Fluktuationstheorem: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Dieser Artikel| beschreibt das Verhalten der mittleren Arbeit in | {{Dieser Artikel| beschreibt das Verhalten der mittleren Arbeit in Bezug auf die Freie Energie. Das Fluktuationstheorem sollte nicht mit dem sogenannten [[Fluktuations-Dissipations-Theorem]] verwechselt werden: Letzteres ist zwar selbst für große Ensembles nützlich, in verschiedener Hinsicht etwas allgemeiner und ebenfalls rigoros, aber nur bei linearem Antwortverhalten gültig.}} | ||
Beim '''Fluktuationstheorem''' handelt es sich um ein [[Theorem]] aus der [[Statistische Physik|statistischen Physik]], und zwar um eine der wenigen heutzutage bekannten exakten Relationen, die für beliebig weit aus dem [[Thermodynamisches Gleichgewicht|Gleichgewicht]] getriebene Systeme gültig sind. Das Fluktuationstheorem setzt für solch ein System die Wahrscheinlichkeit von [[Entropieproduktion |entropieerzeugenden]] zu entropievernichtenden [[Trajektorie (Physik)|Trajektorien]] in Beziehung. Dies ist insbesondere von Bedeutung für mikroskopisch kleine Systeme. | Beim '''Fluktuationstheorem''' handelt es sich um ein [[Theorem]] aus der [[Statistische Physik|statistischen Physik]], und zwar um eine der wenigen heutzutage bekannten exakten Relationen, die für beliebig weit aus dem [[Thermodynamisches Gleichgewicht|Gleichgewicht]] getriebene Systeme gültig sind. Das Fluktuationstheorem setzt für solch ein System die Wahrscheinlichkeit von [[Entropieproduktion|entropieerzeugenden]] zu entropievernichtenden [[Trajektorie (Physik)|Trajektorien]] in Beziehung. Dies ist insbesondere von Bedeutung für mikroskopisch kleine Systeme. | ||
In makroskopischen Systemen hingegen entsprechen typischen Trajektorien große Entropieänderungen, und das Theorem liefert eine verschwindend kleine Wahrscheinlichkeit für | In makroskopischen Systemen hingegen entsprechen typischen Trajektorien große Entropieänderungen, und das Theorem liefert eine verschwindend kleine Wahrscheinlichkeit für entropievernichtende Trajektorien (in Übereinstimmung mit dem [[2. Hauptsatz der Thermodynamik]]). | ||
== Nicht-Gleichgewichtssysteme == | == Nicht-Gleichgewichtssysteme == | ||
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Gegenstand des Fluktuationstheorems sind Systeme in Kontakt mit einem Wärmebad, die durch Ändern von Parametern den Gleichgewichtszustand verlassen. Die Parameter ändern sich dabei bei jeder Wiederholung des Experiments in gleicher Weise, und von Interesse ist dabei u.a. die zu leistende Arbeit <math>W</math>. | Gegenstand des Fluktuationstheorems sind Systeme in Kontakt mit einem Wärmebad, die durch Ändern von Parametern den Gleichgewichtszustand verlassen. Die Parameter ändern sich dabei bei jeder Wiederholung des Experiments in gleicher Weise, und von Interesse ist dabei u. a. die zu leistende Arbeit <math>W</math>. | ||
Ein | Ein ''Beispiel'' ist ein mikrometergroßes Kügelchen, das von einem Kraftfeld <math>F\left(\textbf{x}\right)</math> durch eine Flüssigkeit gezogen wird. Das Kraftfeld wird zu einem gegebenen Zeitpunkt eingeschaltet und wirkt über ein Zeitintervall gegebener Dauer, d. h. der Parameter ist hier die Stärke des Kraftfeldes. Die zu leistende Arbeit ergibt sich als Integral der Kraft entlang der Trajektorie. Wiederholt man das Experiment, so ergeben sich aufgrund thermischer Fluktuationen mehr oder weniger unterschiedliche Werte – es resultiert eine Verteilung von Arbeitswerten. | ||
Die Abbildung rechts zeigt eine solche Verteilung für 1000 Trajektorien. | Die Abbildung rechts zeigt eine solche Verteilung für 1000 Trajektorien. | ||
Neben vielen entropieerzeugenden Trajektorien (also solchen, bei denen Reibungsarbeit aufzuwenden ist) gibt es auch einige entropievernichtende Trajektorien. Diese kommen durch Fluktuationen des umgebenden Mediums zustande. Für das Beispiel bedeutet das, dass die [[Brownsche Molekularbewegung]] das Kügelchen zufällig in Ziehrichtung stößt. Solche entropievernichtenden Trajektorien wurden in der Literatur teilweise als „den 2. Hauptsatz verletzend“ bezeichnet. Dies ist falsch, da der 2. Hauptsatz nur für Mittelwerte gilt. | Neben vielen entropieerzeugenden Trajektorien (also solchen, bei denen Reibungsarbeit aufzuwenden ist) gibt es auch einige entropievernichtende Trajektorien. Diese kommen durch Fluktuationen des umgebenden Mediums zustande. Für das Beispiel bedeutet das, dass die [[Brownsche Molekularbewegung]] das Kügelchen zufällig in Ziehrichtung stößt. Solche entropievernichtenden Trajektorien wurden in der Literatur teilweise als „den 2. Hauptsatz verletzend“ bezeichnet. Dies ist falsch, da der 2. Hauptsatz nur für Mittelwerte gilt. | ||
== Crooks-Fluktuationstheorem == | == Crooks-Fluktuationstheorem == | ||
Das Theorem von Crooks<ref name="Cro99">{{cite journal | author= Gavin E. Crooks| title=Entropy production fluctuation theorem and the nonequilibrium work relation for free energy differences | journal=[[Physical Review E]] | year=1999 | volume=60 | pages= | Das Theorem von Crooks<ref name="Cro99">{{cite journal|author= Gavin E. Crooks| title=Entropy production fluctuation theorem and the nonequilibrium work relation for free energy differences | journal=[[Physical Review E]] | year=1999 | volume=60 | pages=2721–2726| doi=10.1103/PhysRevE.60.2721}}</ref> | ||
verknüpft die Wahrscheinlichkeit <math>P_F(W)</math> einer Trajektorie mit der Wahrscheinlichkeit <math>P_R(-W)</math> der zeitumgekehrten Trajektorie (mit vertauschtem Start- und Endpunkt). | verknüpft die Wahrscheinlichkeit <math>P_F(W)</math> einer Trajektorie mit der Wahrscheinlichkeit <math>P_R(-W)</math> der zeitumgekehrten Trajektorie (mit vertauschtem Start- und Endpunkt). | ||
Es muss jeweils im Gleichgewicht gestartet werden, während der Endpunkt beliebig weit im Nichtgleichgewicht liegen kann. Das Crooks-Fluktuationstheorem lautet | Es muss jeweils im Gleichgewicht gestartet werden, während der Endpunkt beliebig weit im Nichtgleichgewicht liegen kann. Das Crooks-Fluktuationstheorem lautet | ||
:<math> \frac{P_F(W)}{P_R(-W)}=e^{\beta W_{diss}} = e^{\Delta S }</math> | :<math> \frac{P_F(W)}{P_R(-W)}=e^{\beta W_{diss}} = e^{\Delta S/k_B},</math> | ||
wobei <math>W_{diss}=W- \Delta F</math> die dissipative Arbeit ist, also der Teil der Gesamtarbeit, die während des Änderns der Parameter in Wärme umgewandelt wird. Das Symbol <math>\beta</math> steht für <math>\beta=1/k_B T</math>, mit der [[Temperatur]] <math>T</math> und der [[Boltzmannkonstante]] <math>k_B</math>. | wobei <math>W_{diss}=W- \Delta F</math> die dissipative Arbeit ist, also der Teil der Gesamtarbeit, die während des Änderns der Parameter in Wärme umgewandelt wird. Das Symbol <math>\beta</math> steht für <math>\beta=1/k_B T</math>, mit der [[Temperatur]] <math>T</math> und der [[Boltzmannkonstante]] <math>k_B</math>. | ||
Das zweite Gleichheitszeichen beruht trivialerweise auf der Proportionalität von dissipativer Arbeit und [[Entropieproduktion]] <math>\Delta S</math>. | Das zweite Gleichheitszeichen beruht trivialerweise auf der Proportionalität von dissipativer Arbeit und [[Entropieproduktion]] <math>\Delta S=W_{diss}/{T}</math>. | ||
== Jarzynski-Gleichung als eine Konsequenz == | |||
:<math> \int dWP_F(W)e^{-\beta W} = \ | Mit Hilfe des Integrals | ||
:<math> \int dWP_F(W)e^{-\beta W} = \overline{e^{-\beta W}}</math> | |||
gelangt man vom Fluktuationstheorem zur [[Jarzynski-Gleichung]]<ref name="Jar">{{Literatur |Autor=C. Jarzynski |Titel=Nonequilibrium Equality for Free Energy Differences |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=78 |Nummer=14 |Datum=1997-03-07 |Seiten=2690 |DOI=10.1103/PhysRevLett.78.2690}}</ref>, <math>\overline{e^{-\beta W}} = e^{-\beta \Delta F}.</math> | |||
Die Jarzynski-Gleichung ist aber auch auf andere Weise beweisbar, z. B. auch auf dem Niveau elementarer statistischer Mechanik (Jarzynski 1997). | |||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
Aktuelle Version vom 1. März 2022, 21:00 Uhr
Beim Fluktuationstheorem handelt es sich um ein Theorem aus der statistischen Physik, und zwar um eine der wenigen heutzutage bekannten exakten Relationen, die für beliebig weit aus dem Gleichgewicht getriebene Systeme gültig sind. Das Fluktuationstheorem setzt für solch ein System die Wahrscheinlichkeit von entropieerzeugenden zu entropievernichtenden Trajektorien in Beziehung. Dies ist insbesondere von Bedeutung für mikroskopisch kleine Systeme.
In makroskopischen Systemen hingegen entsprechen typischen Trajektorien große Entropieänderungen, und das Theorem liefert eine verschwindend kleine Wahrscheinlichkeit für entropievernichtende Trajektorien (in Übereinstimmung mit dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik).
Nicht-Gleichgewichtssysteme
Gegenstand des Fluktuationstheorems sind Systeme in Kontakt mit einem Wärmebad, die durch Ändern von Parametern den Gleichgewichtszustand verlassen. Die Parameter ändern sich dabei bei jeder Wiederholung des Experiments in gleicher Weise, und von Interesse ist dabei u. a. die zu leistende Arbeit $ W $.
Ein Beispiel ist ein mikrometergroßes Kügelchen, das von einem Kraftfeld $ F\left({\textbf {x}}\right) $ durch eine Flüssigkeit gezogen wird. Das Kraftfeld wird zu einem gegebenen Zeitpunkt eingeschaltet und wirkt über ein Zeitintervall gegebener Dauer, d. h. der Parameter ist hier die Stärke des Kraftfeldes. Die zu leistende Arbeit ergibt sich als Integral der Kraft entlang der Trajektorie. Wiederholt man das Experiment, so ergeben sich aufgrund thermischer Fluktuationen mehr oder weniger unterschiedliche Werte – es resultiert eine Verteilung von Arbeitswerten. Die Abbildung rechts zeigt eine solche Verteilung für 1000 Trajektorien. Neben vielen entropieerzeugenden Trajektorien (also solchen, bei denen Reibungsarbeit aufzuwenden ist) gibt es auch einige entropievernichtende Trajektorien. Diese kommen durch Fluktuationen des umgebenden Mediums zustande. Für das Beispiel bedeutet das, dass die Brownsche Molekularbewegung das Kügelchen zufällig in Ziehrichtung stößt. Solche entropievernichtenden Trajektorien wurden in der Literatur teilweise als „den 2. Hauptsatz verletzend“ bezeichnet. Dies ist falsch, da der 2. Hauptsatz nur für Mittelwerte gilt.
Crooks-Fluktuationstheorem
Das Theorem von Crooks[1] verknüpft die Wahrscheinlichkeit $ P_{F}(W) $ einer Trajektorie mit der Wahrscheinlichkeit $ P_{R}(-W) $ der zeitumgekehrten Trajektorie (mit vertauschtem Start- und Endpunkt). Es muss jeweils im Gleichgewicht gestartet werden, während der Endpunkt beliebig weit im Nichtgleichgewicht liegen kann. Das Crooks-Fluktuationstheorem lautet
- $ {\frac {P_{F}(W)}{P_{R}(-W)}}=e^{\beta W_{diss}}=e^{\Delta S/k_{B}}, $
wobei $ W_{diss}=W-\Delta F $ die dissipative Arbeit ist, also der Teil der Gesamtarbeit, die während des Änderns der Parameter in Wärme umgewandelt wird. Das Symbol $ \beta $ steht für $ \beta =1/k_{B}T $, mit der Temperatur $ T $ und der Boltzmannkonstante $ k_{B} $.
Das zweite Gleichheitszeichen beruht trivialerweise auf der Proportionalität von dissipativer Arbeit und Entropieproduktion $ \Delta S=W_{diss}/{T} $.
Jarzynski-Gleichung als eine Konsequenz
Mit Hilfe des Integrals
- $ \int dWP_{F}(W)e^{-\beta W}={\overline {e^{-\beta W}}} $
gelangt man vom Fluktuationstheorem zur Jarzynski-Gleichung[2], $ {\overline {e^{-\beta W}}}=e^{-\beta \Delta F}. $ Die Jarzynski-Gleichung ist aber auch auf andere Weise beweisbar, z. B. auch auf dem Niveau elementarer statistischer Mechanik (Jarzynski 1997).
Einzelnachweise
- ↑ Gavin E. Crooks: Entropy production fluctuation theorem and the nonequilibrium work relation for free energy differences. In: Physical Review E. 60. Jahrgang, 1999, S. 2721–2726, doi:10.1103/PhysRevE.60.2721.
- ↑ C. Jarzynski: Nonequilibrium Equality for Free Energy Differences. In: Physical Review Letters. Band 78, Nr. 14, 7. März 1997, S. 2690, doi:10.1103/PhysRevLett.78.2690.