R-Matrix

In der statistischen Physik werden Matrizen $R\in Mat(n)$, welche der Yang-Baxter-Gleichung

$R^{12}{R}^{13}{R}^{23}=R^{23}{R}^{13}{R}^{12}$

genügen, als R-Matrizen bezeichnet.

In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.

Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten

Veranschaulichung der Yang-Baxter-Gleichung

Eine $n^2\times n^2$-Matrix $R$ mit Einträgen $r_{ij}^{kl}$ kann als Endomorphismus des ${\mathbb{C}}^n\otimes {\mathbb{C}}^n$ mit Basis $e_i\otimes e_j$ aufgefasst werden, also

$R(e_i\otimes e_j)=\sum _{k,l}{r}_{ij}^{kl}{e}_k\otimes e_l$.

Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als

$R^{12}{R}^{13}{R}^{23}=R^{23}{R}^{13}{R}^{12}$,

wobei $R^{ij}$ der Endomorphismus von ${\mathbb{C}}^n\otimes {\mathbb{C}}^n\otimes {\mathbb{C}}^n$ ist, der auf den Faktoren $i,j$ als $R$ wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also

$R^{12}=R\otimes id,R^{23}=id\otimes R$

und

$R^{13}(e_i\otimes e_j\otimes e_k)=\sum _{a,b}{r}_{ik}^{ab}{e}_a\otimes e_j\otimes e_b$.

R-Matrizen in der Quantenmechanik

Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

R-Matrizen in der Knotentheorie

Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

Literatur

• Yang-Baxter equation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• J. Park, H. Au-Yang: Yang-Baxter equations. In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
• M. Jimbo: Quantum R matrix for the generalized Toda system. In: Comm. Math. Phys. 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547.