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Die Kegelfunktionen sind spezielle Kugelfunktionen, die von Gustav Ferdinand Mehler 1868 als Lösung des Problems der Potentialbestimmung von auf einer Kegelfläche verteilten elektrischen Ladungen eingeführt wurden.
Definition
Die ursprünglich von Mehler eingeführten Funktionen $ K^{\mu }(x) $ sind durch Kugelfunktionen darstellbar, und zwar zugeordnete Legendrepolynome erster und zweiter Art mit einem speziellen komplexen Index:
- $ P_{-(1/2)+i\lambda }^{\mu }(x) $ und $ Q_{-(1/2)+i\lambda }^{\mu }(x) $.
Dabei ist $ \lambda $ reell und $ \mu $ beliebig.
Entsprechend werden heute diese beiden speziellen Legendrefunktionen als Kegelfunktionen bezeichnet.
Speziell gilt mit $ x=\cos(\theta ) $ und $ \mu =0 $:
- $ P_{-(1/2)+i\lambda }(\cos \theta )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\theta }{\frac {\cosh(\lambda t)}{\sqrt {2(\cos t-\cos \theta )}}}dt $
- $ Q_{-(1/2)\mp i\lambda }(\cos \theta )=\pm i\sinh \lambda \pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(\lambda t)}{\sqrt {2(\cosh t+\cos \theta )}}}dt+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh(\lambda t)}{\sqrt {2(\cosh t-\cos \theta )}}}dt $
Literatur
- Abramowitz, Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover 1972, S. 337 (Abschnitt 8.12)
- G. F. Mehler: Über die Vertheilung der statischen Elektricität in einem von zwei Kugelkalotten begrenzten Körper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 68, 1868, S. 134, Online
- G. F. Mehler: Über eine mit den Kugel- und Cylinderfunctionen verwandte Function und ihre Anwendung in der Theorie der Elektricitätsvertheilung. In: Mathematische Annalen, Band 18, 1881, S. 161, Online
- Carl Gottfried Neumann: Über die Mehler’schen Kegelfunctionen und deren Anwendung auf elektrostatische Probleme. In: Mathematische Annalen, Band 18, 1881, S. 195, Online
- G. Leonhardt: Integraleigenschaften der adjungirten Kegelfunctionen. In: Mathematische Annalen, Band 19, 1882, S. 578, Online
Weblinks