Pseudorapidität: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 29. Juli 2019, 12:21 Uhr

Gegenüberstellung von Polarwinkel

\theta

und Pseudorapidität

\eta

für einige beispielhafte Werte.
Als Vorwärtsrichtung bezeichnet man den Winkelbereich mit großen Werten von

\eta

.

Die Pseudorapidität $\eta$ (eta) ist eine räumliche Koordinate, die in der experimentellen Teilchenphysik verwendet wird, um den Winkel eines Vektors relativ zur Strahlachse anzugeben. Sie wird gegenüber der Angabe des Polarwinkels $\theta$ bevorzugt, weil bei Hadron-Hadron-Kollisionen der Fluss der erzeugten Teilchen pro Pseudorapiditäts-Intervall etwa konstant ist.

Die Pseudorapidität ist definiert als

\eta =-\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right].

Für ein Teilchen mit Impuls ${\vec {p}}$ (und $\left|{\vec {p}}\right|=p$ ) lässt sich dies umschreiben in:

\eta =\operatorname {artanh} (p_{L}/p)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {p+p_{L}}{p-p_{L}}}\right),

worin

$\operatorname {artanh}$ die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist und
der Longitudinalimpuls $p_{L}$ die Impulskomponente entlang der Strahlachse.

In der Hochenergienäherung, d. h. für ein Teilchen mit der Energie $$ E $$ , dessen Masse $$ m $$ gegenüber seinem Impuls $$ p $$ vernachlässigbar ist, $m\ll p\Rightarrow E\approx p$ , ist die Pseudorapidität numerisch in etwa gleich der Rapidität

\eta \approx y,

die in der experimentellen Teilchenphysik definiert wird als

y={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+p_{L}}{E-p_{L}}}\right).

Zum Vergleich: die originale Rapidität gemäß der speziellen Relativitätstheorie ist

\vartheta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+p}{E-p}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right),

worin $\beta =v/c$ das Verhältnis der Teilchengeschwindigkeit $$ v $$ zur Lichtgeschwindigkeit $$ c $$ ist.

Die Form des differentiellen Wirkungsquerschnitts $d\sigma /dy$ ist invariant unter einem Lorentz-Boost. Das Gleiche gilt in guter Näherung auch für die Pseudorapidität, nur ist diese leichter zu messen: Nicht die Masse des Teilchens muss ermittelt werden, sondern lediglich seine Flugrichtung durch den Detektor.

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-[[Bild:Pseudorapidity2.png|thumb|right|Gegenüberstellung von Polarwinkel <math>\theta</math> und Pseudorapidität <math>\eta</math> für einige beispielhafte Werte.</br>Als ''Vorwärtsrichtung'' bezeichnet man den Winkelbereich mit großen Werten von <math>\eta</math>.]]
+[[Datei:Pseudorapidity2.png|mini|right|Gegenüberstellung von Polarwinkel <math>\theta</math> und Pseudorapidität <math>\eta</math> für einige beispielhafte Werte.<br />Als ''Vorwärtsrichtung'' bezeichnet man den Winkelbereich mit großen Werten von <math>\eta</math>.]]
 Die '''Pseudorapidität''' <math>\eta</math> (eta) ist eine räumliche [[Koordinate]], die in der experimentellen [[Teilchenphysik]] verwendet wird, um den Winkel eines [[Vektor]]s relativ zur [[Strahl (Geometrie)|Strahl]]<nowiki/>achse anzugeben. Sie wird gegenüber der Angabe des Polarwinkels <math>\theta</math> bevorzugt, weil bei [[Hadron]]-Hadron-Kollisionen der [[Fluss (Physik)|Fluss]] der erzeugten Teilchen pro Pseudorapiditäts-Intervall etwa konstant ist.
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 worin
-* <math>\operatorname{artanh}</math> die [[Areatangens Hyperbolicus|Areatangens-Hyperbolicus]]-Funktion ist und
+* <math>\operatorname{artanh}</math> die [[Areatangens hyperbolicus|Areatangens-hyperbolicus]]-Funktion ist und
 * der Longitudinalimpuls <math>p_L</math> die Impulskomponente entlang der Strahlachse.
-In der [[Hochenergienäherung]], d.&nbsp;h. für Teilchen, deren Masse gegenüber ihrem Impuls vernachlässigbar ist:
+In der [[Hochenergienäherung]], d.&nbsp;h. für ein Teilchen mit der Energie <math>E</math>, dessen Masse <math>m</math> gegenüber seinem Impuls <math>p</math> vernachlässigbar ist, <math>m \ll p \Rightarrow E \approx p</math>, ist die Pseudorapidität numerisch in etwa gleich der [[Rapidität (Physik)|Rapidität]]
-::<math>m \ll p \Rightarrow E \approx p</math>
-mit der Energie <math>E,</math>
-ist die Pseudorapidität numerisch in etwa gleich der [[Rapidität (Physik)|Rapidität]]:
 :<math>\eta \approx y,</math>
 die in der experimentellen Teilchenphysik definiert wird als
+:<math>y = \frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{E + p_L}{E - p_L} \right).</math>
-::<math>y = \frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{E + p_L}{E - p_L} \right).</math>
 Zum Vergleich: die originale Rapidität gemäß der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] ist
+:<math>\vartheta = \frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{E + p}{E - p} \right) = \frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \right),</math>
-::<math>\vartheta = \frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{E + p}{E - p} \right) = \frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \right)</math>
+worin <math>\beta = v / c</math> das Verhältnis der Teilchengeschwindigkeit <math>v</math> zur [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> ist.
-mit
-* <math>\beta = v / c</math>
-** der Teilchengeschwindigkeit <math>v</math>
-** der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c.</math>
 Die Form des [[differentieller Wirkungsquerschnitt|differentiellen Wirkungsquerschnitts]] <math>d\sigma/dy</math> ist invariant unter einem [[Lorentz-Boost]]. Das Gleiche gilt in guter Näherung auch für die Pseudorapidität, nur ist diese leichter zu messen: Nicht die Masse des Teilchens muss ermittelt werden, sondern lediglich seine Flugrichtung durch den [[Teilchendetektor|Detektor]].