Zernike-Polynom

Zernike-Polynome bis zur 4. Ordnung und ein Beispiel 6. Ordnung

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome und spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

$Z_n^m(\rho ,\varphi )=R_n^m(\rho )\cos (m\varphi )$

und die ungeraden durch

$Z_n^{-m}(\rho ,\varphi )=R_n^m(\rho )\sin (m\varphi ),$

wobei $m$ und $n$ nichtnegative ganze Zahlen sind, für die gilt: $n\ge m$. $\varphi$ ist der azimutale Winkel und $\rho$ ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome $R_n^m$ sind definiert gemäß

$R_n^m(\rho )=\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\frac{(-1{)}^k(n-k)!}{k!((n+m)/2-k)!((n-m)/2-k)!}{\rho }^{n-2k}$,

wenn $n-m$ gerade ist und $R_n^m(\rho )=0$, wenn $n-m$ ungerade ist.

Häufig werden sie zu $R_n^m(1)=1$ normiert.

Eigenschaften

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils $R_n^m$ und eines winkelabhängigen Teils $G^m$:

$Z_n^{\pm m}(\rho ,\varphi )=R_n^m(\rho )\cdot G^m(\varphi ).$

[Für Puristen sei darauf hingewiesen, daß in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf Zernike-Funktionen zu bewirken.]

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel $\alpha =2\pi /m$ ändert den Wert des Polynoms nicht:

$G^m(\varphi +\alpha )=G^m(\varphi ).$

Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über $\rho$ vom Grad $n$, welches keine Potenz kleiner $m$ enthält. $R_n^m$ ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn $m$ gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome $P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)$ dar.

$R_n^m(\rho )=(-1{)}^{(n-m)/2}{\rho }^m{P}_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2{\rho }^2)$

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

$R_0^0(\rho )=1$

$R_1^1(\rho )=\rho$

$R_2^0(\rho )=2{\rho }^2-1$

$R_2^2(\rho )={\rho }^2$

$R_3^1(\rho )=3{\rho }^3-2\rho$

$R_3^3(\rho )={\rho }^3$

$R_4^0(\rho )=6{\rho }^4-6{\rho }^2+1$

$R_4^2(\rho )=4{\rho }^4-3{\rho }^2$

$R_4^4(\rho )={\rho }^4$

$R_5^1(\rho )=10{\rho }^5-12{\rho }^3+3\rho$

$R_5^3(\rho )=5{\rho }^5-4{\rho }^3$

$R_5^5(\rho )={\rho }^5$

$R_6^0(\rho )=20{\rho }^6-30{\rho }^4+12{\rho }^2-1$

Allgemein ist $R_n^n(\rho )={\rho }^n.$

Anwendungen

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Literatur

Commons: Zernike-Polynom – Sammlung von Bildern

• Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Zernike Polynomial. In: MathWorld (englisch).