Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit $ (M,g) $ heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante $ \lambda $ existiert, so dass

$ \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda \,g_{p}(X,Y) $

gilt. Dabei ist $ \operatorname {Ric} _{p} $ der (0,2)-Ricci-Tensor und $ X,Y\in T_{p}M $ für jedes $ p\in M. $ Die pseudo-riemannsche Metrik $ g $ heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften

• Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen $ n\geq 4 $ von eigenständigem Interesse, da sie für $ n=2 $ und $ n=3 $ mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.

• Sei $ n\geq 3. $ Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes $ p\in M $ eine Konstante $ \lambda _{p} $ (in Abhängigkeit von $ p\, $) existiert, so dass

$ \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda _{p}\,g_{p}(X,Y) $

gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier $ \lambda $ vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.

• Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante $ \lambda $ haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante $ \lambda $.

• Die Definition der Einsteinmetrik $ g $ ergibt sich aus der Aussage, dass $ g $ eine Lösung der einsteinschen Vakuumfeldgleichungen

$ \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)-{\frac {1}{2}}\,g_{p}(X,Y)\,s_{p}+g_{p}(X,Y)\,\Lambda =0 $

mit der kosmologischen Konstante $ \Lambda $ und der Skalarkrümmung $ s_{p} $ ist. Durch Spurbildung in der Gleichung $ \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda \,g_{p}(X,Y) $ erhält man

$ s_{p}=n\lambda , $

dabei bezeichnet $ n\, $ die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur

• Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).