Brüsselator

Der Brüsselator ist ein einfaches Modell zur Beschreibung chemischer Oszillatoren. Der Brüsselator wurde von Ilya Prigogine und René Lefever an der Université Libre de Bruxelles in Belgien entwickelt, daher auch der Name.

Beschreibung

Lösung des Brüsselators für verschiedene Randbedingungen, zusammen mit Phasenraumplots. Oben ergeben sich stabile Oszillationen, während im unteren Fall die Lösungen einem Fixpunkt zustreben.

Es handelt sich um ein System von vier hypothetischen Reaktionsgleichungen, die ein einfaches Modell bilden, das alle Phänomene von chemischen Oszillatoren (wie der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion) widerspiegelt.^[1] Ein ähnliches Modellsystem wurde 1985 an der Humboldt-Universität zu Berlin durch Vereinfachung aus einem real existierenden Reaktionssystem abgeleitet.^[2]

Die Reaktionsgeschwindigkeiten werden durch die Konstante k₁ bis k₄ widergespiegelt. Die Konzentrationen von A und B werden immer konstant gehalten und die Produkte C und D werden ständig abgeführt. Die Konzentrationen X und Y reagieren empfindlich auf kleine Störungen und erreichen schnell einen oszillierenden Zustand, wenn die Gesamtreaktion weit vom Gleichgewichtszustand entfernt ist. Man hat also ein thermodynamisch offenes System und kann zwei Ratengleichungen für die Konzentration von X und Y aufstellen:

$ {\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}=k_{1}A-k_{2}BX+k_{3}X^{2}Y-k_{4}X $

$ {\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} t}}=k_{2}BX-k_{3}X^{2}Y $

Diese Differentialgleichungen können numerisch gelöst werden. Nebenstehende Abbildung zeigt einige Lösungen. Je nach Wahl der freien Parameter k₁A, k₂B, k₃ und k₄ ergibt sich unterschiedliches Verhalten. Im oberen Fall sieht man stabile Oszillationen, während für eine andere Wahl der Parameter die Konzentrationen X(t) und Y(t) einem Fixpunkt im Phasenraum zustreben.

Stabilitätsbetrachtung

Wie schon im obigen Bild gezeigt hat der Brüsselator je nach Parametrisierung stabile Oszillationen als Lösung oder strebt im Phasenraum einem Fixpunkt zu. Der Fixpunkt ergibt sich über dX/dt = dY/dt = 0 zu:^[3]

$ X={\frac {k_{1}}{k_{4}}}\cdot A $ und $ Y={\frac {k_{4}k_{2}}{k_{3}k_{1}}}\cdot {\frac {B}{A}} $

Mit Hilfe der linearen Stabilitätsanalyse lässt sich weiter zeigen, dass dieser Fixpunkt instabil wird, wenn gilt:^[3]

$ B>{\frac {k_{4}}{k_{2}}}+{\frac {k_{3}k_{1}^{2}}{k_{2}k_{4}^{2}}}\cdot A^{2} $

In diesem Fall streben die Trajektoren (X(t), Y(t)) einem Grenzzyklus im Phasenraum zu und das System führt die gezeigten Oszillationen aus.

Brüsselator als Reaktions-Diffusions-Modell

Teil einer Simulation des Brüsselators in zwei Dimensionen. Man beachte die drei Zeitsprünge zwischen den verschiedenen Stadien der Simulation (Start, erste Wellen formen sich, Ausbreitung der Wellen, überall Wellen + Spiralwellen)

Man kann das Modell auch auf ein Reaktions-Diffusions-Modell erweitern und erhält dann bei Wahl der richtigen Parameter Chemische Wellen als Lösung, wie sie in der Animation rechts gezeigt sind.

Die Differentialgleichungen werden um einen Diffusionsanteil $ D_{X}\cdot \nabla ^{2}X({\vec {x}},t) $, bzw. $ D_{Y}\cdot \nabla ^{2}Y({\vec {x}},t) $ erweitert und lauten dann^[3]:

$ {\frac {\partial X({\vec {x}},t)}{\partial t}}=D_{X}\cdot \nabla ^{2}X({\vec {x}},t)+k_{1}A-k_{2}BX({\vec {x}},t)+k_{3}X^{2}({\vec {x}},t)Y({\vec {x}},t)-k_{4}X({\vec {x}},t) $

$ {\frac {\partial Y({\vec {x}},t)}{\partial t}}=D_{Y}\cdot \nabla ^{2}Y({\vec {x}},t)+k_{2}BX({\vec {x}},t)-k_{3}X^{2}({\vec {x}},t)Y({\vec {x}},t) $

Hierin ist $ {\vec {x}} $ ein Punkt im Raum und $ \nabla ^{2} $ bezeichnet den Laplace-Operator, also in kartesischen Koordinaten die Summe der zweiten räumlichen Ableitungen.

Literatur

• Dilip Kondepudi, Ilya Prigogine: Modern Thermodynamics. From Heat Engines to Dissipative Structures. John Wiley & Sons, Weinheim, New York 1998.

Einzelnachweise

Weblinks

• Jan Krieger: Reaktions-Diffusions-Systeme (PDF; 2,5 MB), 2004.