Unter systematischer Auslöschung versteht man in der Kristallographie das systematische Fehlen von Reflexen bei der Röntgen- oder Neutronenbeugung an Kristallen, welches auf die symmetriebedingte destruktive Interferenz von gebeugten Strahlen zurückzuführen ist. Ursache der systematischen Auslöschungen ist ein mit einem Translationsvektor verbundenes Symmetrieelement der Raumgruppe (Gleitspiegelebene, Schraubenachse oder eine Zentrierung des Bravaisgitters).
Die systematische Auslöschung hat große Bedeutung für die Strukturaufklärung von Kristallen, da aus ihr Rückschlüsse auf die Symmetrieeigenschaften des Kristalls gezogen werden können. Mit Hilfe der systematischen Auslöschungen kann die Raumgruppe des Kristalls bestimmt werden. Daher sind die Auslöschungsgesetze in den International Tables für die jeweilige Raumgruppe angegeben.
Man unterscheidet zwischen integraler Auslöschung, welche Reflexe im ganzen reziproken Raum betrifft, zonaler Auslöschung, bei der nur Reflexe einer Ebene im reziproken Raum (Zone) betroffen sind und serieller Auslöschung, bei der nur Reflexe auf einer Geraden im reziproken Raum fehlen.
Die Beschreibung einer systematischen Auslöschung erfolgt durch Laue-Indizes hkl, die den Millerschen Indizes (hkl) entsprechen, jedoch im Gegensatz dazu nicht teilerfremd sein müssen. Es wird einerseits der betroffene Bereich des reziproken Raums angegeben (z.B. hkl für eine integrale Auslöschung, hk0 für eine zonale Auslöschung in der l=0 Ebene, oder 00l für eine serielle Auslöschung in der h=k=0 Geraden). Andererseits wird entweder eine Auslöschungsbedingung (Bedingung für das Fehlen von Reflexen) oder eine Reflexbedingung (Bedingung für das Vorhandensein von Reflexen) gegeben (z.B. h+k=2n, die Summe von h und k muss gerade sein).
Integrale Auslöschungen entstehen durch eine Zentrierung des Bravais-Gitters.
In einer innenzentrierten Zelle gibt es zu jedem Atom an beliebiger Position x,y,z ein symmetrisch äquivalentes Atom an der Stelle x+0.5, y+0.5,z+0.5. Der Beitrag jedes dieser Atompaare zum Strukturfaktor ist:
$ f_{m}e^{2\pi i(hx+ky+lz)}+f_{m}e^{2\pi i(h(x+0.5)+k(y+0.5)+l(z+0.5))}= $
$ f_{m}e^{2\pi i(hx+ky+lz)}(1+e^{\pi i(h+k+l)}) $
$ 1+e^{\pi i(h+k+l)}={\begin{cases}2&{\text{wenn h+k+l gerade}}\\0&{\text{wenn h+k+l ungerade}}\end{cases}} $
Reflexe gibt es daher nur an den Stellen, an denen h+k+l gerade ist.
Folgende Tabelle gibt einen Überblick über den Zusammenhang zwischen den in den Bravaisgittern vorkommenden Zentrierungen und den daraus resultierenden Reflexbedingungen.
| Zentrierung | Betroffene Reflexe | Reflexbedingung |
|---|---|---|
| Primitiv | - | keine Auslöschung |
| A-zentriert | hkl | k+l=2n |
| B-zentriert | hkl | h+l=2n |
| C-zentriert | hkl | h+k=2n |
| innenzentriert | hkl | h+k+l=2n |
| Allseitig flächenzentriert | hkl | h+k=2n,h+l=2n,k+l=2n |
| Rhomboedrisch | hkl | -h+k+l=3n |
Zonale Auslöschungen entstehen durch Gleitspiegelebenen im Kristall.
Gibt es in einem Kristall eine a-Gleitspiegelebene senkrecht zu c, die durch den Ursprung geht, so gibt es zu jedem Atom m in x,y,z ein symmetrisch äquivalentes in x+0.5,y,-z. Der Beitrag jedes dieser Atompaare zum Strukturfaktor ist:
$ f_{m}(e^{2\pi i(hx+ky+lz)}+e^{2\pi i(hx+ky-lz)}e^{\pi ih}) $
für l = 0 folgt: $ f_{m}(e^{2\pi i(hx+ky)}\,(1+e^{\pi ih})) $
$ 1+e^{\pi ih}={\begin{cases}2&{\text{wenn h gerade}}\\0&{\text{ wenn h ungerade}}\end{cases}} $
Reflexe in der Zone l=0 gibt es nur, wenn h gerade ist.
Folgende Tabelle gibt einen Überblick über den Zusammenhang zwischen den in den Raumgruppen vorkommenden Gleitspiegelebenen und den daraus resultierenden Reflexbedingungen.
| Gleitspiegelebene | Lage | Gleitvektor | Betroffene Reflexe | Reflexbedingung |
|---|---|---|---|---|
| a | (001) | a/2 | hk0 | h = 2n |
| b | (001) | b/2 | hk0 | k = 2n |
| n | (001) | a/2 + b/2 | hk0 | h + k = 2n |
| d | (001) | a/4 ± b/4 | hk0 | h + k = 4n, h = 2n, k = 2n |
| a | (010) | a/2 | h0l | h = 2n |
| c | (010) | c/2 | h0l | l = 2n |
| n | (010) | a/2 + c/2 | h0l | h + l = 2n |
| d | (010) | a/4 ± c/4 | h0l | h + l = 4n, h = 2n, l = 2n |
| b | (100) | b/2 | 0kl | k = 2n |
| c | (100) | c/2 | 0kl | l = 2n |
| n | (100) | b/2 + c/2 | 0kl | k + l = 2n |
| d | (100) | b/4 ± c/4 | 0kl | k + l = 4n, k = 2n, l = 2n |
Serielle Auslöschungen entstehen durch Schraubenachsen im Kristall.
Gibt es in einem Kristall eine Schraubenachse 21 parallel c durch den Ursprung, so existiert zu einem Atom m in x,y,z ein symmetrisch äquivalentes in -x,-y,0.5+z. Der Beitrag jedes dieser Atompaare zum Strukturfaktor ist:
$ f_{m}(e^{2\pi i(hx+ky+lz)}+e^{2\pi i(-hx-ky+lz)}e^{\pi il}) $
für h=k=0 gilt: $ f_{m}(e^{2\pi ilz}\,(1+e^{\pi il})) $
$ 1+e^{\pi il}={\begin{cases}2&{\text{wenn l gerade}}\\0&{\text{ wenn l ungerade}}\end{cases}} $
In der 00l Richtung gibt es nur dann Reflexe, wenn l gerade ist.
Folgende Tabelle gibt einen Überblick über den Zusammenhang zwischen den in den Raumgruppen vorkommenden Schraubenachsen und den daraus resultierenden Reflexbedingungen.
| Schraubenachse | Lage | Betroffene Reflexe | Reflexbedingung |
|---|---|---|---|
| $ 2_{1} $; $ 4_{2} $; $ 6_{3} $ | // [100] | h00 | h = 2n |
| $ 3_{1} $; $ 3_{2} $; $ 6_{2} $; $ 6_{4} $ | // [100] | h00 | h = 3n |
| $ 4_{1} $; $ 4_{3} $ | // [100] | h00 | h = 4n |
| $ 6_{1} $; $ 6_{5} $ | // [100] | h00 | h = 6n |
| $ 2_{1} $; $ 4_{2} $; $ 6_{3} $ | // [010] | 0k0 | k = 2n |
| $ 3_{1} $; $ 3_{2} $; $ 6_{2} $; $ 6_{4} $ | // [010] | 0k0 | k = 3n |
| $ 4_{1} $; $ 4_{3} $ | // [010] | 0k0 | k = 4n |
| $ 6_{1} $; $ 6_{5} $ | // [010] | 0k0 | k = 6n |
| $ 2_{1} $; $ 4_{2} $; $ 6_{3} $ | // [001] | 00l | l = 2n |
| $ 3_{1} $; $ 3_{2} $; $ 6_{2} $; $ 6_{4} $ | // [001] | 00l | l = 3n |
| $ 4_{1} $; $ 4_{3} $ | // [001] | 00l | l = 4n |
| $ 6_{1} $; $ 6_{5} $ | // [001] | 00l | l = 6n |