R-Matrix
In der statistischen Physik werden Matrizen $ R\in Mat(n) $, welche der Yang-Baxter-Gleichung
- $ R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12} $
genügen, als R-Matrizen bezeichnet.
In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.
Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten
Eine $ n^{2}\times n^{2} $-Matrix $ R $ mit Einträgen $ r_{ij}^{kl} $ kann als Endomorphismus des $ \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n} $ mit Basis $ e_{i}\otimes e_{j} $ aufgefasst werden, also
- $ R(e_{i}\otimes e_{j})=\sum _{k,l}r_{ij}^{kl}e_{k}\otimes e_{l} $.
Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als
- $ R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12} $,
wobei $ R^{ij} $ der Endomorphismus von $ \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n} $ ist, der auf den Faktoren $ i,j $ als $ R $ wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also
- $ R^{12}=R\otimes id,R^{23}=id\otimes R $
und
- $ R^{13}(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k})=\sum _{a,b}r_{ik}^{ab}e_{a}\otimes e_{j}\otimes e_{b} $.
R-Matrizen in der Quantenmechanik
Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.
R-Matrizen in der Knotentheorie
Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.
Literatur
- Yang-Baxter equation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- J. Park, H. Au-Yang: Yang-Baxter equations. In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
- M. Jimbo: Quantum R matrix for the generalized Toda system. In: Comm. Math. Phys. 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547.