Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit $(M, g)$ heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante $λ$ existiert, so dass

{Ric}_{p} (X, Y) = λ g_{p} (X, Y)

gilt. Dabei ist ${Ric}_{p}$ der (0,2)-Ricci-Tensor und $X, Y \in T_{p} M$ für jedes $p \in M .$ Die pseudo-riemannsche Metrik $g$ heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften

Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen $n \geq 4$ von eigenständigem Interesse, da sie für $n = 2$ und $n = 3$ mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.

Sei $n \geq 3.$ Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes $p \in M$ eine Konstante $λ_{p}$ (in Abhängigkeit von $p$ ) existiert, so dass

{Ric}_{p} (X, Y) = λ_{p} g_{p} (X, Y)

gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier

λ

vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.

Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante $λ$ haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante $λ$ .

Die Definition der Einsteinmetrik $g$ ergibt sich aus der Aussage, dass $g$ eine Lösung der einsteinschen Vakuumfeldgleichungen

{Ric}_{p} (X, Y) - \frac{1}{2} g_{p} (X, Y) s_{p} + g_{p} (X, Y) Λ = 0

mit der kosmologischen Konstante

Λ

und der Skalarkrümmung

s_{p}

ist. Durch Spurbildung in der Gleichung

{Ric}_{p} (X, Y) = λ g_{p} (X, Y)

erhält man

s_{p} = n λ,

dabei bezeichnet

n

die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur

Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).