De-Sitter-Raum
In Mathematik und Physik ist ein $ n $-dimensionaler De-Sitter-Raum (nach Willem de Sitter), notiert $ dS_{n} $, die lorentzsche Mannigfaltigkeit analog zu einer n-Sphäre (mit ihrer kanonischen riemannschen Mannigfaltigkeit); er ist maximal symmetrisch, hat eine konstante positive Krümmung und ist einfach zusammenhängend für $ n\geq 3 $.
Im vierdimensionalen Minkowski-Raum (3 Raumdimensionen plus die Zeit) bzw. in der Raumzeit ist der De-Sitter-Raum das Analogon zu einer Kugel im gewöhnlichen euklidischen Raum.
In der Sprache der allgemeinen Relativitätstheorie ist der De-Sitter-Raum die maximal symmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit einer positiven (repulsiven) kosmologischen Konstanten $ \Lambda $ (entsprechend einer positiven Vakuumenergiedichte und negativem Druck) und damit ein kosmologisches Modell für das physikalische Universum; siehe De-Sitter-Modell.
Der De-Sitter-Raum wurde 1917 von Willem de Sitter entdeckt und gleichzeitig – unabhängig von de Sitter – von Tullio Levi-Civita.
Definition
Der De-Sitter-Raum kann definiert werden als Untermannigfaltigkeit eines Minkowski-Raumes einer höheren Dimension.
Betrachtet man also den Minkowski-Raum $ \mathbb {R} ^{1,n} $ mit dem üblichen metrischen Tensor
- $ ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}. $
Dann ist der De-Sitter-Raum die Untermannigfaltigkeit, die durch das einschalige Hyperboloid
- $ \alpha ^{2}=-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}, $
beschrieben wird, wobei $ \alpha $ eine positive Konstante ist mit der Dimension einer Länge. Der metrische Tensor des De-Sitter-Raumes ist derjenige, der vom metrischen Tensor des Minkowski-Raumes erzeugt wird. Man kann überprüfen, dass die erzeugte Metrik nicht-entartet ist und eine Signatur der Form (1,k,0) hat. (Wenn in obiger Definition $ \alpha ^{2} $ durch $ -\alpha ^{2} $ ersetzt wird, erhält man ein zweischaliges Hyperboloid. In diesem Fall ist die erzeugte Metrik positiv definit, und jede der beiden Schalen ist eine Kopie einer hyperbolischen n-Geometrie.)
Der De-Sitter-Raum kann auch definiert werden als Quotient $ {\tfrac {\mathrm {O} (1,n)}{\mathrm {O} (1,n-1)}} $ zweier Lorentz-Gruppen, was zeigt, dass er ein nicht-Riemannscher symmetrischer Raum ist.
Topologisch ist der De-Sitter-Raum von der Form $ \mathbb {R} \times S^{n-1} $.
Eigenschaften
Die Isometriegruppe des De-Sitter-Raumes ist die Lorentz-Gruppe $ \mathrm {O} (1,n) $. Daher hat die Metrik $ {\tfrac {n(n+1)}{2}} $ unabhängige Killing-Vektoren und ist maximal symmetrisch. Jeder maximal symmetrische Raum hat konstante Krümmung. Der Riemannsche Krümmungstensor $ R_{\rho \sigma \mu \nu } $ des De-Sitter-Raumes ist
- $ R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu }). $
Der De-Sitter-Raum ist eine Einstein-Mannigfaltigkeit, da der Ricci-Tensor $ R_{\mu \nu } $ proportional zur Metrik $ g_{\mu \nu } $ ist:
- $ R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}\cdot g_{\mu \nu }. $
Das heißt, der De-Sitter-Raum ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante
- $ \Lambda ={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}\cdot {\frac {n-2}{2}}. $
Das Krümmungsskalar dieses Raumes ist
- $ R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda . $
Für n = 4 ergibt sich Λ = 3/α2 und R = 4Λ = 12/α2.
Statische Koordinaten
Für den De-Sitter-Raum lassen sich statische Koordinaten (Zeit $ t $, Radius $ r $, …) wie folgt einführen:
- $ x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cdot \sinh(t/\alpha ) $
- $ x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cdot \cosh(t/\alpha ) $
- $ x_{i}=rz_{i} $ mit $ 2\leq i\leq n, $
wobei $ z_{i} $ die Standard-Einbettung der Sphäre $ S^{n-2} $ in Rn−1 darstellt.
In diesen Koordinaten nimmt die De-Sitter-Metrik folgende Form an:
- $ ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}. $
Zu beachten: es gibt einen kosmologischen Horizont bei $ r=\alpha $.
Slicing-Koordinaten
Flach
Ansatz:
- $ x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )+r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha $
- $ x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )-r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha $
- $ x_{i}=e^{t/\alpha }y_{i} $ mit $ 2\leq i\leq n, $
wobei $ r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}. $
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes in $ (t,y_{i}) $-Koordinaten:
- $ ds^{2}=-dt^{2}+e^{2t/\alpha }\cdot dy^{2} $
mit $ dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2} $ der flachen Metrik auf $ y_{i} $.
Geschlossen
Ansatz:
- $ x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha ) $
- $ x_{i}=\alpha \cosh(t/\alpha )\cdot z_{i} $ mit $ 1\leq i\leq n, $
wobei die $ z_{i} $ eine $ S^{n-1} $-Sphäre beschreiben.
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:
- $ ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}(t/\alpha )\cdot d\Omega _{n-1}^{2}. $
Wird die Zeit-Variable $ t $ geändert in die konforme Zeit $ \eta $:
- $ {\begin{aligned}\tanh(t/\alpha )&=\tan(\eta )\\\Leftrightarrow \cosh(t/\alpha )&=1/\cos(\eta ),\end{aligned}} $
so erhält man eine Metrik, die konform äquivalent zum statischen Einstein-Universum ist:
- $ ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}(-d\eta ^{2}+d\Omega _{n-1}^{2}). $
Der De-Sitter-Raum und das Einstein-Universum haben deshalb das gleiche Penrose-Diagramm.
Offen
Ansatz:
- $ x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi $
- $ x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha ) $
- $ x_{i}=\alpha \sinh(t/\alpha )\sinh \xi \cdot z_{i} $ mit $ 2\leq i\leq n, $
wobei $ \sum _{i}z_{i}^{2}=1 $ eine Sphäre $ S^{n-2} $ formt mit der Standard-Metrik $ \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}. $
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes
- $ ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )\cdot dH_{n-1}^{2}, $
mit $ dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi \cdot d\Omega _{n-2}^{2} $ der Metrik eines hyperbolischen euklidischen Raumes.
DS
Ansatz:
- $ x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi \sin(\chi /\alpha ) $
- $ x_{1}=\alpha \cos(\chi /\alpha ) $
- $ x_{2}=\alpha \cosh(t/\alpha )\sin(\chi /\alpha ) $
- $ x_{i}=\alpha \sinh(t/\alpha )\sinh \xi \sin(\chi /\alpha )z_{i} $ mit $ 3\leq i\leq n $
wobei die $ z_{i} $ eine $ S^{n-3} $-Sphäre beschreiben.
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:
- $ ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin ^{2}(\chi /\alpha )\cdot ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}, $
wobei
- $ ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )\cdot dH_{n-2}^{2} $
die Metrik eines $ n-1 $-dimensionalen De-Sitter-Raumes in offenen Slicing-Koordinaten ist, mit Krümmungsradius $ \alpha $.
Die hyperbolische Metrik lautet:
- $ dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi \cdot d\Omega _{n-3}^{2}. $
Dies ist die analytische Fortsetzung der offenen Slicing-Koordinaten
- $ (t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\cdots ,\phi _{n-4}) $
und außerdem der Tausch von $ x_{0} $ und $ x_{2} $, weil sie ihre zeit- bzw. raumartigen Eigenschaften verändern.
Sonstiges
Einige Autoren schlugen im Rahmen von Theorien der Quantengravitation anstelle des Minkowski-Raumes den De-Sitter-Raum als grundlegenden Raum für die spezielle Relativitätstheorie vor und nannten dies De-Sitter-Relativität.[1]
Siehe auch
Literatur
- W. de Sitter: On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis. In: Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. Band 19, 1917, S. 1217–1225.
- W. de Sitter: On the curvature of space. In: Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. Band 20, 1917, S. 229–243.
- Tullio Levi-Civita: Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi. In: Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei. Band 26, 1917, S. 519–31.
- K. Nomizu: The Lorentz-Poincaré metric on the upper half-space and its extension. In: Hokkaido Mathematical Journal. Band 11, Nr. 3, 1982, S. 253–261.
- H. S. M. Coxeter: A geometrical background for de Sitter's world. In: Mathematical Association of America (Hrsg.): American Mathematical Monthly. Band 50, Nr. 4, 1943, S. 217–228, doi:10.2307/2303924, JSTOR:2303924.
- L. Susskind, J. Lindesay: An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe. 2005, S. 119 (11.5.25).
- Qingming Cheng: De Sitter space. Springer.