschen Ungleichung konstruieren.[9] Strenggenommen lässt sich dieses Schlupfloch nicht schließen, da man „Superdeterminismus“ (die Annahme, dass alles von Anfang an vorherbestimmt ist) nicht ausschließen kann. Stattdessen versucht man, den Zeitpunkt, zu dem diese Vorherbestimmung stattgefunden haben müsste, immer weiter hinauszuschieben. Die bisher erreichte Grenze liegt bei 7,8 Milliarden Jahren.[12]
  4. Gelegentlich werden noch weitere, technische Schlupflöcher (wie das Koinzidenz-Schlupfloch oder das Speicher-Schlupfloch) diskutiert,[9] die sich aber durch geeignete Bestimmung des Zeitfensters bei der Detektion und Auswahl der statistischen Auswertungsmethoden schließen lassen.

Widerlegungsexperimente

Seit Ende der 1960er-Jahre wurden viele Experimente durchgeführt, um die Verletzung einer bellschen Ungleichung nachzuweisen:

  • C. A. Kocher und Eugene Commins (1967) beobachteten Korrelationen in Photonenpaaren, die von angeregten Kalziumatomen ausgesandt werden.[13]
  • Stuart J. Freedman und John Clauser (1972) benutzten diesen Prozess, um eine erste Verletzung einer bellschen Ungleichung zu demonstrieren.[4]
  • Aspect, Dalibard und Roger (1982) benutzten einen anderen Prozess im Kalziumatom, der höhere Zählraten und dadurch eine signifikantere Verletzung ergab. Außerdem waren beide Polarisationsfilter 12 m entfernt, und die Wahl ihrer Messrichtungen erfolgte durch zwei unabhängige, aber deterministische Prozesse zu von der Messung (am jeweils anderen Dektektor) raumartig getrennten (d. h., kausal nicht verbundenen) Zeitpunkten.[14]
  • Anton Zeilinger und Mitarbeiter (1998) benutzten polarisationsverschränkte Photonen, die durch spontane parametrische Fluoreszenz erzeugt worden waren. Die Polarisationsfilter waren 400 m entfernt, und die Polarisationsrichtung wurde mittels unabhängiger physikalischer Zufallszahlengeneratoren so kurz vor der Messung festgelegt, dass eine Informationsübertragung über die Messrichtung wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeit nicht möglich war.[10]
  • David Wineland und Mitarbeitern (2001) gelang es, eine Verletzung der Ungleichung anhand von Messungen an Ionen in einer Falle zu demonstrieren. Dabei konnten alle Ereignisse detektiert werden (siehe: Anforderungen an das Experiment).[11]
  • Ronald Hanson und Mitarbeitern (August 2015)[15] und kurz darauf Zeilinger et al.[6] und Sae Woo Nam et al.[16] (beide November 2015) gelang es, in ihren Experimenten gleichzeitig das Locality und das Fair-sampling Schlupfloch zu schließen[9] und keine „Schlupfloch-Interpretationen“ mit ihren extrem kleinen p-Werten mehr zu gestatten.[17] Hanson, Sae Woo Nam und Zeilinger erhielten dafür 2017 den John Stewart Bell Prize.
  • Weiterentwickeltes Theorem basierend auf dem Gedankenexperiment „Wigners Freund“ (2020)[18][19][20]

Das Resultat des jeweiligen Experiments – dass die bellsche Ungleichung verletzt ist – zeigt explizit, dass die relevante Physik – die der beteiligten Quantenphänomene – in einem nicht-superdeterministischen Universum nicht lokal-realistisch ist.

Folgerungen

Man kann die Quantenmechanik nicht einfach als falsch abtun. Sie stimmt mit den experimentellen Befunden überein.

Man kann stattdessen Einsteins Postulate, insbesondere die Vorstellung verborgener Variablen, aufgeben und hinnehmen, dass die Wellenfunktion nur die Wahrscheinlichkeit der Messwerte festlegt, nicht aber, welcher Messwert in jedem Einzelfall auftritt. Dies ist die Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik, die unter Physikern vorherrscht. So aufgefasst ist die Quantenmechanik entweder nicht-real, im Gegensatz zu den Vorstellungen von Einstein, Podolski und Rosen (siehe Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon), weil eine Messung nicht einfach eine Eigenschaft abliest, sondern feststellt (präziser: herstellt), was zuvor nicht feststand. Oder die Quantenmechanik ist nicht-lokal, weil sich der quantenmechanische Zustand des Photonenpaares über beide Messplätze erstreckt.

In ihrer Kopenhagener Deutung genügt die Quantenmechanik also nicht Einsteins Forderungen an eine vollständige, reale und lokale Beschreibung der Physik. Dies hatte Einstein erkannt und bemängelt. Aber er irrte in der Annahme, die Quantenmechanik könne durch Hinzufügen verborgener Variablen real und lokal zugleich werden.

Man kann die Lokalität aufgeben und an der Realität festhalten, wie beispielsweise in der bohmschen Mechanik. Bohm deutet die Wellenfunktion als nicht-lokales Führungsfeld klassischer Teilchen. Ob diese Deutung zu physikalischen Einsichten führt, ist unter Physikern strittig.

Verwandtes

Die CHSH-Ungleichung (1969 von John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony und Richard Holt entwickelt[21]) verallgemeinert die bellsche Ungleichung auf beliebige Observable. Sie ist experimentell einfacher zu überprüfen.

D. M. Greenberger, M. A. Horne und A. Zeilinger beschrieben 1989 einen Versuchsaufbau, das GHZ-Experiment mit drei Beobachtern und drei Elektronen, um mit einer einzigen Gruppe von Messungen die Quantenmechanik von einer quasi-klassischen Theorie mit verborgenen Variablen zu unterscheiden.[22]

L. Hardy untersuchte 1993 eine Situation, mit der theoretisch Nicht-Lokalität gezeigt werden kann.

Die Experimente zur Verletzung der bellschen Ungleichung lassen offen, ob (wie in der Kopenhagener Interpretation) neben der Annahme der Lokalität auch die Annahme einer „objektiven Realität“ aufgegeben werden muss. Leggett formulierte 2003 eine Ungleichung, die unabhängig von der Annahme der Lokalität gilt und die Annahme objektiver Realität zu überprüfen erlauben soll.[23] Aktuelle Experimente von Gröblacher et al. deuten darauf hin, dass die leggettsche Ungleichung verletzt wird.[24] Die Deutung der Ergebnisse ist jedoch strittig.[25][26]

Sonstiges

2001 veröffentlichten Karl Hess und der Mathematiker Walter Philipp Aufsätze, in denen sie auf ein mögliches Schlupfloch im bellschen Theorem hinwiesen.[27] Ihr Argument und ihr Modell ist von Zeilinger und anderen kritisiert worden.[28]

Siehe auch

Literatur

  • J. S. Bell: Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, 2. Aufl., Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 978-0-521-52338-7 (mit einer Einführung von Alain Aspect, bündelt Bells Originalaufsätze, dt. Übersetzung: Quantenmechanik, Sechs mögliche Welten und weitere Artikel, de Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-044790-3).
  • L. Hardy: Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states. In: Physical Review Letters. 71, Nr. 11, 1993, S. 1665–1668 (doi:10.1103/PhysRevLett.71.1665).
  • A. Aspect: Bell's inequality test: more ideal than ever. (PDF; 222 kB) In: Nature. 398, Nr. 6724, 1999, S. 189–190 (doi:10.1038/18296).
  • James T. Cushing (Hrsg.): Philosophical consequences of quantum theory: reflections on Bell's theorem. Univ. of Notre Dame Press, Notre Dame, Ind. 1989, ISBN 0-268-01578-3.
  • Michael Redhead: Incompleteness, nonlocality and realism a prolegomenon to the philosophy of quantum mechanics. Clarendon Pr., Oxford 1987, ISBN 0-19-824937-3.
  • M. Kafatos (Hrsg.): Bell’s Theorem. Quantum Theory and Conceptions of the Universe. Kluwer, Dordrecht-Boston-London 1989, ISBN 0-7923-0496-9.
  • T. Maudlin: Quantum Non-Locality and Relativity. Blackwell, Oxford U. K. and Cambridge MA, 1993, ISBN 0-631-18609-3.
  • A. Peres: All the Bell inequalities. In: Foundations of Physics 29 (1999), S. 589–614, (Preprint: arxiv:quant-ph/9807017).
  • A. Ekert: Feature Less Reality, More Security (PDF; 3,8 MB) In: Physics World September 2009, S. 29–32.
Lehrbuchdarstellung
  • J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. 2. Auflage, Addison-Wesley, 1993, ISBN 0-201-53929-2, S. 174–187, 223–232.

Weblinks

Anmerkungen

  1. ↑ Ein früheres, sehr einflussreiches Experiment von Alain Aspect und Mitarbeitern (Aspect et al. 1982) änderte zwar die Einstellung der Messungen schnell genug für raumartige Trennung, allerdings folgte die Änderung an beiden Detektoren je einem deterministischen (periodischen) Prozess und war damit im Prinzip vorhersagbar, sodass das Schlupfloch nicht strikt geschlossen wurde.

Einzelnachweise

  1. ↑ John Stewart Bell: On the Einstein Podolsky Rosen Paradox. In: Physics. Band 1, Nr. 3, 1964, S. 195–200 (cern.ch [PDF]).
  2. ↑ Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen: Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? In: Phys. Rev. Band 47, 1935, S. 777–780, doi:10.1103/PhysRev.47.777.
  3. ↑ Alain Aspect: Bell’s inequality test: more ideal than ever. In: Nature. Band 398, 1999, doi:10.1038/18296.
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 S. J. Freedman, J. F. Clauser: Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories. In: Physical Review Letters. Band 28, Nr. 14, 1972, S. 938–941, doi:10.1103/PhysRevLett.28.938.
  5. ↑ Bellsche Ungleichung bei scholarpedia.org (englisch)
  6. ↑ 6,0 6,1 M. Giustina, M. A. M. Versteegh, A. Zeilinger et al.: Significant-Loophole-Free Test of Bell’s Theorem with Entangled Photons. In: Phys. Rev. Lett. Band 115, 2015, S. 250401, arxiv:1511.03190.
  7. ↑ Eugene P. Wigner: On hidden variables and quantum mechanical probabilities. In: J. Phys. Band 38, Nr. 1005, 1970, doi:10.1119/1.1976526.
  8. ↑ Quantum Mechanics for Nuclear Structure, Volume 1, A theory of polarized photons
  9. ↑ 9,0 9,1 9,2 9,3
  10. ↑ 10,0 10,1 Gregor Weihs, Thomas Jennewein, Christoph Simon, Harald Weinfurter und Anton Zeilinger: Violation of Bell's Inequality under Strict Einstein Locality Conditions. In: Physical Review Letters. Band 81, Nr. 23, 1998, S. 5039–5043, doi:10.1103/PhysRevLett.81.5039, arxiv:quant-ph/9810080v1.
  11. ↑ 11,0 11,1 M. A. Rowe, D. Kielpinski, V. Meyer, C. A. Sackett, W. M. Itano, C. Monroe, D. J. Wineland: Experimental violation of a Bell's inequality with efficient detection. In: Nature. Band 409, Nr. 6822, 2001, S. 791-4, doi:10.1038/35057215.
  12. ↑ D. Rauch, J. Handsteiner et al.: Cosmic Bell Test using Random Measurement Settings from High-Redshift Quasars. In: Phys. Rev. Lett. Band 121, 2018, S. 080403, arxiv:1808.05966.
  13. ↑ C. A. Kocher, E. D. Commins: Polarization Correlation of Photons Emitted in an Atomic Cascade. In: Physical Review Letters. Band 18, Nr. 15, 1967, S. 575–577, doi:10.1103/PhysRevLett.18.575.
  14. ↑ Alain Aspect, Jean Dalibard, Gérard Roger: Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time-Varying Analyzers. In: Physical Review Letters. Band 49, Nr. 25, 1982, S. 1804–1807, doi:10.1103/PhysRevLett.49.1804.
  15. ↑ B. Hensen, H. Bernien, R. Hanson et al.: Experimental loophole-free violation of a Bell inequality using entangled electron spins separated by 1.3km. In: Nature. Band 526, 2015, S. 682–686, arxiv:1508.05949.
  16. ↑ L. K. Shalm, E. Meyer-Scott, Sae Woo Nam et al.: Strong Loophole-Free Test of Local Realism. In: Phys. Rev. Lett. Band 115, 2015, S. 250402, arxiv:1511.03189.
  17. ↑
  18. ↑ Zeeya Merali: This Twist on Schrödinger's Cat Paradox Has Major Implications for Quantum Theory – A laboratory demonstration of the classic „Wigner's friend“ thought experiment could overturn cherished assumptions about reality. In: Scientific American, 17. August 2020. 
  19. ↑ George Musser: Quantum paradox points to shaky foundations of reality. In: Science, 17. August 2020. 
  20. ↑ Kok-Wei Bong, et al.: A strong no-go theorem on the Wigner's friend paradox. In: Nature Physics. 27. Jahrgang, 17. August 2020, doi:10.1038/s41567-020-0990-x (nature.com [abgerufen am 17. August 2020]).
  21. ↑ J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt: Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories. In: Physical Review Letters. Band 23, Nr. 15, 1969, S. 880–884, doi:10.1103/PhysRevLett.23.880.
  22. ↑ M. Kafatos: Bell's Theorem, Quantum Theory and Conceptions of the Universe. 2. Auflage. Springer-Verlag GmbH, 1989, ISBN 0-7923-0496-9.
  23. ↑ A. J. Leggett: Nonlocal Hidden-Variable Theories and Quantum Mechanics: An Incompatibility Theorem. In: Foundations of Physics. Band 33, Nr. 10, 2003, S. 1469–1493, doi:10.1023/A:1026096313729.
  24. ↑ Simon Gröblacher, Tomasz Paterek, Rainer Kaltenbaek, Caslav Brukner, Marek Zukowski, Markus Aspelmeyer, Anton Zeilinger: An experimental test of non-local realism. In: Nature. 446, Nr. 7138, 2007, S. 871–875. (doi:10.1038/nature05677, arxiv:0704.2529)
  25. ↑ Alain Aspect: To be or not to be local. In: Nature. Band 446, Nr. 7137, 2006, S. 866, doi:10.1038/446866a.
  26. ↑ Ulf von Rauchhaupt: Weltbild der Physik: Die Wirklichkeit, die es nicht gibt. In: FAZ. 22. April 2007, abgerufen am 24. Oktober 2019 (Zitat von Tim Maudlin).
  27. ↑ Karl Hess, Walter Philipp: A possible loophole in the theorem of Bell. In: Proc. Nat. Acad. Sci. (PNAS). Band 98, 2001, S. 14224–14227, doi:10.1073/pnas.251524998.
    Karl Hess, Walter Philipp: Bell's theorem and the problem of decidability between the views of Einstein and Bohr. In: PNAS. Band 98, 2001, S. 14228–14233, doi:10.1073/pnas.251525098.
    Karl Hess, Walter Philipp: Breakdown of Bell's theorem for certain objective local parameter spaces. In: PNAS Science. Band 101, 2004, S. 1799, doi:10.1073/pnas.0307479100.
  28. ↑ Richard D. Gill, Gregor Weihs, Anton Zeilinger, Marek Zukowski: No time loophole in Bell's theorem; the Hess-Philipp model is non-local. In: ONAS. Band 99, 2002, arxiv:quant-ph/0208187.
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