Faber-Jackson-Beziehung

Die Faber-Jackson-Beziehung (nach Sandra M. Faber und Robert Earl Jackson, die die Beziehung 1976 entdeckten) ist ein beobachteter Zusammenhang zwischen Leuchtkraft L und der Geschwindigkeitsdispersion $ \sigma $ in elliptischen Galaxien. Danach hängt die Leuchtkraft proportional von einer Potenz der Geschwindigkeitsdispersion ab:

$ L\propto \sigma ^{\gamma } $

Der Exponent $ \gamma $ liegt sehr nahe bei 4.

Die Faber-Jackson-Beziehung wird vielfach verwendet, um von der Leuchtkraft auf die Geschwindigkeitsdispersion einer elliptischen Galaxie zu schließen.

Herleitung

Man kann die Form der Faber-Jackson-Beziehung unter gewissen idealisierenden Annahmen leicht abschätzen. Daraus ergibt sich der Exponent der Beziehung zu $ \gamma =4 $. Der tatsächlich beobachtete Exponent hängt vom Verlauf der Dichte sowie des Masse-Leuchtkraft-Verhältnisses ab und weicht von dem theoretischen Wert mehr oder weniger stark ab.

Die potentielle Energie einer selbstgravitierenden Masseverteilung von Radius R und Masse M ist

$ U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}} $

Die gesamte kinetische Energie ist

$ T={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2} $

Mit dem Virialtheorem ($ 2T+U=0 $) folgt

$ \sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}} $.

Wenn Masse und Leuchtkraft zueinander proportional sind, $ M\propto L $, kann M ersetzt werden und hat noch

$ L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}} $,

eine Beziehung zwischen R und der Geschwindigkeitsdispersion:

$ R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}} $.

Mit einer konstanten Oberflächenhelligkeit

$ B={\frac {L}{4\pi R^{2}}} $

folgt

$ L=4\pi R^{2}B $,

$ L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B $,

und schlussendlich der gesuchte Zusammenhang zwischen Leuchtkraft und Geschwindigkeitsdispersion:

$ L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}\propto \sigma ^{4} $,

Quellen

• Originalarbeit von Faber und Jackson (engl.), bibcode:1976ApJ...204..668F

Siehe auch

• Tully-Fisher-Relation