Boussinesq-Approximation

Unter Boussinesq-Approximation oder Boussinesq-Näherung versteht man verschiedene Näherungen in der Hydrodynamik, die alle auf Joseph Boussinesq zurückgehen.

1. Zum einen betrachtete Boussinesq Wasserwellen in flachem Wasser, wobei die von ihm gemachten Näherungen zu Boussinesq-Gleichungen führten.

2. In der Theorie der Turbulenz wird die Boussinesq-Näherung in Wirbelviskositätsmodellen benutzt.

3. Zur Beschreibung von Strömungen in Flüssigkeiten (insbesondere Konvektion), die durch Dichtevariationen aufgrund von Temperaturschwankungen verursacht werden, wird ebenfalls eine Boussinesq-Näherung zu den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen benutzt (im Folgenden sind wie in der Notation im Artikel Navier-Stokes-Gleichung Vektoren in der Schrift hervorgehoben). Dazu werden die nicht zu großen Temperaturschwankungen $ T_{s} $ (in $ T=T_{0}+T_{s} $) nur in der Dichte- und Druckvariation berücksichtigt $ \rho =\rho _{0}(1-\beta T_{s}) $ mit dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten $ \beta $. Für die Fluktuation des Drucks $ p_{s} $ gilt mit $ p_{0}=\rho _{0}\mathbf {g} \cdot \mathbf {x} $:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {\nabla p}{\rho} = \mathbf {g} + \frac {\nabla p_s}{\rho_0} + \beta T_s \mathbf{g}

Die inkompressible Navier-Stokes-Gleichung im Schwerefeld mit Schwerebeschleunigung $ \mathbf {g} $ wird:^[1]

$ {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} =-{\frac {\nabla p_{s}}{\rho _{0}}}+\nu \Delta \mathbf {v} -\beta T_{s}\mathbf {g} $

Für die Beschreibung der Konvektion in der Näherung von Boussinesq kommen noch die Gleichung der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfelds hinzu (abgeleitet aus der Kontinuitätsgleichung unter Vernachlässigung der Dichteschwankungen):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla \cdot \mathbf v=0

und die Gleichung für die Variation der Temperatur durch Wärmefluß:

$ {\frac {\partial T_{s}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla T_{s}=a\nabla ^{2}T_{s} $

wobei $ a $ die Temperaturleitfähigkeit (für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho_0, T_0 ) ist (innere Wärmequellen in der Flüssigkeit werden hier nicht angenommen).

Einzelnachweise