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:<math>\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n}\Big[a_n(x) p(x,t)\Big]</math> | :<math>\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n}\Big[a_n(x) p(x,t)\Big]</math> | ||
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:<math>a_n(x) = \int \limits_{-\infty}^{\infty} (\Delta x)^n | :<math>a_n(x) = \int \limits_{-\infty}^{\infty} (\Delta x)^n W(x,\Delta x) \,\mathrm{d}(\Delta x)</math> | ||
Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort <math>x</math> abhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit <math>p</math>. Dabei werden kontinuierlich verteilte Schrittgrößen in Raum <math>\Delta x</math> und Zeit <math>\Delta t</math> betrachtet. <math> | Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort <math>x</math> abhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit <math>p</math>. Dabei werden kontinuierlich verteilte Schrittgrößen in Raum <math>\Delta x=x-x'</math> und Zeit <math>\Delta t</math> betrachtet. <math>W(x,\Delta x):=W(x'|x)</math> ist die Übergangswahrscheinlichkeitsrate. Abbruch der Reihe in zweiter Ordnung ergibt die [[Fokker-Planck-Gleichung]]. | ||
Die Entwicklung ist nach [[Hendrik Anthony Kramers]] und [[José Enrique Moyal]] benannt. | Die Entwicklung ist nach [[Hendrik Anthony Kramers]] und [[José Enrique Moyal]] benannt. | ||
Das [[Pawula-Theorem]] besagt, dass falls das dritte Glied der Entwicklung verschwindet, auch alle höheren Terme verschwinden. Falls die Entwicklung nicht mit dem dritten Glied abbricht, enthält sie unendlich viele Beiträge<ref>The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications, Hannes Risken, Seite 70, | |||
https://books.google.de/books?id=dXvpCAAAQBAJ&lpg=PA70&ots=1IZwvn5hYJ&dq=Pawula-Theorem&hl=de&pg=PA70#v=onepage&q=Pawula-Theorem&f=false</ref>. | |||
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== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
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[[Kategorie:Statistische Physik]] | [[Kategorie:Statistische Physik]] | ||
Die Kramers-Moyal-Entwicklung ist in der Physik eine Taylor-Entwicklung einer Mastergleichung, welche die Mastergleichung als Integro-Differentialgleichung in eine partielle Differentialgleichung umformt. Entwickelt wird dabei nach der Schrittgröße
mit
Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort
Die Entwicklung ist nach Hendrik Anthony Kramers und José Enrique Moyal benannt.
Das Pawula-Theorem besagt, dass falls das dritte Glied der Entwicklung verschwindet, auch alle höheren Terme verschwinden. Falls die Entwicklung nicht mit dem dritten Glied abbricht, enthält sie unendlich viele Beiträge[3]. .