Sprungtemperatur

Als Sprungtemperatur oder kritische Temperatur ($ T_{\mathrm {C} } $) bezeichnet man die Temperatur, unterhalb der ein System von quantenmechanischen Effekten dominiert wird. Insbesondere gelten in diesen Bereichen die bekannten quantenmechanischen Statistiken, die Bose-Einstein-Statistik und die Fermi-Dirac-Statistik.

Unterhalb dieser kritischen Temperatur sind die das System formenden Konstituenten delokalisiert, das heißt, es liegt ein makroskopischer Quantenzustand vor. Anschaulich kann man sich das so vorstellen, dass die Ausdehnung der einzelnen Wellenpakete mit abnehmender Temperatur so groß wird, dass sie sich gegenseitig „überlappen“ und somit nicht mehr unterscheidbar sind.

Derartige makroskopische Quantenzustände sind Supraleitung und Supraflüssigkeit sowie der allgemeinere Fall eines Bose-Einstein-Kondensats.

Beispiele

Sprungtemperaturen von Supraflüssigkeiten

Es sind nur zwei Arten von Supraflüssigkeiten im Labor verfügbar.

Die Sprungtemperatur von Helium-3 ist bedeutend kleiner als die von Helium-4, da sich in diesem Fall zwei Heliumteilchen zu einem Paar (Cooper-Paar) zusammenfinden müssen. Ein solches Paar ist bei höheren Temperaturen instabil und würde durch Phononen aufgebrochen werden.

Sprungtemperaturen von einigen Supraleitern

Elemente haben eine Sprungtemperatur von bis zu 9,25 Kelvin (Niob) bei Normaldruck, bei Hochdruckexperimenten sogar bis zu 20 Kelvin (Lithium, 50 Gigapascal). Eine Übersicht über die einzelnen Sprungtemperaturen bietet die Liste der Sprungtemperaturen chemischer Elemente

In Verbindungen und Legierungen kann die Sprungtemperatur bis zu 40 Kelvin betragen, in sogenannten Hochtemperatursupraleitern sogar 130 Kelvin.

Berechnung der Sprungtemperatur

Die Konstituenten eines Systems sind genau dann delokalisiert, wenn ihre thermische (De-Broglie-)Wellenlänge $ \lambda _{\mathrm {deBroglie} } $ größer wird als der mittlere Abstand d.

Die De-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens mit dem Impuls p und der kinetischen Energie $ E_{\mathrm {kin} }=p^{2}/(2m) $ ist gegeben durch:

$ \lambda _{\mathrm {deBroglie} }={\frac {h}{p}}={\frac {h}{\sqrt {2m\,E_{\mathrm {kin} }}}} $

Unter der vereinfachten Annahme $ E_{\mathrm {kin} }=k\,T $ ergibt sich somit:

$ \lambda _{\mathrm {deBroglie} }={\frac {h}{\sqrt {2m\,k\,T}}} $

Der mittlere Abstand d ergibt sich aus der Teilchenzahldichte n wie folgt:

$ d=n^{-1/3} $

Die Sprungtemperatur stellt gerade den kritischen Grenzfall $ \lambda _{\mathrm {deBroglie} }=d $ dar. Gleichsetzung der beiden Ausdrücke und Auflösung nach der Sprungtemperatur liefert:

$ T_{\mathrm {C} }={\frac {h^{2}\,n^{2/3}}{2\,m\,k}} $